18.1 平行四边形教学实录及点评

地区： 吉林省 - 四平市 - 公主岭

学校：公主岭市范家屯第二中学

18.1　平行四边形 初中数学       人教2011课标版

知识与技能：1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．

            2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．

            3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．

过程与方法：经历平行四边形判定条件的探索过程，发展学生的合情推理意识和表述能力。

情感、态度与价值观：培养学生合情推理能力，经及严谨的书写表达，体会几何思维的真正内涵。

由于学生探索到：“两组对边分别相等的四边形为平行四边形”和“两条对角线互相平分的四边形为平行四边形”这两种判别方法后，由边和对角线数量关系分别判别四边形为平行四边形就比较容易解决，并且学生在探索过程中所经历的“观察—猜想—验证—说理—建模”的思维过程也是以后学习和认识世界的重要方法，具有广泛的应用价值，所以本节课的重点为探索平行四边形的两种判别方法，由于从理论上说明平行四边形的判别方法，对于几何逻辑思维尚处于起始阶段的八年级学生来讲，认知难度较大

重点：平行四边形的判定方法及应用

难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用

教师活动；教师手里拿一块平行四边形的玻璃碎块，

说：“今天早上老师把这个平行四边形不小心碰碎了一部分，办公室的同事拿着细绳很快将原来的平行四边形画了出来，你知道他用的是什么方法吗？

预设学生活动；学生可以根据图片中的对话提出自己的疑问

仔细看一下并且连系平行四边形的性质做出猜想

学生活动：利用图片的对比得出探究的问题

第一步“忆”——忆平行四边形的性质：

(1)从边看：两组对边分别平行

              两组对边分别相等

(2)从角看：两组对角分别相等

              四组邻角互补

(3)从对角线看：对角线互相平分

第二步“说”——说平行四边形性质的逆命题

      (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）

      (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形

      (3)两组对角分别相等的四边形是平形四边形

      (4)对角线互相平分的四边形是平行四边形

第三步“猜”

——这些逆命题可否成为平行四边形的判别方法

第四步“引”

——从中选出两个逆命题，即：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

对角线互相平分的四边形是平行四边形

 作本节课研究的中心议题

学生活动：引导学生讨论，让学生归纳概括。积极思考问题

设计意图：第一阶段 感知阶段

(1)让学生从真实的生活中发现数学；(2)激发学习兴趣，引导学生树立科学的人生观和价值观。

培养学生的正向思维和逆向思维，为平行四边形判定方法的进一步探索作好铺垫

第一步“验”——用动手实验的方式验证前面的猜想。

教师问：1：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗      

   2、转动这个四边形，使它的形状改变，在图形变化的过程中，它一直是一个平行四边形吗？

教师问：1、做成的这个四边形是一个平行四边形吗？          

 2、转动两根木条，它一直是一个平行四边形吗？

第二步“证”——引导学生运用学过的知识从理论上证明实验结果。

第三步“得”——得到平行四边形的两个判定定理：

第四步“练”——利用三道练习题进一步明明晰判定。

练一练： 

1、如图，若AD=8cm, AB=4cm，那么

BC=       cm, CD=       cm时，

四边形ABCD是平行四边形；

2、如图，AD=BC=16, AB=CD=15,

CF=DE=9，图中有哪些互相平行的线段？

3、如图，若AC=10cm, BD=8cm，则

AO=        cm, DO=        cm时，

则四边形ABCD为平行四边形。

学生活动：与别的小组比较，探讨自己小组的结论与别组的异同和是否科学、可靠。

实验一：学生以四人为小组进行活动，用课前发放准备好的两长两短的木条做成一个四边形。

实验二：将两根细木条中点重叠，用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形。

 学生结合图形，已知和求证，写出并讲解其证明过程。

判定定理一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

判定定理二：对角线互相平分的四边形是平行四边形

设计意图：第二阶段：探索阶段

本环节为这节课的重点所在考虑到学生认知上的困难，设计了“观察一猜想一验证一说理一抽象”这一过程，为学生提供充分从事数学活动和交流的机会，使学生经历从实践活动中抽象出数学概念的过程，并将从实践中探索得到的结论再应用到实践中去。

