19.1函数（通用）优秀公开课教案

地区： 黑龙江 - 哈尔滨市 - 呼兰区

学校：哈尔滨师范大学呼兰实验学校

19.1 函数 初中数学       人教2011课标版

１．学会用列表、描点、连线画函数图象．

    ２．学会观察、分析函数图象信息．

        3．提高识图能力、分析函数图象信息能力．

    4．体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题能力．

八年级的学生思维活跃，应注重方法教学，锻炼学生思维

１．函数图象的画法．

    ２．观察分析图象信息．

教学过程

    Ⅰ．提出问题，创设情境

    我们在前面学习了函数意义，并掌握了函数关系式的确立．但有些函数问题很难用函数关系式表示出来，然而可以通过图来直观反映．例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系．

    即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示则会使函数关系更清晰．

    我们这节课就来解决如何画函数图象的问题及解读函数图象信息．

    Ⅱ．导入新课

    我们先来看这样一个问题：

    正方形的边长x与面积Ｓ的函数关系是什么？其中自变量x的取值范围是什么？计算并填写下表：

[生]函数关系式为S=x2，因为x代表正方形的边长，所以自变量x>0，将每个x的值代入函数式即可求出对应的Ｓ值．

[师]好！如果我们在直角坐标系中，将你所填表格中的自变量x及对应的函数值S当作一个点的横坐标与纵坐标，即可在坐标系中得到一些点．

    大家思考一下，表示x与Ｓ的对应关系的点有多少个？如果全在坐标中指出的话是什么样子？可以讨论一下，然后发表你们的看法，建议大家不妨动手画画看．

    [生]这样的点有无数多个，如果全描出来太麻烦，也不可能．我们只能描出其中一部分，然后想象出其他点的位置，用光滑曲线连接起来．

    [师]很好！这样我们就得到了一幅表示Ｓ与x关系的图．图中每个点都代表x的值与Ｓ的值的一种对应关系．如点（2，4）表示x＝2时Ｓ＝4．

    一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（graph）．上图中的曲线即为函数Ｓ＝x2（x>0）的图象．

    函数图象可以数形结合地研究函数，给我们带来便利．

[活动一]

    活动内容设计：

下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温Ｔ如何随时间t的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息？

    如有条件，你可以用带有温度探头的计算机（器），测试、记录温度和绘制表示温度变化的图象．

    活动设计意图：

    １．通过图象进一步认识函数意义．

    ２．体会图象的直观性、优越性．

    ３．提高对图象的分析能力、认识水平．

    ４．掌握函数变化规律．

    教师活动：

    引导学生从两个变量的对应关系上认识函数，体会函数意义；可以指导学生找出一天内最高、最低气温及时间；在某些时间段的变化趋势；认识图象的直观性及优缺点；总结变化规律……．

    学生活动：

    在教师引导下，积极探寻，合作探究，归纳总结．

    活动结论：

    １．一天中每时刻t都有唯一的气温Ｔ与之对应．可以认为，气温Ｔ是时间t的函数．

    ２．这天中凌晨4时气温最低为-3℃，14时气温最高为8℃．

    ３．从0时至4时气温呈下降状态，即温度随时间的增加而下降．从4时至14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态．

    ４．我们可以从图象中直观看出一天中气温变化情况及任一时刻的气温大约是多少．

    ５．如果长期观察这样的气温图象，我们就能得到更多信息，掌握更多气温变化规律．

    [活动二]

    活动内容设计：

    下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离他家的距离．

    根据图象回答下列问题：

    １．菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？

    ２．小明给菜地浇水用了多少时间？

    ３．菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？

    ４．小明给玉米地锄草用了多长时间？

    ５．玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家平均速度是多少？

    设计意图：

    １．进一步提高识图能力．

    ２．按要求从图象中挖掘所需信息，并自理信息．

    教师活动：

    引导学生分析图象、寻找图象信息，特别是图象中有两段平行于x轴的线段的意义．

    学生活动：

    在教师引导下，积极思考、大胆参与、探求答案．

    活动结论：

    １．由纵坐标看出，菜地离小明家1．1千米；由横坐标看出，小明走到菜地用了15分钟．

    ２．由平行线段的横坐标可看出，小明给菜地浇水用了10分钟．

    ３．由纵坐标看出，菜地离玉米地0．9千米．由横坐标看出，小明从菜地到玉米地用了12分钟．

    ４．由平行线段的横坐标可看出，小明给玉米地锄草用了18分钟．

５．由纵坐标看出，玉米地离小明家2千米．由横坐标看出，小明从玉米地走回家用了25分钟．所以平均速度为：225=0．08（千米／分钟）．

    [师]我们通过两个活动已学会了如何观察分析图象信息，那么已知函数关系式，怎样画出函数图象呢？

    例：在下列式子中，对于x的每个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数．请画出这些函数的图象．

