22.1 二次函数的图象和性质名师课堂实录

地区： 河南省 - 漯河市 - 郾城区

学校：漯河市郾城区城关镇初级中学

22.1　二次函数的图象和性… 初中数学       人教2011课标版

（一）知识与技能：

1.使学生掌握用描点法画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象．

2．能通过配方法把二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）化成y= a（x-h）2＋k的形式，从而确定开口方向、顶点坐标、对称轴。

3．能运用二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质（最值）解决简单的实际问题。

（二）过程与方法：

     通过思考、探究、归纳、尝试等过程让学生从中学会探索新知的方式方法。

（三）情感态度与价值观：

    在运用二次函数的知识解决简单的实际问题的过程中，让学生体会到学习数学知识的价值，从而提高学生学习数学知识的兴趣并获得成功感。

一、复习回顾，情境导入：

我们已经发现，二次函数y=（x-6）2＋3的图象，可以由函数y＝x2 的图象先向______平移____个单位，再向______平移____个单位得到，因此可以得出y=（x-6）2＋3的开口_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____。
对于任意一个一般形式的二次函数，如y＝x2－6x＋21，你能很容易的说出它的开口方向、顶点坐标、对称轴，并画出图象吗？
引出课题——y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象和性质及简单的实际应用。

[教师活动]

出示问题，要求学生口答完成问题1，简单思考问题2后，接着引出本节课题。

[学生活动]

自主完成问题1通过对问题2稍作思考，初步了解本节课所要研究的问题。

二、引导学生自主探究，学习新知：

（一）思考：我们知道，像y= a（x-h）2＋k这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为（h，k），而后利用图象的对称性列表画图象，你能画出函数y＝x2－6x＋21的图象吗？并能说出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

[教师活动]

提出问题，引导学生配方。点出——这里配方与一元二次方程中的配方不完全相同：一元二次方程中可以利用等式的基本性质两边同除以二次项系数，这里只能在一边提取二次项系数。

[学生活动]

在老师的引导下配方，而后找出抛物线的对称轴和顶点坐标。

全班交流达成共识：

y＝x2－6x＋21

 =（x2－12x）+21

 =（x2－12x+36-36）+21

 =[（x-6）2-36]+21

 =（x-6）2＋3

  因此此抛物线开口向上，对称轴是直线x=6，顶点坐标为（6,3）。

（二）画二次函数y＝x2－6x＋21的图象．

  1. 列表：

x

…

3

4

5

6

7

8

9

…

y＝x2－6x＋21

…

…

[问题] 结合图象的变化趋势填空：

当x_____时，函数值y随x的增大而减小; 当x_____时，函数值y随x的增大而增大；当x=_____时，函数取得最___值，最____值y=____。

[教师活动]

   提出问题，引导交流。

[学生活动] 

画图象，观察图象与同学交流后填空。

（三）归纳

1.尝试：

通过配方，确定抛物线y＝-2x2＋4x＋6的开口方向、对称轴和顶点坐标。

[教师活动]

出示一般形式的二次函数，让学生通过配方变形。

[学生活动]

尝试练习，加深认识。

2.归纳：你能用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点与对称轴吗？

[教师活动]

提出问题，指导学生配方，归纳总结得出一般结论。

[学生活动]

自主探究后小组交流得出一般结论：

y＝ax2＋bx＋c= a（x+）2＋ 

因此抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口方向、顶点坐标与对称轴：

函数

开口方向

对称轴

顶点坐标

y＝ax2＋bx＋c（a≠0）

a＞0

a＜0

[教师活动]

提出问题，指导学生配方后，完成表格。

[学生活动]

配方后交流，完成表格。

 三、拓展提高：

问题：要用总长为20米的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形花圃，怎样围才能使矩形的面积最大？

[教师活动]：出示问题，引导学生分析：矩形面积随矩形一边的变化而变化可知矩形面积与矩形一边存在怎样的关系？此问题可以转化为函数问题来解决，能转化为什么函数？

[学生活动]：参与教师的分析，小组讨论后，完成解题过程：

解：设靠墙一边的长为x米，矩形面积为s平方米，则垂直墙的一边为米。

     根据题意得：s=x·=-x2＋10x （0＜x＜20）

所以当x= - =10时，s取得最大值=50。

四、巩固练习

 1． -教材第12页练习。

2．二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b＝________，c＝_________．

3．已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当___________时，y随x的增大而增大；当x＝________时，y有_________值是___________．

4.用6 m长的铝合金型材做一个形状如右图所示的矩形窗框，应做成长、宽各位多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？

