信息技术应用 用计算机画函数图象优质课教学设计

地区： 湖北省 - 黄石市 - 阳新县

学校：阳新县枫林镇枫林初级中学

信息技术应用 用计算机画… 初中数学       人教2011课标版

1.掌握一次函数y＝kx＋b(k≠0)的性质.     2.能根据k与b的值说出函数的有关性质.

一次函数的图象是在理解一次函数的概念以后，类比正比例函数的图象和性质进行学习。学生通过该节课的学习，能理解函数的解析式、函数的图象和函数的性质之间的联系，为下一步学习函数打下基础。

教学重点

1.一次函数中k与b的值对函数性质的影响； 

2.结合图象体会一次函数k、b的取值和直线位置的关系，提高数形结合能力．

教学难点：一次函数k、b的取值和直线位置的关系，数形结合能力

教学过程：Ⅰ．提出问题，创设情境

1.一次函数的图象是一条直线，一般情况下我们画一次函数的图象，取哪两个点比较简便？ 

2.在同一直角坐标系中，画出函数 和y＝3x-2的图象.

问 在所画的一次函数图象中，直线经过几个象限.

Ⅱ．导入新课

1.在所画的一次函数图象中，直线经过了三个象限.

2.观察图象发现在直线 上，当一个点在直线上从左向右移动时，（即自变量x从小到大时），点的位置也在逐步从低到高变化（函数y的值也从小变到大）.

即：函数值y随自变量x的增大而增大.

讨论：函数y＝3x-2是否也有这种现象?

既然，一次函数的图象经过三个象限，观察上述两个函数的图象，从它经过的象限看，它必经过哪两个象限（可以再画几条直线分析）？

发现上述两条直线都经过一、三象限．又由于直线与y轴的交点坐标是(0,b)所以，当b＞0时，直线与x轴的交点在y轴的正半轴，也称在x轴的上方；当b＜0时，直线与x轴的交点在y轴的负半轴，也称在x轴的下方．所以当k＞0,b≠0时，直线经过一、三、二象限或一、三、四象限.

3.在同一坐标系中，画出函数y＝-x＋2和 的图象（图略）.

根据上面分析的过程，研究这两个函数图象是否也有相应的性质？能发现什么规律.

观察函数y＝-x＋2和 的图象发现：当一个点在直线上从左向右移动时(即自变量x从小到大时)，点的位置逐步从高到低变化（函数y的值也从大变到小）.

即：函数值y随自变量x的增大而减小.

又发现上述两条直线都经过二、四象限，且当b＞0时，直线与x轴的交点在y轴的正半轴，或在x轴的上方；当b＜0时，直线与x轴的交点在y轴的负半轴，或在x轴的下方.所以当k＜0,b≠0时，直线经过二、四、一象限或经过二、四、三象限.

一次函数y＝kx＋b有下列性质：

(1)当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；

(2)当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.

特别地，当b＝0时，正比例函数也有上述性质.

当b＞0,直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，直线与y轴交于正半轴.

下面，我们把一次函数中k与b的正、负与它的图象经过的象限归纳列表为：

4.利用上面的性质，我们来看问题1和问题2反映了怎样的实际意义？

问题1 随着时间的增长,小明离北京越来越近.

问题2 随着时间的增长,小张的存款越来越多.

Ⅲ．例题与练习

例1 已知一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5,当m是什么数时，函数值y随x的增大而减小？

分析 一次函数y＝kx＋b(k≠0)，若k＜0，则y随x的增大而减小．

解 因为一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5，函数值y随x的增大而减小．

所以，2m-1＜0,即 .

例2 已知一次函数y＝(1-2m)x＋m-1，若函数y随x的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限,求m的取值范围.

分析 一次函数y＝kx＋b(k≠0)，若函数y随x的增大而减小，则k＜0,若函数的图象经过二、三、四象限，则k＜0,b＜0.

解 由题意得:  ,      解得，

例3 已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m图象与y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数.

(1)求m的值；(2)当x取何值时，0＜y＜4？

分析 一次函数y＝kx＋b(k≠0)与y轴的交点坐标是(0,b)，而交点在x轴下方，则b＜0,而y随x的增大而减小,则k＜0.

解 (1)由题意得： ，

解之得， ,又因为m为整数,所以m＝2.

(2)当m＝2时，y＝-2x-1.

又由于0＜y＜4.所以0＜-2x-1＜4.

解得： .