    １．y=x+ 0．5    ２．y=  （x﹥0）

    解：１．y=x +0．5

    从上式可看出，x取任意实数式子都有意义，所以x的取值范围是全体实数．

从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值．列表如下：

    根据表中数值描点（x，y），并用光滑曲线连结这些点．

    从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y=x 0．5随之增大．

    ２．y=

    自变量的取值为x>0的实数，即正实数．

    按条件选取自变量值，并计算y值列表：

据表中数值描点（x，y）并用光滑曲线连结这些点，就得到图象．

    从函数图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时，y＝

    [师]我们来总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤，好吗？

    [生]由以上例题可以知道：

    第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．

    第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．

    第三步：连线．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．

    尝试练习：

（1）下图是一种古代计时器──“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示时间，y表示壶底到水面的高度．下面的哪个图象适合表示y与x的函数关系？

    （2）a是自变量x取值范围内的任意一个值，过点（a，0）画y轴的平行线，与图中曲线相交．下列哪个图中的曲线表示y是x的函数？为什么？

    （提示：当x=a时，x的函数y只能有一个函数值）

    解：１．由题意可知，开始时壶内有一定量水，最终漏完，即开始时间x=0时，壶底水面高y≠0．最终漏完即时间x到某一值时y=0．

    故（1）图错．

    又因为壶内水面高低影响水的流速，开始漏得快，逐渐慢下来．

    所以（3）图更适合表示这个函数关系．

    ２．图（1）曲线表示y是x的函数．

    因为过（a，0）画y轴平行线与图形曲线只有一个交点，即x=a时，y有唯一的值与其对应，符合函数意义．

    图（2）曲线不表示y是x的函数．

    因为过点（a，0）画y轴平行线，与图中曲线有三个交点，即x=a时，y有三个值与其对应，不符合函数意

19.1 函数

19.1 函数

教学过程

    Ⅰ．提出问题，创设情境

    我们在前面学习了函数意义，并掌握了函数关系式的确立．但有些函数问题很难用函数关系式表示出来，然而可以通过图来直观反映．例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系．

    即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示则会使函数关系更清晰．

    我们这节课就来解决如何画函数图象的问题及解读函数图象信息．

    Ⅱ．导入新课

    我们先来看这样一个问题：

    正方形的边长x与面积Ｓ的函数关系是什么？其中自变量x的取值范围是什么？计算并填写下表：

[生]函数关系式为S=x2，因为x代表正方形的边长，所以自变量x>0，将每个x的值代入函数式即可求出对应的Ｓ值．

[师]好！如果我们在直角坐标系中，将你所填表格中的自变量x及对应的函数值S当作一个点的横坐标与纵坐标，即可在坐标系中得到一些点．

    大家思考一下，表示x与Ｓ的对应关系的点有多少个？如果全在坐标中指出的话是什么样子？可以讨论一下，然后发表你们的看法，建议大家不妨动手画画看．

    [生]这样的点有无数多个，如果全描出来太麻烦，也不可能．我们只能描出其中一部分，然后想象出其他点的位置，用光滑曲线连接起来．

    [师]很好！这样我们就得到了一幅表示Ｓ与x关系的图．图中每个点都代表x的值与Ｓ的值的一种对应关系．如点（2，4）表示x＝2时Ｓ＝4．

    一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（graph）．上图中的曲线即为函数Ｓ＝x2（x>0）的图象．

    函数图象可以数形结合地研究函数，给我们带来便利．

[活动一]

    活动内容设计：

下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温Ｔ如何随时间t的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息？

