信息技术应用 探索二次函数的性质多媒体教学设计及其点评

地区： 湖北省 - 武汉市 - 江汉区

学校：武汉市友谊路中学

信息技术应用　探索二次函… 初中数学       人教2011课标版

1、能从具体的二次函数与一元二次方程问题转化中体会二者的关系，从中体会特殊与一般的数学思想；

2、能结合抛物线与直线的位置关系，判断相应的一元二次方程根的情况，并能确定一元二次方程根的近似值；

3、在例题教学的过程中，体验数学研究的方法和思路，如：二次函数问题→一元二次方程解决、一元二次方程→二次函数图象、逐步逼近等．

一元二次方程根的几何意义；抛物线与x轴的位置关系与一元二次方程根的情况之间的对应关系。

利用二次函数的图象求相应一元二次方程实数根的近似值。

观察下列四个图象，结合图象说明点A(B)的含义．

             图1                                        图2                               图3                                        图4

【师生行为】学生根据图象结合自己的理解说明点A(B)的含义，教师根据学生的回答进行归纳．

【设计意图】帮助学生回顾已建立的函数与方程之间的联系，并让学生利用已有知识，通过类比的方法，初步得到二次函数与一元二次方程的联系，体验数形结合的数学思想．

如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝20t－5t2． 

考虑以下问题，并结合图象解释你的结论：

（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？

（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？

（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？

（4）小球从飞出到落地要用多少时间？

【师生行为】解题前，师生共同分析，寻找解题方法；学生在独立思考的基础上，经过计算给出答案，采取小组交流讨论、代表发言的方式，分别从数与形的角度分析问题．

【设计意图】二次函数与实际问题相结合，从数的角度，将二次函数问题转化为一元二次方程问题，利用方程知识解决问题；从形的角度来解释问题解决的过程．

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

b2－4ac

的值

求解一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

的图象

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

的图象与x轴公共点个数

二次函数

y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴公共点的横坐标

【师生行为】学生独立思考完成表格，教师巡视及时纠偏，学生展示结果并归纳．

【设计意图】内化二次函数与一元二次方程之间的联系．

例1  （1）抛物线y＝﹣x2＋6x＋1与x轴的公共点有       个，y＝2x2－3x＋4与x轴的公共点有         个，y＝x2＋2x＋1与x轴的公共点有       个．

（2）一元二次方程3x2＋x－10＝0的两个根为－2，3
(
5
)
，那么抛物线y＝3x2＋x－10与x轴的交点坐标是                         ．

（3）抛物线y＝x2－5x＋6与x轴交点坐标为（2，0），（3，0），那么方程x2－5x＋6＝0的根为                         ．

例2   利用函数图象求方程x2－2x－2＝0 的实数根（结果保留小数点后一位）.

【师生行为】例1由学生口答，例2先画图并估计方程的实数根，进而为了提高函数图象的准确性，用几何画板教学软件画图，学生观察图象得出结论．再利用几何画板的计算与绘图功能，通过不断缩小根所在的范围去估计方程的根的近似值．

【设计意图】利用二次函数的图象研究一元二次方程根的问题，要选择二次函数和相应的直线，会看图象，会根据图象确定根的近似值，探寻减小根的近似值误差的方法．

归纳：一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可得如下结论.

（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根.

（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.

作业：课本47页1、3、4．

（选做）已知抛物线y＝﹣x2＋x＋2m(m为常数）.

（1）m为何值时，抛物线与x轴有唯一公共点？

（2）m为何值时，抛物线与x轴没有公共点？

m为何值时，抛物线与x轴有公共点？

信息技术应用　探索二次函数的性质

信息技术应用　探索二次函数的性质

观察下列四个图象，结合图象说明点A(B)的含义．

             图1                                        图2                               图3                                        图4

【师生行为】学生根据图象结合自己的理解说明点A(B)的含义，教师根据学生的回答进行归纳．

【设计意图】帮助学生回顾已建立的函数与方程之间的联系，并让学生利用已有知识，通过类比的方法，初步得到二次函数与一元二次方程的联系，体验数形结合的数学思想．

如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝20t－5t2． 

考虑以下问题，并结合图象解释你的结论：

（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？

（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？

（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？

（4）小球从飞出到落地要用多少时间？

【师生行为】解题前，师生共同分析，寻找解题方法；学生在独立思考的基础上，经过计算给出答案，采取小组交流讨论、代表发言的方式，分别从数与形的角度分析问题．

【设计意图】二次函数与实际问题相结合，从数的角度，将二次函数问题转化为一元二次方程问题，利用方程知识解决问题；从形的角度来解释问题解决的过程．

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

b2－4ac

的值

求解一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

的图象

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

的图象与x轴公共点个数

二次函数

y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴公共点的横坐标

【师生行为】学生独立思考完成表格，教师巡视及时纠偏，学生展示结果并归纳．

【设计意图】内化二次函数与一元二次方程之间的联系．

例1  （1）抛物线y＝﹣x2＋6x＋1与x轴的公共点有       个，y＝2x2－3x＋4与x轴的公共点有         个，y＝x2＋2x＋1与x轴的公共点有       个．

（2）一元二次方程3x2＋x－10＝0的两个根为－2，3
(
5
)
，那么抛物线y＝3x2＋x－10与x轴的交点坐标是                         ．

（3）抛物线y＝x2－5x＋6与x轴交点坐标为（2，0），（3，0），那么方程x2－5x＋6＝0的根为                         ．

例2   利用函数图象求方程x2－2x－2＝0 的实数根（结果保留小数点后一位）.

【师生行为】例1由学生口答，例2先画图并估计方程的实数根，进而为了提高函数图象的准确性，用几何画板教学软件画图，学生观察图象得出结论．再利用几何画板的计算与绘图功能，通过不断缩小根所在的范围去估计方程的根的近似值．

【设计意图】利用二次函数的图象研究一元二次方程根的问题，要选择二次函数和相应的直线，会看图象，会根据图象确定根的近似值，探寻减小根的近似值误差的方法．

归纳：一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可得如下结论.

（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根.

（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.

作业：课本47页1、3、4．

（选做）已知抛物线y＝﹣x2＋x＋2m(m为常数）.

（1）m为何值时，抛物线与x轴有唯一公共点？

（2）m为何值时，抛物线与x轴没有公共点？

m为何值时，抛物线与x轴有公共点？