21.3 实际问题与一元二次方程教学设计及课堂实录

地区： 四川省 - 广元市 - 旺苍县

学校：四川省旺苍县双河初级中学校

21.3　实际问题与一元二次… 初中数学       人教2011课标版

会列一元二次方程解应用题；进一步掌握解应用题的步骤和关键；通过一题多解使学生体会列方程的实质，培养灵活处理问题的能力。

知识掌握方面：学生对列方程解应用题的一般步骤已经熟悉，适合由特殊到一般的探究方式；

学生年龄特点：九年级学生具有丰富的想象力、好奇心和好胜心理。容易开发他们的主观能动性。

重点：列方程解应用题；

难点：会用含未知数的代数式表示题目里的中间量；会根据所设的不同意义的未知数，列出相应的方程。

（学生活动）请同学们独立完成下面的题目．

    问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?

    老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+ ×100）

    解：设每张贺年卡应降价x元

    则（0.3-x）（500+ ）=120    

    解得：x=0.1

    答：每张贺年卡应降价0.1元．

 刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系．

    例1．某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．

    分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元； ，从这些数目看，好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题．

    解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．

    （2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y元，

    则：（0.75-y）（200+ ×34）=120

    即（ -y）（200+136y）=120

    整理：得68y2+49y-15=0

    y=

    ∴y≈-0.98（不符题意，应舍去）

      y≈0.23元

    答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大．

    因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律．

例2．两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?

      绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．

    相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题．

    解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，

    则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元．

    依题意，得5000（1-x）2=3000

    解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）

    设乙种药品成本的平均下降率为y．

    则：6000（1-y）2=3600

    整理，得：（1-y）2=0.6

    解得：y≈0.225

    答：两种药品成本的年平均下降率一样大．

    因此，虽然绝对量相差很多，但其相对量也可能相等．

  新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少?

例3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：

    （1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．

    （2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．

    （3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?

    分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．

    （2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]

    （3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过 =250kg，在这个提前下，求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．

    解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元

    （2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000

    （3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000

    解得：x1=80，x2=60

    当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意．

    当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）．

    建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．

  一、选择题

1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（  ）．

      A．12人    B．18人    C．9人    D．10人

2．某一商人进货价便宜8%，而售价不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前x增加到（x+10%），则x是（  ）．

      A．12%     B．15%     C．30%      D．50%

3．育才中学为迎接香港回归，从1994年到1997年四年内师生共植树1997棵，已知该校1994年植树342棵，1995年植树500棵，如果1996年和1997年植树的年增长率相同，那么该校1997年植树的棵数为（  ）．

      A．600     B．604     C．595     D．605

二、填空题

1．一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．

2．甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．

3．一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，设每次倒出液体xL，则列出的方程是________．

1．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?

2．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?

3．某玩具厂有4个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a（a>0）个成品，且每个车间每天都生产b（b>0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、周二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同．

    （1）这若干名检验员1天共检验多少个成品?（用含a、b的代数式表示）

    （2）若一名检验员1天能检验 b个成品，则质量科至少要派出多少名检验员?

21.3　实际问题与一元二次方程

21.3　实际问题与一元二次方程

（学生活动）请同学们独立完成下面的题目．

    问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?

    老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+ ×100）

    解：设每张贺年卡应降价x元

    则（0.3-x）（500+ ）=120    

    解得：x=0.1

    答：每张贺年卡应降价0.1元．

 刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系．

    例1．某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．

    分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元； ，从这些数目看，好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题．

    解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．

    （2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y元，

    则：（0.75-y）（200+ ×34）=120

    即（ -y）（200+136y）=120

    整理：得68y2+49y-15=0

    y=

    ∴y≈-0.98（不符题意，应舍去）

      y≈0.23元

    答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大．

    因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律．

例2．两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?

      绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．

    相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题．

    解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，

    则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元．

    依题意，得5000（1-x）2=3000

    解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）

    设乙种药品成本的平均下降率为y．

    则：6000（1-y）2=3600

    整理，得：（1-y）2=0.6

    解得：y≈0.225

    答：两种药品成本的年平均下降率一样大．

    因此，虽然绝对量相差很多，但其相对量也可能相等．

  新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少?

例3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：

    （1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．

    （2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．

    （3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?

    分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．

    （2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]

    （3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过 =250kg，在这个提前下，求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．

    解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元

    （2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000

    （3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000

    解得：x1=80，x2=60

    当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意．

    当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）．

    建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．

  一、选择题

1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（  ）．

      A．12人    B．18人    C．9人    D．10人

2．某一商人进货价便宜8%，而售价不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前x增加到（x+10%），则x是（  ）．

      A．12%     B．15%     C．30%      D．50%

3．育才中学为迎接香港回归，从1994年到1997年四年内师生共植树1997棵，已知该校1994年植树342棵，1995年植树500棵，如果1996年和1997年植树的年增长率相同，那么该校1997年植树的棵数为（  ）．

      A．600     B．604     C．595     D．605

二、填空题

1．一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．

2．甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．

3．一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，设每次倒出液体xL，则列出的方程是________．

1．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?

2．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?

3．某玩具厂有4个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a（a>0）个成品，且每个车间每天都生产b（b>0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、周二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同．

    （1）这若干名检验员1天共检验多少个成品?（用含a、b的代数式表示）

    （2）若一名检验员1天能检验 b个成品，则质量科至少要派出多少名检验员?