目的：(1)注重学生动手实验，探索过程并利用小组合作的方式，培养学生合作意识；

      (2）使学生在感性认识的基础上初步向理性认识过渡

例：在□ABCD中，点E, F分别为OA, OC的中点，四边形BEDF为平行四边形吗？请说明理由。

这是教材上的一道例题，此例题既用到性质，又用到判别，所以有一定综合性，但学生略加思考，是可以作答的。在此我会分三步走：

第一步八仙过海，各显神通：

教师提问：哪种解法是最佳解法？

          由教师书写步骤起示范作用。

第二步多种变式，激活思维：从条件角度对例题进行3次变式，再从结论角度进行一次变式。

变式1：由例题中特殊点E, F推广到较一般的，若AE=CF，结论有改变吗？为什么？

变式2：若E, F为直线AC上两点，且AE=CF，结论成立吗？为什么？

变式3：若E, F,G,H分别为AO, CO, , BO, DO的中点，四边形EGFH为平行四边形吗？为什么？

变式4：若变式3的条件成立，那么EG, FH有什么位置关系？

设计意图：第三阶段：纵深发展阶段

(1)让学生通过己有的生活经验和数学知识，把探索出的平行四边形的判别条件逐步应用于问题的解决中去，把知识形成过程，变为知识的发生、发展的创造过程，实现要领理解和结论掌握的感性到理性的自然深化；

  (2）对例题的变式是培养学生多层次，多角度思维能力的一种较好形式，源于此理念对例题从条件、结论角度进行变式，鼓励学生自主探索、合作交流，可以使学生初尝成功的喜悦；

 (3)三种解法多次变式，且变式3和变式4之间有一个“问题解决能力”的最近发展区，因此一步步加大题目的开放性，增加题目挖掘的深度和广度，全面认识“利用对角线互相平分来判别平行四边形”，实现学生认识的螺旋上升，符合学生认知特点。

第三步自编自练，化为能力：。彻底激活学生思维，将本课引向高潮。

学生活动：让全班同学，第一组用两组对边分别平行的定义法证明；第二组用两组对边分别相等的判定定理1说理；第三组用对角线互相平分的判定定理2论证；各小组完成后各派一代表上台展示本小组的解法。

鼓励学生大胆尝试对例题继续从条件和结论角度进行变式，自己编题给大家做

到课前问题：同学们想想看，有没有办法把原来的平行四边形重新画出来？

（教师巡回检查。对个别后进生稍加点拨，最后请学生回答画图方法）

学生想到的画法有：(1)分别过A，C作BC，BA的平行线，两平行线相交于D； (2）分别以A，C为圆心，以BC， BA的长为半径画弧，两弧相交于D，连接AD，CD； (3)这一种方法学生不易想到，即为平行四边形对角线的特性，引导学生得出连线AC，取AC的中点O，再连接BO，并延长BO到D，使BO=DO，连接AD，CD。

学生活动：

学生思考讨论，再各自画图，画好后互相交流画法

设计意图： 此题看似简单实则较难，容量也较大，教师应从判别方面加以引导；通过师生互动讨论交流，共同得出答案。

自然赋予本课判定实际性，使学生体验到数学生活化和生活的数学化。

五、小节本课，

  聊一聊：

    教师给方向，让学生以小组合作方式回顾本节知识技能和思想方法。

    情境：观察、猜想、验证、说理、抽象论

    →判别方法

    →应用

    →拓展

    判别方法：(1)两组对边分别相等的四边形为平行四边形

              (2)两条对角线互相平分的四边形为平行四边形

思想方法：化归、探究法。

设计意图：第四环节

巩固完善阶段。

通过提问的方式，引导学生小结本节重要的知识和思想方法，养成“学习一总结—学习”的良好学习习惯，发挥自我评价的作用；布置作业对本节的认知技能进行检测和反馈。

目的：培养学生语言表达能力；大作业拓展学生的知识面，提高学习数学的兴趣。

一、单项选择题

1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（  ）． 

A．AB∥CD，AD=BC         

B．∠A=∠B，∠C=∠D            

 C．AB=CD，AD=BC              

 D．AB=AD，CB=CD

2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（  ）．

 A．相邻的角互补     

B．两组对角分别相等   

C．一组对边平行，另一组对边相等   

D．对角线交点是两对角线中点

二、证明；

□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F是AC 上的两点，平且AE=CF. 求证：四边形BFDE是平行四边形.

