21.3 实际问题与一元二次方程优秀教学实录

地区： 广　西 - 钦州市 - 灵山县

学校：灵山县伯劳中学

21.3　实际问题与一元二次… 初中数学       人教2011课标版

1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．

2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．

经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。

解决问题

 3.通过解决传播及增长率问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．

4.情感态度

通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用

在学生学习了解一元二次方程及列一元一次方程解应用题的基础上，学习利用一元二次方程解决传播问题和百分率问题，构建一元二次方程解决实际问题的模型。

重点：利用增长率问题中的数量关系，列出方程解决问题  

难点：理清增长率问题中的数量关系

【思考】

列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？

【设计意图】

复习列方程一次方程解应用题，为继续学习建立一元二次方程的数学模型解实际问题作好铺垫．

【问题情境】

有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

    【分析】

（1）本题中有哪些数量关系？

（2）如何理解“两轮传染”？

（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？

（4）能否把方程列得更简单，怎样理解？

（5）解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？

【解答】

设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有x+1人患了流感，第二轮传染后有x(1+x)人患了流感。于是可列方程：

1+x+x(1+x)=121

解方程得　x1=10，　 x2=-12(不合题意舍去)

因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．

【思考】

如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？

【活动方略】

教师提出问题

学生分组，分别按问题（3）中所列的方程来解答，选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意问题．

【设计意图】

使学生通过多种方法解传播问题，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验． 

检查学生对所学知识的掌反馈练习

   1．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是（  ）

    A．x（x+1）=182     B．x（x-1）=182

    C．2x（x+1）=182    D．x（1-x）=182×2

2．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（  ）．

      A．12人    B．18人    C．9人    D．10人

【活动方略】

学生独立思考、独立解题．

    教师巡视握情况.

问题2：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？

解：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为               元，两年后甲种药品成本为                元．

    依题意，得                           

    解得：x1≈            ，x2≈            。

根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为            。

②设乙种药品成本的平均下降率为y．则，

列方程：                               

      解得：                            

答：两种药品成本的年平均下降率            ．

思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状态？

反馈练习

1．一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（  ）．

    A．（1+25%）（1+70%）a元   B．70%（1+25%）a元

    C．（1+25%）（1-70%）a元   D．（1+25%+70%）a元

2．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（  ）．

A．    B．p  C．    D．

3． 2009年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（  ）．

    A．100（1+x）2=250    B．100（1+x）+100（1+x）2=250

    C．100（1-x）2=250    D．100（1+x）2

   4．某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率

小结作业

1．问题：

通过本课的学习，大家有什么新的收获和体会？

本节课应掌握：

    利用“平均变化率”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．

2．作业：教材P53，习题22.3第7题，P58，复习题22第8题．

  　【活动方略】

教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．

学生独立完成作业，教师批改、总结．

【设计意图】通过归纳总结，培养学生的归纳总结能力，通过课外作业，使学生进一步理解，内化知识。

21.3　实际问题与一元二次方程

21.3　实际问题与一元二次方程

【思考】

列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？

【设计意图】

复习列方程一次方程解应用题，为继续学习建立一元二次方程的数学模型解实际问题作好铺垫．

【问题情境】

有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

    【分析】

（1）本题中有哪些数量关系？

（2）如何理解“两轮传染”？

（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？

（4）能否把方程列得更简单，怎样理解？

（5）解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？

【解答】

设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有x+1人患了流感，第二轮传染后有x(1+x)人患了流感。于是可列方程：

1+x+x(1+x)=121

解方程得　x1=10，　 x2=-12(不合题意舍去)

因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．

【思考】

如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？

【活动方略】

教师提出问题

学生分组，分别按问题（3）中所列的方程来解答，选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意问题．

【设计意图】

使学生通过多种方法解传播问题，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验． 

检查学生对所学知识的掌反馈练习

   1．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是（  ）

    A．x（x+1）=182     B．x（x-1）=182

    C．2x（x+1）=182    D．x（1-x）=182×2

2．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（  ）．

      A．12人    B．18人    C．9人    D．10人

【活动方略】

学生独立思考、独立解题．

    教师巡视握情况.

问题2：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？

解：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为               元，两年后甲种药品成本为                元．

    依题意，得                           

    解得：x1≈            ，x2≈            。

根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为            。

②设乙种药品成本的平均下降率为y．则，

列方程：                               

      解得：                            

答：两种药品成本的年平均下降率            ．

思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状态？

反馈练习

1．一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（  ）．

    A．（1+25%）（1+70%）a元   B．70%（1+25%）a元

    C．（1+25%）（1-70%）a元   D．（1+25%+70%）a元

2．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（  ）．

A．    B．p  C．    D．

3． 2009年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（  ）．

    A．100（1+x）2=250    B．100（1+x）+100（1+x）2=250

    C．100（1-x）2=250    D．100（1+x）2

   4．某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率

小结作业

1．问题：

通过本课的学习，大家有什么新的收获和体会？

本节课应掌握：

    利用“平均变化率”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．

2．作业：教材P53，习题22.3第7题，P58，复习题22第8题．

  　【活动方略】

教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．

学生独立完成作业，教师批改、总结．

【设计意图】通过归纳总结，培养学生的归纳总结能力，通过课外作业，使学生进一步理解，内化知识。