21.1 一元二次方程特级教师教学实录

地区： 云南省 - 玉溪市 - 江川县

学校：江川县大街镇大街中学

21.1　一元二次方程 初中数学       人教2011课标版

问题1  要设计一座高2m的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米?

    分析：雕像上部的高度AC,下部的高度BC

应有如下关系： ，即 .

设雕像下部高为 m，则上部的高为 m，

于是可得方程为

整理得

问题2  有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个正方形，然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形?

   设切去的正方形的边长为 cm,则盒底的长为 cm,宽为 cm.      

于是可得方程为

整理得

问题3  要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?

    设应邀请 个队参加比赛，每个队要与其他 个队各赛1场，

于是可得方程为

整理可得 .

观察并思考：观察 .

（1）上面三个方程是不是一元一次方程？经过整理后含有几个未知数？它们的最高次数是几次？

（2）这三个方程有什么共同特点？

学生思考并回答：这三个方程的共同特点是：①等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.

具有这些特点的方程又叫做什么呢？这就是我们今天要一起探索的内容。

请同学们按照提纲自主学习教材第2至3页练习完的内容。

自学提纲：

1、勾划并记住教材中的重点语句，思考并解答遇到的每一个问题。

2、什么叫做一元二次方程？

3、一元二次方程的一般形式：                            .

4、认识一元二次方程的二次项、一次项和常数项，二次项系数、一次项系数。

5、你能举出一些一元二次方程的例子吗？

6、模仿例题或运用所学知识完成教材第3页的练习。

 你学到了哪些知识？还有哪些问题？还想提出哪些问题?

1、正确理解一元二次方程的概念.

2、掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数和常数项.

归纳：

1、只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.

2、一般地，任何一个关于 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下的形式 ，这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项.

例1、下列方程中哪些是一元二次方程？为什么？

（1） ；（2） ；（3） ；

（4） ；（5） ；（6） .

注意：如果一个方程是一元二次方程，那么这个方程必须满足以下三个条件：

     （1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.

这三个条件必须同时满足，缺一不可！

例2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1） ；（2） ；（3） .

注意：1、二次项系数一般化为正数；

2、二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号；

3、一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项 ，则 ；若没有出现常数项，则 .

例3、已知关于 的方程 .

（1） 为何值时，它是一元二次方程？并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项；

为何值时，它是一元一次方程？

基础性题目

1、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.

（1） ；（2） ；（3） .

延展性题目

2、当 为何值时，关于 的方程 为一元二次方程？

当 为何值时，方程 是关于 的一元二次方程？

同学们，通过本节课的学习你有哪些收获？

教材第5页    习题21.1      第1、2题

21.1　一元二次方程

21.1　一元二次方程

问题1  要设计一座高2m的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米?

    分析：雕像上部的高度AC,下部的高度BC

应有如下关系： ，即 .

设雕像下部高为 m，则上部的高为 m，

于是可得方程为

整理得

问题2  有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个正方形，然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形?

   设切去的正方形的边长为 cm,则盒底的长为 cm,宽为 cm.      

于是可得方程为

整理得

问题3  要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?

    设应邀请 个队参加比赛，每个队要与其他 个队各赛1场，

于是可得方程为

整理可得 .

观察并思考：观察 .

（1）上面三个方程是不是一元一次方程？经过整理后含有几个未知数？它们的最高次数是几次？

（2）这三个方程有什么共同特点？

学生思考并回答：这三个方程的共同特点是：①等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.

具有这些特点的方程又叫做什么呢？这就是我们今天要一起探索的内容。

请同学们按照提纲自主学习教材第2至3页练习完的内容。

自学提纲：

1、勾划并记住教材中的重点语句，思考并解答遇到的每一个问题。

2、什么叫做一元二次方程？

3、一元二次方程的一般形式：                            .

4、认识一元二次方程的二次项、一次项和常数项，二次项系数、一次项系数。

5、你能举出一些一元二次方程的例子吗？

6、模仿例题或运用所学知识完成教材第3页的练习。

 你学到了哪些知识？还有哪些问题？还想提出哪些问题?

1、正确理解一元二次方程的概念.

2、掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数和常数项.

归纳：

1、只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.

2、一般地，任何一个关于 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下的形式 ，这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项.

例1、下列方程中哪些是一元二次方程？为什么？

（1） ；（2） ；（3） ；

（4） ；（5） ；（6） .

注意：如果一个方程是一元二次方程，那么这个方程必须满足以下三个条件：

     （1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.

这三个条件必须同时满足，缺一不可！

例2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1） ；（2） ；（3） .

注意：1、二次项系数一般化为正数；

2、二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号；

3、一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项 ，则 ；若没有出现常数项，则 .

例3、已知关于 的方程 .

（1） 为何值时，它是一元二次方程？并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项；

为何值时，它是一元一次方程？

基础性题目

1、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.

（1） ；（2） ；（3） .

延展性题目

2、当 为何值时，关于 的方程 为一元二次方程？

当 为何值时，方程 是关于 的一元二次方程？

同学们，通过本节课的学习你有哪些收获？

教材第5页    习题21.1      第1、2题