例4 说出直线y＝3x＋2与 ；y＝5x-1与y＝5x-4的相同之处．

分析 k相同，直线就平行．b相同，直线与y轴交于同一点，且交点坐标为(0,b)．

解 直线y＝3x＋2与 的b相同，所以这两条直线与y轴交于同一点，且交点坐标为(0,2)；

直线y＝5x-1与y＝5x-4的k都是5，所以这两条直线互相平行．

例5 画出直线y＝-2x＋3，借助图象找出:

(1)直线上横坐标是2的点；

(2)直线上纵坐标是-3的点；

(3)直线上到y轴距离等于1的点．

解 (1)直线上横坐标是2的点是A(2,-1)；

(2)直线上纵坐标是-3的点B(3,-3)；

(3)直线上到y轴距离等于1的点C(1,1)和D(-1,5)．

例5 画出函数y＝-2x＋2的图象，结合图象回答下列问题：

(1)这个函数中，随着x的增大，y将增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？

(2)当x取何值时，y＝0?

(3)当x取何值时，y＞0？

分析 (1)由于k＝-2＜0,y随着x的增大而减小.

(2) y＝0,即图象上纵坐标为0的点,所以这个点在x轴上.

(3) y＞0,即图象上纵坐标为正的点,这些点在x轴的上方.

解 (1)由于k＝-2＜0,所以随着x的增大，y将减小.

 当一个点在直线上从左向右移动时，点的位置也在

逐步从高到低变化,即图象从左到右呈下降趋势.

(2)当x＝1时, y＝0 .     (3)当x＜1时, y＞0.

Ⅳ．课时小结

1．(1)当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；

(2)当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.

当b>0,直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，直线与y轴交于负半轴；当b=0时，直线与y轴交于坐标原点. 

2．k＞0,b＞0时，直线经过一、二、三象限； k＞0,b＜0时，直线经过一、三、四象限；

k＜0,b＞0时，直线经过一、二、四象限； k＜0,b＜0时，直线经过二、三、四象限.

Ⅴ．课后作业

1.已知函数 ,当m为何值时，这个函数是一次函数.并且图象经过第二、三、四象限？ 

2.已知关于x的一次函数y＝(-2m＋1)x＋2m2＋m-3.

(1)若一次函数为正比例函数，且图象经过第一、第三象限，求m的值；

(2)若一次函数的图象经过点(1，-2),求m的值.

3.已知函数 .

(1)当m取何值时，y随x的增大而增大? (2)当m取何值时，y随x的增大而减小?[来源:学科网]

4.已知点(-1,a)和 都在直线 上，试比较a和b的大小.你能想出几种判断的方法？

5.某个一次函数的图象位置大致如下图所示，试分别确定k、b的符号，并说出函数的性质.

信息技术应用 用计算机画函数图象

信息技术应用 用计算机画函数图象

教学过程：Ⅰ．提出问题，创设情境

1.一次函数的图象是一条直线，一般情况下我们画一次函数的图象，取哪两个点比较简便？ 

2.在同一直角坐标系中，画出函数 和y＝3x-2的图象.

问 在所画的一次函数图象中，直线经过几个象限.

Ⅱ．导入新课

1.在所画的一次函数图象中，直线经过了三个象限.

2.观察图象发现在直线 上，当一个点在直线上从左向右移动时，（即自变量x从小到大时），点的位置也在逐步从低到高变化（函数y的值也从小变到大）.

即：函数值y随自变量x的增大而增大.

讨论：函数y＝3x-2是否也有这种现象?

既然，一次函数的图象经过三个象限，观察上述两个函数的图象，从它经过的象限看，它必经过哪两个象限（可以再画几条直线分析）？

发现上述两条直线都经过一、三象限．又由于直线与y轴的交点坐标是(0,b)所以，当b＞0时，直线与x轴的交点在y轴的正半轴，也称在x轴的上方；当b＜0时，直线与x轴的交点在y轴的负半轴，也称在x轴的下方．所以当k＞0,b≠0时，直线经过一、三、二象限或一、三、四象限.

3.在同一坐标系中，画出函数y＝-x＋2和 的图象（图略）.

根据上面分析的过程，研究这两个函数图象是否也有相应的性质？能发现什么规律.

观察函数y＝-x＋2和 的图象发现：当一个点在直线上从左向右移动时(即自变量x从小到大时)，点的位置逐步从高到低变化（函数y的值也从大变到小）.

即：函数值y随自变量x的增大而减小.

又发现上述两条直线都经过二、四象限，且当b＞0时，直线与x轴的交点在y轴的正半轴，或在x轴的上方；当b＜0时，直线与x轴的交点在y轴的负半轴，或在x轴的下方.所以当k＜0,b≠0时，直线经过二、四、一象限或经过二、四、三象限.

