22.1 二次函数的图象和性质优秀公开课教案

地区： 福建省 - 莆田市 - 秀屿区

学校：莆田市秀屿区土头初级中学

22.1　二次函数的图象和性… 初中数学       人教2011课标版

1.知识与能力：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围

2.过程与方法：注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识

3.情感态度与价值观：培养学生的良好的学习习惯

教学重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

教学难点：求出函数的自变量的取值范围。

一、试一试

    1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中，

AB长x(m)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

BC长(m)

12

面积y(m2)

48

    2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗?

    3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式，

    对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。

    对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。

    对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式．

二、提出问题

    某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?

    在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：

1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?

    [利润=(售价－进价)×销售量]

    2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?

    [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]

    3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品?

[(10－8－x)；(100＋100x)]

    4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，

    [x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]

    5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。

    [y=(10－8－x)  (100＋100x)(0≤x≤2)]

    将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为：

    y=－2x2＋20x   (0＜x＜10)……………………………(1)

    将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为：

    y=－100x2＋100x＋20D  (0≤x≤2)……………………(2)

    三、观察；概括

    1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答；

    (1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个?

    (各有1个)

    (2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式?

    (分别是二次多项式)

    (3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点?

    (都是用自变量的二次多项式来表示的)

    (4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？

    让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。

    2．二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c  (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项．

四、课堂练习

P3练习第1，2题。

五、小结

1．请叙述二次函数的定义．

2．许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。

六、作业

P14：1、2  P14：7

(一)、知识与技能

1、会用描点法画出 的图象．

2．结合 的图象初步理解抛物线及其有关的概念.并从图像上认识二次函数 的性质

 (二)、过程与方法

先画出函数 的图像，然后观察图像并结合所列函数对应值表探究其性质，最终归纳整理得出结论。

 (三)、情感态度与价值观

在画二次函数图像的过程中渗透数形结合思想，在探究二次函数 的性质过程中获得发现的兴趣。

二次函数 的图像。

从有关的图像中得出二次函数 的性质。

一、提出问题

    1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?

    (先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)

    2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?

    (可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)

    3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?

二、范例

 例1、画二次函数y=x2的图象。

解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：

x

…

－3

－2

－1

0

1

2

3

…

y

…

9

4

1

0

1

4

9

…

 (2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点

 (3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。

提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?

让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。

抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。

顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．

三、做一做

    1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?

2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?

    3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?

在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论。交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。

四、归纳、概括

函数y＝x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数y＝x2、y=-x2、y＝2x2、y=-2x2的图象的共同特点，可猜想：

    函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。

    如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么?

    让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空；

    当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。

    图象的这些特点反映了函数的什么性质?

先让学生观察下图，回答以下问题；

    (1)XA、XB大小关系如何?是否都小于0？

    (2)yA、yB大小关系如何?

    (3)XC、XD大小关系如何?是否都大于0?

    (4)yC、yD大小关系如何?

    (XA<XB，且XA<0，XB<0；yA>yB；XC<XD，且XC>0，XD>0，yC<yD)

    其次，让学生填空。

    当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______

    以上结论就是当a>0时，函数y=ax2的性质。

    思考以下问题：

    观察函数y＝-x2、y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当a<O时，抛物线y＝ax2有些什么特点?它反映了当a<O时，函数y=ax2具有哪些性质?

    让学生讨论、交流，达成共识，当a<O时，抛物线y=ax2开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点抛物线上位置最高的点。图象的这些特点，反映了当a<O时，函数y=ax2的性质；当x<0时，函数值y随x的增大而增大；与x>O时，函数值y随x的增大而减小，当x=0时，函数值y＝ax2取得最大值，最大值是y＝0。

六、作业

  P14：3、4   P14：8

22.1　二次函数的图象和性质

22.1　二次函数的图象和性质

一、试一试

    1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中，

AB长x(m)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

BC长(m)

12

面积y(m2)

48

    2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗?

    3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式，

    对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。

    对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。

    对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式．

二、提出问题

    某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?

    在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：

1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?

    [利润=(售价－进价)×销售量]

    2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?

    [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]

    3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品?

[(10－8－x)；(100＋100x)]

    4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，

    [x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]

    5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。

    [y=(10－8－x)  (100＋100x)(0≤x≤2)]

    将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为：

    y=－2x2＋20x   (0＜x＜10)……………………………(1)

    将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为：

    y=－100x2＋100x＋20D  (0≤x≤2)……………………(2)

    三、观察；概括

    1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答；

    (1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个?

    (各有1个)

    (2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式?

    (分别是二次多项式)

    (3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点?

    (都是用自变量的二次多项式来表示的)

    (4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？

    让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。

    2．二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c  (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项．

四、课堂练习

P3练习第1，2题。

五、小结

1．请叙述二次函数的定义．

2．许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。

六、作业

P14：1、2  P14：7