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张妞妞
地区： 河南省 - 洛阳市 - 高新区 学校：洛阳高新技术产业开发区辛店镇第一初级中学 共1课时阅读与思考 数据波动程度… 初中数学 人教2011课标版 1教学目标（一）知识教学点 使学生了解方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差与标准差. （二）能力训练点 1．培养学生的计算能力. 2．培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生的发散思维能力. （三）德育渗透点 1．培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯. 2．渗透数学来源于实践，又反过来作用于实践的观点. （四）美育渗透点 通过本节课的教学，渗透了数学知识的抽象美及反映在图像上的形象美，激发学生对美好事物的追求，提高学生对数学美的鉴赏力. 2学情分析学生不易理解为什么要用方差去描述一组数据的波动大小，为什么不可以用各数据与其平均数的差的来和来衡量这组数据的波动大小呢？为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方呢？对这些问题教师在剖析方差定义时要讲清楚. 3重点难点1．教学重点：方差概念. 2．教学难点：方差概念. 3.解决办法：教师要讲清方差，标准差的意义，即它们都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情况. 4教学过程 4.1 第一学时 教学活动 活动1【导入】明确目标前面我们学习了平均数、众数及中位数，它们都是描述一组数据的集中趋势的量，这节课我们将进一步学习衡量样本（或一组数据）和总体的另一类特征数——方差、标准差及其计算. 活动2【讲授】整体感知对于一组数据来说，我们除了关心它的集中趋势以外，还关心它的波动大小.衡量这个波动大小的最常用的特征数，就是方差和标准差. 活动3【活动】教学过程1．请同学们看下面的问题：（用幻灯出示） 两台机床同时生产直径是40毫米的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10件进行测量，结果如下（单位：毫米） 机床甲 40 39．8 40．1 40．2 39．9 40 40．2 39．8 40．2 39．8 机床乙 40 40 39．9 40 39．9 40．2 40 40．1 40 39．9 上面表中的数据如图所示 教师引导学生观察表格中的数据和图，提出问题：怎样能说明在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，哪个机床做得好呢？ 对于这个问题，学生会马上想到计算它们的平均数．教师可把学生分成两级分别计算这两组数据的平均数．（请两名同学到黑板计算） 计算的结果说明两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米．这时教师引导学生思考，这能说明两个机床做的一样好吗？不能！我们再观察上图（给学生充分的时间观察，找出左右两图的区别）从图中看到，机床甲生产的零件的直径与规定尺寸偏差较大，偏离40毫米线较多；机床乙生产的零件的直径与规定尺寸偏差较小，比较集中在40毫米线的附近．这 说明，在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，机床乙比机床甲要好． 教师说明：从上面看到，对于一组数据，除需要了解它们的平均水平外，还常常需要了解它们的波动大小（即偏离平均数的大小）． 通过引例的学习，使学生理解为什么要研究数据波动的大小，为提出方差概念做好了准 备． 活动4【活动】方差概念教师讲解，为了描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法，例如，可以先求得各个数据与这组数据的平均数的差的绝对值，再取其平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小，通常，采用的是下面的做法： 设在一组数据 中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是 ，那么我们用它们的平均数，即用 ③ 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．一组数据方差越大，说明这组数据波动越大．教师要剖析公式中每一个元素的意义，以便学生理解和掌握． 在学生理解方差概念时，可能会提出疑问：为什么要这样定义方差？（教师说明，在表示各数据与其平均数的倔离程度时，为了防止正偏差与负偏差的相互抵消）为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而要将它们平方？（教师说明，这主要是因为在很多问题里，含有绝对值的式子不便于运算，且在衡量一组数据波动大小的“功能”上，方差更强些）为什么要除以数据个数n？（是为了消除数据个数的影响）． 在学生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通过计算机床甲、乙两组数据的方差，再根据理论说明哪个机床做得更好． 教师范解 从 知道，机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大. 这样做使学生深刻体会到数学来源于实践，又反过来作用实践，不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣，而且培养了学生应用数学的意识. 