21.1 一元二次方程教学实录

地区： 广东省 - 潮州市 - 潮安县

学校：潮安区龙湖镇初级中学

21.1　一元二次方程 初中数学       人教2011课标版

1.知识与技能：探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识。

2.过程与方法：在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系。

3.情感态度价值观：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解

    数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。

本节课是学生在学习过整式、分式、二次根式、一元一次方程、二元一次方程、分式方程的前提下，进一步学习整式方程的另一个方程，从生活实际问题出发，提炼出一元二次方程的概念与相关内容，让学生容易接受，便于理解掌握，从而激起学生的学习兴趣。

重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念 并用这些概念解决问题；还有一元二次方程根的

           作用。

难点：根的作用的理解。

问题1    如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

  
 教师引导学生通过分析设出合适的未知数，列出方程。

分析：等量关系是底面的长×宽等于底面积，设切去的正方形的边长是x cm，列方程为：

           (100－2x)(50－2x)＝3 600；整理，化简，得到方程     ‍^{x2−75x+350=0}     。

设计说明：让学生通过数形结合的方法,转化实际问题,从而得到方程,为引入一元二次方程的概念做好准备。

问题2    要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安 排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？

分析：全部比赛总共28场，若设邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 12 x(x−1‍) 场，因此得到方程12 x(x−1)=28‍  ，经过整理得到方程 x²−x−56=0‍ 。

教师应注意：（1）学生对列方程解应用问题的步骤是否清楚；（2）学生能否说出每一步骤的关键和应注意问题。

设计说明：由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型。

观察上面问题得到的方程：

（1）x²−75x+350=0‍; 

（2） 12 x(x−1)=28‍ ;

（3）x²−x−56=0‍ .

学生活动：请口答下面问题。

    （1）上面几个方程整理后含有几个未知数？

    （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？

    （3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？

让学生们分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论。

在学生交流看法的基础上，教师引导学生归纳：

（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程。

因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

    一般地，任何一个关于x的一元 二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax²+bx+c=0(a≠0)‍ ,这种形式叫做一元二次方程的一般形式。

    一个一元二次方程经过整理化成ax²+bx+c=0(a≠0‍)后，其中ax²‍ 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

让学生思考：为什么规定a≠0，学生回答后，教师作解析说明。

强调：一元二次方程定义中的三个条件：（1）是整式方程，（2）含有一个未知数，（3）未知数的最高次数是2，三个条件缺一不可。

设计说明：让主体积极参与活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念，培养学生的探究能力。

例：将方程3x(x−1)=5(x+2‍)  化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数。

分析：一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a≠0‍) ．因此，方程 必须运用整式运算进行整理，包括去 括号、移项等。

解：去括号得

        3x²−3x=5x+10‍ ，

移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式

      3x²−8x−10=0‍ 。

其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10。

学生活动：学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，并指出各项系数。

教师活动：在学生指出各项系数的环节中，分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）。

设计说明：让学生巩固一元二次方程的概念及相关概念。

用试验的方法探索问题2中所列方程x²−x−56=0‍  的解，方程有几个解？

学生活动：学生可以采取多种方法得到方程的解，比如可以用尝试的方法取x＝1、2、3、4、5等，

发现x＝8时等号成立，于是x＝8是方程的一个解，如此等等。

教师活动：教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此基础上让学生进行总结：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解又叫作一元二次方程的根。

课本P4  练习1，2

本节课要掌握：

（1）一元二次方程的概念；

（2）一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0(a≠0‍) 和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用。

（3）一元二次方程根的概念以及作用.

21.1　一元二次方程

21.1　一元二次方程

问题1    如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

  
 教师引导学生通过分析设出合适的未知数，列出方程。

分析：等量关系是底面的长×宽等于底面积，设切去的正方形的边长是x cm，列方程为：

           (100－2x)(50－2x)＝3 600；整理，化简，得到方程     ‍^{x2−75x+350=0}     。

设计说明：让学生通过数形结合的方法,转化实际问题,从而得到方程,为引入一元二次方程的概念做好准备。

问题2    要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安 排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？

分析：全部比赛总共28场，若设邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 12 x(x−1‍) 场，因此得到方程12 x(x−1)=28‍  ，经过整理得到方程 x²−x−56=0‍ 。

教师应注意：（1）学生对列方程解应用问题的步骤是否清楚；（2）学生能否说出每一步骤的关键和应注意问题。

设计说明：由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型。

观察上面问题得到的方程：

（1）x²−75x+350=0‍; 

（2） 12 x(x−1)=28‍ ;

（3）x²−x−56=0‍ .

学生活动：请口答下面问题。

    （1）上面几个方程整理后含有几个未知数？

    （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？

    （3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？

让学生们分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论。

在学生交流看法的基础上，教师引导学生归纳：

（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程。

因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

    一般地，任何一个关于x的一元 二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax²+bx+c=0(a≠0)‍ ,这种形式叫做一元二次方程的一般形式。

    一个一元二次方程经过整理化成ax²+bx+c=0(a≠0‍)后，其中ax²‍ 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

让学生思考：为什么规定a≠0，学生回答后，教师作解析说明。

强调：一元二次方程定义中的三个条件：（1）是整式方程，（2）含有一个未知数，（3）未知数的最高次数是2，三个条件缺一不可。

设计说明：让主体积极参与活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念，培养学生的探究能力。

例：将方程3x(x−1)=5(x+2‍)  化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数。

分析：一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a≠0‍) ．因此，方程 必须运用整式运算进行整理，包括去 括号、移项等。

解：去括号得

        3x²−3x=5x+10‍ ，

移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式

      3x²−8x−10=0‍ 。

其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10。

学生活动：学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，并指出各项系数。

教师活动：在学生指出各项系数的环节中，分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）。

设计说明：让学生巩固一元二次方程的概念及相关概念。

用试验的方法探索问题2中所列方程x²−x−56=0‍  的解，方程有几个解？

学生活动：学生可以采取多种方法得到方程的解，比如可以用尝试的方法取x＝1、2、3、4、5等，

发现x＝8时等号成立，于是x＝8是方程的一个解，如此等等。

教师活动：教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此基础上让学生进行总结：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解又叫作一元二次方程的根。

课本P4  练习1，2

本节课要掌握：

（1）一元二次方程的概念；

（2）一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0(a≠0‍) 和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用。

（3）一元二次方程根的概念以及作用.