                                                x

五.总结提高

  通过本节课的学习，你有哪些收获？你对本节课有什么疑惑？说给老师或学生听听。

六.布置作业

  教材习题26.1第6（不画图像）、7、12题。

（补充）抛物线y＝ax2＋2x＋c的顶点时（，-1），则a、c的值是多少？

22.1　二次函数的图象和性质

22.1　二次函数的图象和性质

一、复习回顾，情境导入：

我们已经发现，二次函数y=（x-6）2＋3的图象，可以由函数y＝x2 的图象先向______平移____个单位，再向______平移____个单位得到，因此可以得出y=（x-6）2＋3的开口_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____。
对于任意一个一般形式的二次函数，如y＝x2－6x＋21，你能很容易的说出它的开口方向、顶点坐标、对称轴，并画出图象吗？
引出课题——y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象和性质及简单的实际应用。

[教师活动]

出示问题，要求学生口答完成问题1，简单思考问题2后，接着引出本节课题。

[学生活动]

自主完成问题1通过对问题2稍作思考，初步了解本节课所要研究的问题。

二、引导学生自主探究，学习新知：

（一）思考：我们知道，像y= a（x-h）2＋k这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为（h，k），而后利用图象的对称性列表画图象，你能画出函数y＝x2－6x＋21的图象吗？并能说出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

[教师活动]

提出问题，引导学生配方。点出——这里配方与一元二次方程中的配方不完全相同：一元二次方程中可以利用等式的基本性质两边同除以二次项系数，这里只能在一边提取二次项系数。

[学生活动]

在老师的引导下配方，而后找出抛物线的对称轴和顶点坐标。

全班交流达成共识：

y＝x2－6x＋21

 =（x2－12x）+21

 =（x2－12x+36-36）+21

 =[（x-6）2-36]+21

 =（x-6）2＋3

  因此此抛物线开口向上，对称轴是直线x=6，顶点坐标为（6,3）。

（二）画二次函数y＝x2－6x＋21的图象．

  1. 列表：

x

…

3

4

5

6

7

8

9

…

y＝x2－6x＋21

…

…

[问题] 结合图象的变化趋势填空：

当x_____时，函数值y随x的增大而减小; 当x_____时，函数值y随x的增大而增大；当x=_____时，函数取得最___值，最____值y=____。

[教师活动]

   提出问题，引导交流。

[学生活动] 

画图象，观察图象与同学交流后填空。

（三）归纳

1.尝试：

通过配方，确定抛物线y＝-2x2＋4x＋6的开口方向、对称轴和顶点坐标。

[教师活动]

出示一般形式的二次函数，让学生通过配方变形。

[学生活动]

尝试练习，加深认识。

2.归纳：你能用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点与对称轴吗？

[教师活动]

提出问题，指导学生配方，归纳总结得出一般结论。

[学生活动]

自主探究后小组交流得出一般结论：

y＝ax2＋bx＋c= a（x+）2＋ 

因此抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口方向、顶点坐标与对称轴：

函数

开口方向

对称轴

顶点坐标

y＝ax2＋bx＋c（a≠0）

a＞0

a＜0

[教师活动]

提出问题，指导学生配方后，完成表格。

[学生活动]

配方后交流，完成表格。

 三、拓展提高：

问题：要用总长为20米的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形花圃，怎样围才能使矩形的面积最大？

[教师活动]：出示问题，引导学生分析：矩形面积随矩形一边的变化而变化可知矩形面积与矩形一边存在怎样的关系？此问题可以转化为函数问题来解决，能转化为什么函数？

[学生活动]：参与教师的分析，小组讨论后，完成解题过程：

解：设靠墙一边的长为x米，矩形面积为s平方米，则垂直墙的一边为米。

     根据题意得：s=x·=-x2＋10x （0＜x＜20）

所以当x= - =10时，s取得最大值=50。

四、巩固练习

 1． -教材第12页练习。

2．二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b＝________，c＝_________．

3．已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当___________时，y随x的增大而增大；当x＝________时，y有_________值是___________．

4.用6 m长的铝合金型材做一个形状如右图所示的矩形窗框，应做成长、宽各位多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？

                                                x

五.总结提高

  通过本节课的学习，你有哪些收获？你对本节课有什么疑惑？说给老师或学生听听。

六.布置作业

  教材习题26.1第6（不画图像）、7、12题。

（补充）抛物线y＝ax2＋2x＋c的顶点时（，-1），则a、c的值是多少？