    如有条件，你可以用带有温度探头的计算机（器），测试、记录温度和绘制表示温度变化的图象．

    活动设计意图：

    １．通过图象进一步认识函数意义．

    ２．体会图象的直观性、优越性．

    ３．提高对图象的分析能力、认识水平．

    ４．掌握函数变化规律．

    教师活动：

    引导学生从两个变量的对应关系上认识函数，体会函数意义；可以指导学生找出一天内最高、最低气温及时间；在某些时间段的变化趋势；认识图象的直观性及优缺点；总结变化规律……．

    学生活动：

    在教师引导下，积极探寻，合作探究，归纳总结．

    活动结论：

    １．一天中每时刻t都有唯一的气温Ｔ与之对应．可以认为，气温Ｔ是时间t的函数．

    ２．这天中凌晨4时气温最低为-3℃，14时气温最高为8℃．

    ３．从0时至4时气温呈下降状态，即温度随时间的增加而下降．从4时至14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态．

    ４．我们可以从图象中直观看出一天中气温变化情况及任一时刻的气温大约是多少．

    ５．如果长期观察这样的气温图象，我们就能得到更多信息，掌握更多气温变化规律．

    [活动二]

    活动内容设计：

    下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离他家的距离．

    根据图象回答下列问题：

    １．菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？

    ２．小明给菜地浇水用了多少时间？

    ３．菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？

    ４．小明给玉米地锄草用了多长时间？

    ５．玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家平均速度是多少？

    设计意图：

    １．进一步提高识图能力．

    ２．按要求从图象中挖掘所需信息，并自理信息．

    教师活动：

    引导学生分析图象、寻找图象信息，特别是图象中有两段平行于x轴的线段的意义．

    学生活动：

    在教师引导下，积极思考、大胆参与、探求答案．

    活动结论：

    １．由纵坐标看出，菜地离小明家1．1千米；由横坐标看出，小明走到菜地用了15分钟．

    ２．由平行线段的横坐标可看出，小明给菜地浇水用了10分钟．

    ３．由纵坐标看出，菜地离玉米地0．9千米．由横坐标看出，小明从菜地到玉米地用了12分钟．

    ４．由平行线段的横坐标可看出，小明给玉米地锄草用了18分钟．

５．由纵坐标看出，玉米地离小明家2千米．由横坐标看出，小明从玉米地走回家用了25分钟．所以平均速度为：225=0．08（千米／分钟）．

    [师]我们通过两个活动已学会了如何观察分析图象信息，那么已知函数关系式，怎样画出函数图象呢？

    例：在下列式子中，对于x的每个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数．请画出这些函数的图象．

    １．y=x+ 0．5    ２．y=  （x﹥0）

    解：１．y=x +0．5

    从上式可看出，x取任意实数式子都有意义，所以x的取值范围是全体实数．

从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值．列表如下：

    根据表中数值描点（x，y），并用光滑曲线连结这些点．

    从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y=x 0．5随之增大．

    ２．y=

    自变量的取值为x>0的实数，即正实数．

    按条件选取自变量值，并计算y值列表：

据表中数值描点（x，y）并用光滑曲线连结这些点，就得到图象．

    从函数图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时，y＝

    [师]我们来总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤，好吗？

    [生]由以上例题可以知道：

    第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．

    第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．

    第三步：连线．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．

    尝试练习：

（1）下图是一种古代计时器──“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示时间，y表示壶底到水面的高度．下面的哪个图象适合表示y与x的函数关系？

    （2）a是自变量x取值范围内的任意一个值，过点（a，0）画y轴的平行线，与图中曲线相交．下列哪个图中的曲线表示y是x的函数？为什么？

    （提示：当x=a时，x的函数y只能有一个函数值）

    解：１．由题意可知，开始时壶内有一定量水，最终漏完，即开始时间x=0时，壶底水面高y≠0．最终漏完即时间x到某一值时y=0．

    故（1）图错．

    又因为壶内水面高低影响水的流速，开始漏得快，逐渐慢下来．

    所以（3）图更适合表示这个函数关系．

    ２．图（1）曲线表示y是x的函数．

    因为过（a，0）画y轴平行线与图形曲线只有一个交点，即x=a时，y有唯一的值与其对应，符合函数意义．

    图（2）曲线不表示y是x的函数．

    因为过点（a，0）画y轴平行线，与图中曲线有三个交点，即x=a时，y有三个值与其对应，不符合函数意