14.3因式分解（通用）教学设计及教案分析

地区： 湖北省 - 孝感市 - 孝南区

学校：孝感市孝南区三汊镇三汊初级中学

14.3　因式分解 初中数学       人教2011课标版

1．使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系．

2．使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式．

通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力.

重点:理解因式分解的含义及运用提取公因式法分解因式。

  难点：合理分组，运用提取公因式法分解因式。

乘法对加法的分配律

1．新课引入：用类比的方法引入课题．

　　在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)．例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7．

　　在前面我们学习了整式的乘法，几个整式相乘可以化成一个多项式，那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法．

2．因式分解的概念：

请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结果．(老师按学生所说在黑板写出几个．)

　　如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc

　　　　2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy

　　　　(a+b)(a-b)＝a2-b2

　　　　(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn

　　　　(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10 等等．

　　再请学生观察它们有什么共同的特点？

　　特点：左边，整式×整式；右边，是多项式．

　　可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解．

　　定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

　　如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．

　　　　整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc．

　　让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别．

　　联系：同样是由几个相同的整式组成的等式．

　　区别：这几个相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下式是整式乘法．两者是方向相反的恒等变形，二者是一个式子的不同表现形式，一个是多项式的表现形式，一个是两个或几个因式积的表现形式．

　　例1 下列各式从左到右哪些是因式分解？（投影）

　　　　(1)x2-x＝x(x-1) (√)

　　　　(2)a(a-b)＝a2-ab (×)

　　　　(3)(a+3)(a-3)＝a2-9 (×)

　　　　(4)a2-2a+1＝a(a-2)+1 (×)

　　　　(5)x2-4x+4＝(x-2)2 (√)

　　下面我们学习几种常见的因式分解方法．

3．提公因式法：

　　我们看多项式：ma+mb+mc

　　请学生指出它的特点：各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．

　　注意：公因式是各项都含有的公共的因式．

　　又如：a是多项式a2-a各项的公因式．

　　　　　ab是多项式5a2b-ab2各项的公因式．

　　　　　2mn是多项式4m2np-2mn2q各项的公因式．

　　根据乘法的分配律，可得

　　　　m(a+b+c)＝ma+mb+mc，

　　逆变形，便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式

　　　　ma+mb+mc＝m(a+b+c)．

　　这说明，多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外面，将多项式　ma+mb+mc写成m(a+b+c)的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

　　定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多　　项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

　　显然，由定义可知，提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察上面的公因式的特点，找出确定公因式的万法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数：(2)字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数例2 指出下列各多项式中各项的公因式： 

　　　　(1)ax+ay+a (a)

　　　　(2)3mx-6mx2 (3mx)

　　　　(3)4a2+10ah (2a)

　　　　(4)x2y+xy2 (xy)

　　　　(5)12xyz-9x2y2 (3xy)

　　例3 把8a3b2-12ab3c分解因式．

　　　分析：分两步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式．

　　　先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2．

　　　解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc)．

　　　说明：

　　　　(1)应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取．

　　　　(2)开始讲提公因式法时，最好把公因式单独写出．①以显提醒；③强调提公因式；③强调因式分解． 

　　例4 把3x2-6xy+x 分解因式．

　　　分析：先引导学生找出公因式x，强调多项式中x=x·1．

　　　解：3x2-6xy+x

　　　　　=x·3x-x·6y+x·1

　　　　　＝x(3x-6y+1)．

　　　说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1，1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，这类题常常有些学生犯下面的错误，3x2-6xy+x=x(3x-6y)，这一点可让学生利用恒等变形分析错误原因．还应提醒学生注意：提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数一样，这样可以检查是否漏项．

课堂练习：（投影）

　　把下列各式分解因式：

　　　　(l)2πR+2πr；

(2)

　　　　(3)3x3+6x2；

　　　　(4)21a2+7a；

　　　　(5)15a2+25ab2；

　　　　(6)x2y+xy2-xy．

　　例5 把-4m3+16m2-26m分解因式．

　　分析：此多项式第一项的系数是负数，与前面两例不同，应先把它转化为前面的情形便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提"-"号时，注意添括号法则．

　　解：-4m3+16m2-26m

　　　　＝-(4m3-16m2+26m)

　　　　＝-2m(2m2-8m+13)．

　　说明：通过此例可以看出应用提公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号；然后再提公因式．

把下列各式分解因式：

　　　　(1)-15ax-20a；

　　　　(2)-25x8+125x16；

　　　　(3)-a3b2+a2b3；

　　　　(4)-x3y3-x2y2-xy；

　　　　(5)-3ma3+6ma2-12ma；

1．因式分解的意义及其概念．

　　2．因式分解与整式乘法的联系与区别．

　　3．公因式及提公因式法．

　　4．提公因式法因式分解中应注意的问题

14.3　因式分解

14.3　因式分解

乘法对加法的分配律

1．新课引入：用类比的方法引入课题．

　　在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)．例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7．

