21.1 一元二次方程教学设计实例

地区： 河南省 - 巩义市 -

学校：巩义市涉村镇初级中学

21.1　一元二次方程 初中数学       人教2011课标版

    1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．

    2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．

    3．解决一些概念性的题目．

    4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．

       九年级的学生，在讲本节课之前，已经系统的学习了一元一次方程及相关概念，学习了整式、分式和二次根式，从知识结构上看他们已经具备了继续探究一元二次方程的基础。这个阶段的学生自主探究和合作交流的能力很强，并且他们比较、分析、抽象和概括的能力也有很大提高。由于他们有强烈的求知欲，当遇到新的问题时，会自然的产生进一步探究的欲望。作为老师，首先要培养他们自信心，启发他们对数学的喜爱，慢慢培养他们的自信心，使数学基本概念、基本运算方法悄然走进学生的生活、走进他们对知识的运用中去。

重点：一元二次方程的概念及一般形式。
难点：1.由实际问题向数学问题的转化过程。2.正确识别一般式中的“项”及“系数”。 

   问题1   如图1，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

   问题2   要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？         

   活动方略

      教师演示课件，给出题目．

      学生根据所学知识，通过分析设出合适的未知数，列出方程回答问题．（进行小组讨论、交流）

  设计意图

     由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型．

活动方略

学生活动：请口答下面问题．

    （1）上面几个方程整理后含有几个未知数？

    （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？

（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？

老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．

归纳：像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

    一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax²+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

    一个一元二次方程经过整理化成ax²+bx+c=0（a≠0）后，其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

设计意图

主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念．

例1  将方程 3x(x一1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．

解：去括号得3x²一3x=5x+10，

移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式

  3x²一8x一10=0．

其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10．

活动方略

学生活动：

学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数．

教师活动：

在学生指出各项系数的环节中，分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）．

设计意图

进一步巩固一元二次方程的基本概念．

例2　猜测方程x²一x一56=0 的解是什么？（参照课件）

活动方略

学生活动：

学生可以采取多种方法得到方程的解，比如可以用尝试的方法取x＝1、2、3、4、5等，发现x＝8时等号成立，于是x＝8是方程的一个解，如此等等．

教师活动：

教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，参照课件并在此基础上让学生进行总结：

使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）．

练习    课本P4　练习1、2题

补充习题：

1．将方程（x+1）²+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．

2．你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？

（1）x²一36=0 ； （2）4x²一9=0 ．

活动方略

    学生独立思考、独立解题．

    教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）

设计意图

检查学生对基础知识的掌握情况.

1．问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？

（1）一元二次方程的概念；

（2）一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用；

（3）一元二次方程根的概念以及作用

2．作业：  课本  P4      习题21．1 　   第1、2题

例3：求证：关于x的方程（m²-8m+17）²+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

    分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m²-8m+17≠0即可．

    证明：m²-8m+17=（m-4）²+1

    ∵（m-4）²≥0

    ∴（m-4）²+1>0，即（m-4）²+1≠0

    ∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

例4：有人解这样一个方程 （x+5）（x一1）=7．

解：x+5=1或x－1 = 7，所以x1=－4，x2 =8，你的看法如何？

  由 （x+5）（x一1）=7得到x+5=1或x－1=7，应该是x+5=1且x－1=7，同时成立才行，此时得到x=－4且x=8，显然矛盾，因此上述解法是错误的．

活动方略

教师活动：操作投影，将例3、例4显示，组织学生讨论．

学生活动：合作交流，讨论解答。

设计意图

使学生进一步理解一元二次方程的概念，对一元二次方程的根有更深刻的理解.

达标测试

1、根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：

   ⑴、4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；

   ⑵、一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；

  ⑶、把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x。

2、px²－3x+p²－q=0是关于x的一元二次方程，则（          ）。

   A．p=1     B．p>0     C．p≠0     D．p为任意实数

3、方程3x²－3=2x+1的二次项系数为_______，一次项系数为 ______，常数项为_____。

4、要使 （k+1）x^|k|+1+(k-1)x+2=0是一元二次方程，则k=_______.