一次函数y＝kx＋b有下列性质：

(1)当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；

(2)当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.

特别地，当b＝0时，正比例函数也有上述性质.

当b＞0,直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，直线与y轴交于正半轴.

下面，我们把一次函数中k与b的正、负与它的图象经过的象限归纳列表为：

4.利用上面的性质，我们来看问题1和问题2反映了怎样的实际意义？

问题1 随着时间的增长,小明离北京越来越近.

问题2 随着时间的增长,小张的存款越来越多.

Ⅲ．例题与练习

例1 已知一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5,当m是什么数时，函数值y随x的增大而减小？

分析 一次函数y＝kx＋b(k≠0)，若k＜0，则y随x的增大而减小．

解 因为一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5，函数值y随x的增大而减小．

所以，2m-1＜0,即 .

例2 已知一次函数y＝(1-2m)x＋m-1，若函数y随x的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限,求m的取值范围.

分析 一次函数y＝kx＋b(k≠0)，若函数y随x的增大而减小，则k＜0,若函数的图象经过二、三、四象限，则k＜0,b＜0.

解 由题意得:  ,      解得，

例3 已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m图象与y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数.

(1)求m的值；(2)当x取何值时，0＜y＜4？

分析 一次函数y＝kx＋b(k≠0)与y轴的交点坐标是(0,b)，而交点在x轴下方，则b＜0,而y随x的增大而减小,则k＜0.

解 (1)由题意得： ，

解之得， ,又因为m为整数,所以m＝2.

(2)当m＝2时，y＝-2x-1.

又由于0＜y＜4.所以0＜-2x-1＜4.

解得： .

例4 说出直线y＝3x＋2与 ；y＝5x-1与y＝5x-4的相同之处．

分析 k相同，直线就平行．b相同，直线与y轴交于同一点，且交点坐标为(0,b)．

解 直线y＝3x＋2与 的b相同，所以这两条直线与y轴交于同一点，且交点坐标为(0,2)；

直线y＝5x-1与y＝5x-4的k都是5，所以这两条直线互相平行．

例5 画出直线y＝-2x＋3，借助图象找出:

(1)直线上横坐标是2的点；

(2)直线上纵坐标是-3的点；

(3)直线上到y轴距离等于1的点．

解 (1)直线上横坐标是2的点是A(2,-1)；

(2)直线上纵坐标是-3的点B(3,-3)；

(3)直线上到y轴距离等于1的点C(1,1)和D(-1,5)．

例5 画出函数y＝-2x＋2的图象，结合图象回答下列问题：

(1)这个函数中，随着x的增大，y将增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？

(2)当x取何值时，y＝0?

(3)当x取何值时，y＞0？

分析 (1)由于k＝-2＜0,y随着x的增大而减小.

(2) y＝0,即图象上纵坐标为0的点,所以这个点在x轴上.

(3) y＞0,即图象上纵坐标为正的点,这些点在x轴的上方.

解 (1)由于k＝-2＜0,所以随着x的增大，y将减小.

 当一个点在直线上从左向右移动时，点的位置也在

逐步从高到低变化,即图象从左到右呈下降趋势.

(2)当x＝1时, y＝0 .     (3)当x＜1时, y＞0.

Ⅳ．课时小结

1．(1)当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；

(2)当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.

当b>0,直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，直线与y轴交于负半轴；当b=0时，直线与y轴交于坐标原点. 

2．k＞0,b＞0时，直线经过一、二、三象限； k＞0,b＜0时，直线经过一、三、四象限；

k＜0,b＞0时，直线经过一、二、四象限； k＜0,b＜0时，直线经过二、三、四象限.

Ⅴ．课后作业

1.已知函数 ,当m为何值时，这个函数是一次函数.并且图象经过第二、三、四象限？ 

2.已知关于x的一次函数y＝(-2m＋1)x＋2m2＋m-3.

(1)若一次函数为正比例函数，且图象经过第一、第三象限，求m的值；

(2)若一次函数的图象经过点(1，-2),求m的值.

3.已知函数 .

(1)当m取何值时，y随x的增大而增大? (2)当m取何值时，y随x的增大而减小?[来源:学科网]

4.已知点(-1,a)和 都在直线 上，试比较a和b的大小.你能想出几种判断的方法？

5.某个一次函数的图象位置大致如下图所示，试分别确定k、b的符号，并说出函数的性质.