3．例1 （用幻灯出示）已知两组数据： 甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7 乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1 分别计算这两组数据的方差. 让学生自己动手计算，求平均数时激发学生用简化公式计算，找一名好学生到黑板计算. 解：根据公式②（取 ），有 从 知道，乙组数据比甲组数据波动大. 4．标准差概念 在有些情况下，需要用到方差的算术平方根 ④ 并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量. 教师引导学生分析方差与标准差的区别与联系： 计算标准差要比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据一致，有时用它比较方便. 活动5【练习】针对训练例1 填空题； （1）一组数据： ， ，0， ，1的平均数是0，则 = .方差 . （2）如果样本方差 ， 那么这个样本的平均数为 .样本容量为 . （3）已知 的平均数 10，方差 3，则 的平均数为 ，方差为 . 例2 选择题： （1）样本方差的作用是（ ） A、估计总体的平均水平 B、表示样本的平均水平 C、表示总体的波动大小 D、表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小 （2）一个样本的方差是0，若中位数是 ，那么它的平均数是（ ） A、等于 B、不等于 C、大于 D、小于 （3）已知样本数据101，98，102，100，99，则这个样本的标准差是（ ） A、0 B、1 C、 D、2 （4）如果给定数组中每一个数都减去同一非零常数，则数据的（ ） A、平均数改变，方差不变 B、平均数改变，方差改变 C、平均数不变，方差不变 A、平均数不变，方差改变 例3 为了考察甲、乙两种农作物的长势，分别从中抽取了10株苗，测得苗高如下：（单位：mm） 甲：9，10，11，12，7，13，10，8，12，8 乙：8，13，12，11，10，12，7，7，9，11 请你经过计算后回答如下问题： （1）哪种农作物的10株苗长的比较高？ （2）哪种农作物的10株苗长的比较整齐？ P154例1 分析应注意的问题：题目中“整齐”的含义是什么？说明在这个问题中要研究一组数据的什么？学生通过思考可以回答出整齐即波动小，所以要研究两组数据波动大小，这一环节是明确题意。 1. 在求方差之前先要求哪个统计量，为什么？学生也可以得出先求平均数，因为公式中需要平均值，这个问题可以使学生明确利用方差计算步骤。 2. 方差怎样去体现波动大小？ 这一问题的提出主要复习巩固方差，反映数据波动大小的规律。 小结 1．本课介绍了当一组数据中的数值较小时，用以计算方差的简化计算公式⑤． 2．本课又学习了当一组数据中的数值较大时，用以计算方差的简化公式⑥． 练习：选用课本练习题． 作业：选用课本习题． 补充作业 2．甲、乙两组数据的方差之和为13，标准差之和为5，且甲的波动比乙的波动大，求它们各自的标准差．(答案：S甲=3，S乙=2．) 3．在某次数学考试中，甲、乙两校各8个班，不及格的人数分别如下： 分别计算这两组数据的平均数与方差． 教学注意问题 要注意给学生讲如下三点： 1．方差与标准差是衡量样本和总体波动大小的特征数． 2．用简化计算公式求方差较为方便． 3．对同类问题的两组数据，方差小的波动小、方差大的波动大． 阅读与思考 数据波动程度的几种度量 课时设计 课堂实录阅读与思考 数据波动程度的几种度量 1第一学时 教学活动 活动1【导入】明确目标前面我们学习了平均数、众数及中位数，它们都是描述一组数据的集中趋势的量，这节课我们将进一步学习衡量样本（或一组数据）和总体的另一类特征数——方差、标准差及其计算. 活动2【讲授】整体感知对于一组数据来说，我们除了关心它的集中趋势以外，还关心它的波动大小.衡量这个波动大小的最常用的特征数，就是方差和标准差. 活动3【活动】教学过程1．请同学们看下面的问题：（用幻灯出示） 两台机床同时生产直径是40毫米的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10件进行测量，结果如下（单位：毫米） 机床甲 40 39．8 40．1 40．2 39．9 40 40．2 39．8 40．2 39．8 机床乙 40 40 39．9 40 39．9 40．2 40 40．1 40 39．9 上面表中的数据如图所示 教师引导学生观察表格中的数据和图，提出问题：怎样能说明在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，哪个机床做得好呢？ 对于这个问题，学生会马上想到计算它们的平均数．教师可把学生分成两级分别计算这两组数据的平均数．（请两名同学到黑板计算） 计算的结果说明两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米．这时教师引导学生思考，这能说明两个机床做的一样好吗？不能！我们再观察上图（给学生充分的时间观察，找出左右两图的区别）从图中看到，机床甲生产的零件的直径与规定尺寸偏差较大，偏离40毫米线较多；机床乙生产的零件的直径与规定尺寸偏差较小，比较集中在40毫米线的附近．这 说明，在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，机床乙比机床甲要好． 教师说明：从上面看到，对于一组数据，除需要了解它们的平均水平外，还常常需要了解它们的波动大小（即偏离平均数的大小）． 