22.1 二次函数的图象和性质教学实录及点评

地区： 河南省 - 三门峡市 - 灵宝市

学校：灵宝市焦村镇第一初级中学

22.1　二次函数的图象和性… 初中数学       人教2011课标版

1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋c的图象。

2、理解并掌握二次函数y＝ax2＋c的图像性质及它与函数y＝ax2的关系。

    在教学上主要采用了操作、观察、合作交流、尝试、归纳等方法，并结合多媒体演示，激励学生积极参与，在知识的发生、发展中渗透对比及数形结合的数学思想，学生通过操作、观察、思考、归纳、尝试、交流等一系列探究活动，归纳和总结二次函数y＝ax2＋c的图像性质及它与函数y＝ax2的关系，让学生进一步体尝试去发现二次函数的图象特征；体会其性质；层层推进，环环相扣，体现数学的严密性与系统性。

九年级的学生已具有了一定的分析问题的能力和逻辑推理的能力，他们勤于动手、乐于探究、有较强的表现欲，同时也具备了一定的归纳总结、表达的能力，因此，在教学中更应体现学生的主体地位，让学生动手、动脑，培养他们自主探索、勇于实践的能力。通过合作交流，激发学生的学习兴趣，提高学习效率，达到传授知识与培养学生能力融为一体的目的。

1.教学重点。会用描点法画出二次函数y＝ax2＋c的图象，理解二次函数y＝ax2＋c的性质，理解函数y＝ax2＋c与函数y＝ax2的相互关系是教学重点。

2. 教学难点。正确理解二次函数y＝ax2＋c的性质，理解抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝ax2的关系是教学的难点。

1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋c的图象。

2、理解并掌握二次函数y＝ax2＋c的图像性质及它与函数y＝ax2的关系。

会用描点法画出二次函数y＝ax2＋c的图象，理解二次函数y＝ax2＋c的性质，理解函数y＝ax2＋c与函数y＝ax2的相互关系

正确理解二次函数y＝ax2＋c的性质，理解抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝ax2的关系

填一填：二次函数y＝x²的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝x²当x＝______时，取最______值，其最______值是______。二次函数y＝-x²呢？

1.画二次函数y=x²-1与y＝x²＋1的图象

同学们能在同一直角坐标系中，画出函数y＝x²-1与y＝x²＋1的图象吗?画一画。

教师引导学生采用列表描点法画出图象。（1）列表（2）描点（3）连点

2．教师借助多媒体呈现出解题过程与学生所列表格及图像进行比较。

3.让学生观察上表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值之间有什么关系？

师：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?

让同座学生归纳得到：当自变量x取同一数值时，函数y＝x²＋1的函数值都比函数y＝x²的函数值大1。

函数y=x²-1的函数值都比函数y=x²的函数值小1。

1. 先让学生观察函数y＝x²＋1和y＝x²的图象，研究点(－1，1)和点(－1，2)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，1)和点(1，2)位置关系，

2. 让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝x²＋1的图象上的点都是由函数y＝x²的图象上的相应点向上移动了一个单位。

3. 教师借助演示平移过程，验证同学们的观察结果

4. 类比探究 函数y＝x²-1和y＝x²的图象有什么联系?

1. 先让学生观察函数y＝x²＋1的图像，说一说它的图像有什么特征和性质？你是怎样得到的？

2.填一填：已知函数y＝x²＋1完成填空：

二次函数y＝x²＋1的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝x²＋1当x＝______时，取最______值，其最______值是______

3.类比说出y=x²-1的性质

1.教师借助多媒体呈现表格，小组代表完成表格

y= ax²+c (a≠0)           开口方向     顶点坐标       对称轴        增减性          最值

a>0

a<0

2.二次函数y=ax²+c与函数y＝ax²的关系

1)函数y=4x²+5的图象可由y=4x²的图象向      平移    个单位得到；y=4x²-11的图象        可由 y=4x²的图象向    平移    个单位得到。
2）将抛物线y=4x²向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是                 。       将抛物线y=-5x²+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是                。
3）抛物线y=7x²-3的开口        ，对称轴是       ，顶点坐标是           ，在对称轴的左侧，y随x的增大而        ，在对称轴的右侧，y随x的增大而        ，
当x=     时，取得最       值，这个值等于          。