　　在前面我们学习了整式的乘法，几个整式相乘可以化成一个多项式，那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法．

2．因式分解的概念：

请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结果．(老师按学生所说在黑板写出几个．)

　　如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc

　　　　2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy

　　　　(a+b)(a-b)＝a2-b2

　　　　(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn

　　　　(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10 等等．

　　再请学生观察它们有什么共同的特点？

　　特点：左边，整式×整式；右边，是多项式．

　　可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解．

　　定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

　　如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．

　　　　整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc．

　　让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别．

　　联系：同样是由几个相同的整式组成的等式．

　　区别：这几个相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下式是整式乘法．两者是方向相反的恒等变形，二者是一个式子的不同表现形式，一个是多项式的表现形式，一个是两个或几个因式积的表现形式．

　　例1 下列各式从左到右哪些是因式分解？（投影）

　　　　(1)x2-x＝x(x-1) (√)

　　　　(2)a(a-b)＝a2-ab (×)

　　　　(3)(a+3)(a-3)＝a2-9 (×)

　　　　(4)a2-2a+1＝a(a-2)+1 (×)

　　　　(5)x2-4x+4＝(x-2)2 (√)

　　下面我们学习几种常见的因式分解方法．

3．提公因式法：

　　我们看多项式：ma+mb+mc

　　请学生指出它的特点：各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．

　　注意：公因式是各项都含有的公共的因式．

　　又如：a是多项式a2-a各项的公因式．

　　　　　ab是多项式5a2b-ab2各项的公因式．

　　　　　2mn是多项式4m2np-2mn2q各项的公因式．

　　根据乘法的分配律，可得

　　　　m(a+b+c)＝ma+mb+mc，

　　逆变形，便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式

　　　　ma+mb+mc＝m(a+b+c)．

　　这说明，多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外面，将多项式　ma+mb+mc写成m(a+b+c)的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

　　定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多　　项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

　　显然，由定义可知，提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察上面的公因式的特点，找出确定公因式的万法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数：(2)字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数例2 指出下列各多项式中各项的公因式： 

　　　　(1)ax+ay+a (a)

　　　　(2)3mx-6mx2 (3mx)

　　　　(3)4a2+10ah (2a)

　　　　(4)x2y+xy2 (xy)

　　　　(5)12xyz-9x2y2 (3xy)

　　例3 把8a3b2-12ab3c分解因式．

　　　分析：分两步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式．

　　　先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2．

　　　解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc)．

　　　说明：

　　　　(1)应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取．

　　　　(2)开始讲提公因式法时，最好把公因式单独写出．①以显提醒；③强调提公因式；③强调因式分解． 

　　例4 把3x2-6xy+x 分解因式．

　　　分析：先引导学生找出公因式x，强调多项式中x=x·1．

　　　解：3x2-6xy+x

　　　　　=x·3x-x·6y+x·1

　　　　　＝x(3x-6y+1)．

　　　说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1，1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，这类题常常有些学生犯下面的错误，3x2-6xy+x=x(3x-6y)，这一点可让学生利用恒等变形分析错误原因．还应提醒学生注意：提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数一样，这样可以检查是否漏项．

课堂练习：（投影）

　　把下列各式分解因式：

　　　　(l)2πR+2πr；

(2)

　　　　(3)3x3+6x2；

　　　　(4)21a2+7a；

　　　　(5)15a2+25ab2；

　　　　(6)x2y+xy2-xy．

　　例5 把-4m3+16m2-26m分解因式．

　　分析：此多项式第一项的系数是负数，与前面两例不同，应先把它转化为前面的情形便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提"-"号时，注意添括号法则．

　　解：-4m3+16m2-26m

　　　　＝-(4m3-16m2+26m)

　　　　＝-2m(2m2-8m+13)．

　　说明：通过此例可以看出应用提公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号；然后再提公因式．

把下列各式分解因式：

　　　　(1)-15ax-20a；

　　　　(2)-25x8+125x16；

　　　　(3)-a3b2+a2b3；

　　　　(4)-x3y3-x2y2-xy；

　　　　(5)-3ma3+6ma2-12ma；

1．因式分解的意义及其概念．

　　2．因式分解与整式乘法的联系与区别．

　　3．公因式及提公因式法．

　　4．提公因式法因式分解中应注意的问题

• 优点:

  重难点突出。小结好，过程流畅。

• 缺点:

  练习题梯度不够。

• 优点:

  环节设计合理（有层次、结构合理，过渡自然）.

• 缺点:

  未上传教学资源