通过引例的学习，使学生理解为什么要研究数据波动的大小，为提出方差概念做好了准 备． 活动4【活动】方差概念教师讲解，为了描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法，例如，可以先求得各个数据与这组数据的平均数的差的绝对值，再取其平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小，通常，采用的是下面的做法： 设在一组数据 中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是 ，那么我们用它们的平均数，即用 ③ 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．一组数据方差越大，说明这组数据波动越大．教师要剖析公式中每一个元素的意义，以便学生理解和掌握． 在学生理解方差概念时，可能会提出疑问：为什么要这样定义方差？（教师说明，在表示各数据与其平均数的倔离程度时，为了防止正偏差与负偏差的相互抵消）为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而要将它们平方？（教师说明，这主要是因为在很多问题里，含有绝对值的式子不便于运算，且在衡量一组数据波动大小的“功能”上，方差更强些）为什么要除以数据个数n？（是为了消除数据个数的影响）． 在学生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通过计算机床甲、乙两组数据的方差，再根据理论说明哪个机床做得更好． 教师范解 从 知道，机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大. 这样做使学生深刻体会到数学来源于实践，又反过来作用实践，不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣，而且培养了学生应用数学的意识. 3．例1 （用幻灯出示）已知两组数据： 甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7 乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1 分别计算这两组数据的方差. 让学生自己动手计算，求平均数时激发学生用简化公式计算，找一名好学生到黑板计算. 解：根据公式②（取 ），有 从 知道，乙组数据比甲组数据波动大. 4．标准差概念 在有些情况下，需要用到方差的算术平方根 ④ 并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量. 教师引导学生分析方差与标准差的区别与联系： 计算标准差要比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据一致，有时用它比较方便. 活动5【练习】针对训练例1 填空题； （1）一组数据： ， ，0， ，1的平均数是0，则 = .方差 . （2）如果样本方差 ， 那么这个样本的平均数为 .样本容量为 . （3）已知 的平均数 10，方差 3，则 的平均数为 ，方差为 . 例2 选择题： （1）样本方差的作用是（ ） A、估计总体的平均水平 B、表示样本的平均水平 C、表示总体的波动大小 D、表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小 （2）一个样本的方差是0，若中位数是 ，那么它的平均数是（ ） A、等于 B、不等于 C、大于 D、小于 （3）已知样本数据101，98，102，100，99，则这个样本的标准差是（ ） A、0 B、1 C、 D、2 （4）如果给定数组中每一个数都减去同一非零常数，则数据的（ ） A、平均数改变，方差不变 B、平均数改变，方差改变 C、平均数不变，方差不变 A、平均数不变，方差改变 例3 为了考察甲、乙两种农作物的长势，分别从中抽取了10株苗，测得苗高如下：（单位：mm） 甲：9，10，11，12，7，13，10，8，12，8 乙：8，13，12，11，10，12，7，7，9，11 请你经过计算后回答如下问题： （1）哪种农作物的10株苗长的比较高？ （2）哪种农作物的10株苗长的比较整齐？ P154例1 分析应注意的问题：题目中“整齐”的含义是什么？说明在这个问题中要研究一组数据的什么？学生通过思考可以回答出整齐即波动小，所以要研究两组数据波动大小，这一环节是明确题意。 1. 在求方差之前先要求哪个统计量，为什么？学生也可以得出先求平均数，因为公式中需要平均值，这个问题可以使学生明确利用方差计算步骤。 2. 方差怎样去体现波动大小？ 这一问题的提出主要复习巩固方差，反映数据波动大小的规律。 小结 1．本课介绍了当一组数据中的数值较小时，用以计算方差的简化计算公式⑤． 2．本课又学习了当一组数据中的数值较大时，用以计算方差的简化公式⑥． 练习：选用课本练习题． 作业：选用课本习题． 补充作业 2．甲、乙两组数据的方差之和为13，标准差之和为5，且甲的波动比乙的波动大，求它们各自的标准差．(答案：S甲=3，S乙=2．) 3．在某次数学考试中，甲、乙两校各8个班，不及格的人数分别如下： 分别计算这两组数据的平均数与方差． 教学注意问题 要注意给学生讲如下三点： 1．方差与标准差是衡量样本和总体波动大小的特征数． 2．用简化计算公式求方差较为方便． 3．对同类问题的两组数据，方差小的波动小、方差大的波动大． 郭智勇评论
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