1学生谈谈自己的收获

2.师生共同总结平移规律

A组题
1)将函数y=-3x²+4的图象向      平移    个单位可得y=-3x²的图象；将y=2x²-7的图象向    平移    个单位得到可由 y=2x²的图象。将y=x²-7的图象   向    平移    个单位可得到 y=x²+2的图象。
 
3）抛物线y=-3x²+5的开口        ，对称轴是       ，顶点坐标是       ，在对称轴的左侧，y随x的增大而        ，在对称轴的右侧，y随x的增大而        ，
当x=     时，取得最       值，这个值等于          。
B 组题
二次函数y=ax²+c (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B（2，5），则函数y=ax²+c的表达式为                  。若点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐标为             点D的坐标为                             .

22.1　二次函数的图象和性质

22.1　二次函数的图象和性质

1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋c的图象。

2、理解并掌握二次函数y＝ax2＋c的图像性质及它与函数y＝ax2的关系。

会用描点法画出二次函数y＝ax2＋c的图象，理解二次函数y＝ax2＋c的性质，理解函数y＝ax2＋c与函数y＝ax2的相互关系

正确理解二次函数y＝ax2＋c的性质，理解抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝ax2的关系

填一填：二次函数y＝x²的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝x²当x＝______时，取最______值，其最______值是______。二次函数y＝-x²呢？

1.画二次函数y=x²-1与y＝x²＋1的图象

同学们能在同一直角坐标系中，画出函数y＝x²-1与y＝x²＋1的图象吗?画一画。

教师引导学生采用列表描点法画出图象。（1）列表（2）描点（3）连点

2．教师借助多媒体呈现出解题过程与学生所列表格及图像进行比较。

3.让学生观察上表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值之间有什么关系？

师：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?

让同座学生归纳得到：当自变量x取同一数值时，函数y＝x²＋1的函数值都比函数y＝x²的函数值大1。

函数y=x²-1的函数值都比函数y=x²的函数值小1。

1. 先让学生观察函数y＝x²＋1和y＝x²的图象，研究点(－1，1)和点(－1，2)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，1)和点(1，2)位置关系，

2. 让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝x²＋1的图象上的点都是由函数y＝x²的图象上的相应点向上移动了一个单位。

3. 教师借助演示平移过程，验证同学们的观察结果

4. 类比探究 函数y＝x²-1和y＝x²的图象有什么联系?

1. 先让学生观察函数y＝x²＋1的图像，说一说它的图像有什么特征和性质？你是怎样得到的？

2.填一填：已知函数y＝x²＋1完成填空：

二次函数y＝x²＋1的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝x²＋1当x＝______时，取最______值，其最______值是______

3.类比说出y=x²-1的性质

1.教师借助多媒体呈现表格，小组代表完成表格

y= ax²+c (a≠0)           开口方向     顶点坐标       对称轴        增减性          最值

a>0

a<0

2.二次函数y=ax²+c与函数y＝ax²的关系

1)函数y=4x²+5的图象可由y=4x²的图象向      平移    个单位得到；y=4x²-11的图象        可由 y=4x²的图象向    平移    个单位得到。
2）将抛物线y=4x²向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是                 。       将抛物线y=-5x²+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是                。
3）抛物线y=7x²-3的开口        ，对称轴是       ，顶点坐标是           ，在对称轴的左侧，y随x的增大而        ，在对称轴的右侧，y随x的增大而        ，
当x=     时，取得最       值，这个值等于          。

1学生谈谈自己的收获

2.师生共同总结平移规律

A组题
1)将函数y=-3x²+4的图象向      平移    个单位可得y=-3x²的图象；将y=2x²-7的图象向    平移    个单位得到可由 y=2x²的图象。将y=x²-7的图象   向    平移    个单位可得到 y=x²+2的图象。
 
3）抛物线y=-3x²+5的开口        ，对称轴是       ，顶点坐标是       ，在对称轴的左侧，y随x的增大而        ，在对称轴的右侧，y随x的增大而        ，
当x=     时，取得最       值，这个值等于          。
B 组题
二次函数y=ax²+c (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B（2，5），则函数y=ax²+c的表达式为                  。若点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐标为             点D的坐标为                             .