5、关于x的方程 （m²-m）x^m+1是一元二次方程吗？为什么？

6、已知方程 5x²+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________

7、如果x=1是方程ax²+bx+3=0的一个根，求（a－b）²+4ab的值．

8、下列方程式一元二次方程的是（         ）

   A.x²+3x+y=0     B.x²+ x³+5=0   C. 2x²+mx= 8x-9     D.x+y+1=0

9.一元二次方程（1+3x）（x－3）=2x²+1化成一般形式为                  ，二次项系数为        ，一次项系数为        ，常数项为        。

10.已知x²+3x+5=7,求代数式3x²+9x－2的值。

11.若方程（m－1）x²+  x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是          。

12.参加聚会的每两人都握手一次，所有人共握手36次，则有多少人参加聚会？如果设参加聚会的人数为x，可以列出方程为                         。

13.已知m，n是方程x²－2x－1=0的两根，且（7m²－14m+a）（3n²－6n－7）=8，则a的值=           

21.1　一元二次方程

21.1　一元二次方程

   问题1   如图1，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

   问题2   要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？         

   活动方略

      教师演示课件，给出题目．

      学生根据所学知识，通过分析设出合适的未知数，列出方程回答问题．（进行小组讨论、交流）

  设计意图

     由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型．

活动方略

学生活动：请口答下面问题．

    （1）上面几个方程整理后含有几个未知数？

    （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？

（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？

老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．

归纳：像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

    一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax²+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

    一个一元二次方程经过整理化成ax²+bx+c=0（a≠0）后，其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

设计意图

主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念．

例1  将方程 3x(x一1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．

解：去括号得3x²一3x=5x+10，

移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式

  3x²一8x一10=0．

其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10．

活动方略

学生活动：

学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数．

教师活动：

在学生指出各项系数的环节中，分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）．

设计意图

进一步巩固一元二次方程的基本概念．

例2　猜测方程x²一x一56=0 的解是什么？（参照课件）

活动方略

学生活动：

学生可以采取多种方法得到方程的解，比如可以用尝试的方法取x＝1、2、3、4、5等，发现x＝8时等号成立，于是x＝8是方程的一个解，如此等等．

教师活动：

教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，参照课件并在此基础上让学生进行总结：

使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）．

练习    课本P4　练习1、2题

补充习题：

1．将方程（x+1）²+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．

2．你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？

（1）x²一36=0 ； （2）4x²一9=0 ．

活动方略

    学生独立思考、独立解题．

    教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）

设计意图

检查学生对基础知识的掌握情况.

1．问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？

（1）一元二次方程的概念；

（2）一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用；

（3）一元二次方程根的概念以及作用

2．作业：  课本  P4      习题21．1 　   第1、2题

例3：求证：关于x的方程（m²-8m+17）²+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

    分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m²-8m+17≠0即可．

    证明：m²-8m+17=（m-4）²+1

    ∵（m-4）²≥0

    ∴（m-4）²+1>0，即（m-4）²+1≠0

    ∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

例4：有人解这样一个方程 （x+5）（x一1）=7．

解：x+5=1或x－1 = 7，所以x1=－4，x2 =8，你的看法如何？

  由 （x+5）（x一1）=7得到x+5=1或x－1=7，应该是x+5=1且x－1=7，同时成立才行，此时得到x=－4且x=8，显然矛盾，因此上述解法是错误的．

活动方略

教师活动：操作投影，将例3、例4显示，组织学生讨论．

学生活动：合作交流，讨论解答。

设计意图

使学生进一步理解一元二次方程的概念，对一元二次方程的根有更深刻的理解.

达标测试

1、根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：

   ⑴、4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；

   ⑵、一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；

  ⑶、把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x。

2、px²－3x+p²－q=0是关于x的一元二次方程，则（          ）。

   A．p=1     B．p>0     C．p≠0     D．p为任意实数

3、方程3x²－3=2x+1的二次项系数为_______，一次项系数为 ______，常数项为_____。

4、要使 （k+1）x^|k|+1+(k-1)x+2=0是一元二次方程，则k=_______.

5、关于x的方程 （m²-m）x^m+1是一元二次方程吗？为什么？

6、已知方程 5x²+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________

7、如果x=1是方程ax²+bx+3=0的一个根，求（a－b）²+4ab的值．

8、下列方程式一元二次方程的是（         ）

   A.x²+3x+y=0     B.x²+ x³+5=0   C. 2x²+mx= 8x-9     D.x+y+1=0

9.一元二次方程（1+3x）（x－3）=2x²+1化成一般形式为                  ，二次项系数为        ，一次项系数为        ，常数项为        。

10.已知x²+3x+5=7,求代数式3x²+9x－2的值。

11.若方程（m－1）x²+  x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是          。

12.参加聚会的每两人都握手一次，所有人共握手36次，则有多少人参加聚会？如果设参加聚会的人数为x，可以列出方程为                         。

13.已知m，n是方程x²－2x－1=0的两根，且（7m²－14m+a）（3n²－6n－7）=8，则a的值=