18.1　平行四边形

18.1　平行四边形

教师活动；教师手里拿一块平行四边形的玻璃碎块，

说：“今天早上老师把这个平行四边形不小心碰碎了一部分，办公室的同事拿着细绳很快将原来的平行四边形画了出来，你知道他用的是什么方法吗？

预设学生活动；学生可以根据图片中的对话提出自己的疑问

仔细看一下并且连系平行四边形的性质做出猜想

学生活动：利用图片的对比得出探究的问题

第一步“忆”——忆平行四边形的性质：

(1)从边看：两组对边分别平行

              两组对边分别相等

(2)从角看：两组对角分别相等

              四组邻角互补

(3)从对角线看：对角线互相平分

第二步“说”——说平行四边形性质的逆命题

      (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）

      (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形

      (3)两组对角分别相等的四边形是平形四边形

      (4)对角线互相平分的四边形是平行四边形

第三步“猜”

——这些逆命题可否成为平行四边形的判别方法

第四步“引”

——从中选出两个逆命题，即：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

对角线互相平分的四边形是平行四边形

 作本节课研究的中心议题

学生活动：引导学生讨论，让学生归纳概括。积极思考问题

设计意图：第一阶段 感知阶段

(1)让学生从真实的生活中发现数学；(2)激发学习兴趣，引导学生树立科学的人生观和价值观。

培养学生的正向思维和逆向思维，为平行四边形判定方法的进一步探索作好铺垫

第一步“验”——用动手实验的方式验证前面的猜想。

教师问：1：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗      

   2、转动这个四边形，使它的形状改变，在图形变化的过程中，它一直是一个平行四边形吗？

教师问：1、做成的这个四边形是一个平行四边形吗？          

 2、转动两根木条，它一直是一个平行四边形吗？

第二步“证”——引导学生运用学过的知识从理论上证明实验结果。

第三步“得”——得到平行四边形的两个判定定理：

第四步“练”——利用三道练习题进一步明明晰判定。

练一练： 

1、如图，若AD=8cm, AB=4cm，那么

BC=       cm, CD=       cm时，

四边形ABCD是平行四边形；

2、如图，AD=BC=16, AB=CD=15,

CF=DE=9，图中有哪些互相平行的线段？

3、如图，若AC=10cm, BD=8cm，则

AO=        cm, DO=        cm时，

则四边形ABCD为平行四边形。

学生活动：与别的小组比较，探讨自己小组的结论与别组的异同和是否科学、可靠。

实验一：学生以四人为小组进行活动，用课前发放准备好的两长两短的木条做成一个四边形。

实验二：将两根细木条中点重叠，用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形。

 学生结合图形，已知和求证，写出并讲解其证明过程。

判定定理一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

判定定理二：对角线互相平分的四边形是平行四边形

设计意图：第二阶段：探索阶段

本环节为这节课的重点所在考虑到学生认知上的困难，设计了“观察一猜想一验证一说理一抽象”这一过程，为学生提供充分从事数学活动和交流的机会，使学生经历从实践活动中抽象出数学概念的过程，并将从实践中探索得到的结论再应用到实践中去。

目的：(1)注重学生动手实验，探索过程并利用小组合作的方式，培养学生合作意识；

      (2）使学生在感性认识的基础上初步向理性认识过渡

例：在□ABCD中，点E, F分别为OA, OC的中点，四边形BEDF为平行四边形吗？请说明理由。

这是教材上的一道例题，此例题既用到性质，又用到判别，所以有一定综合性，但学生略加思考，是可以作答的。在此我会分三步走：

第一步八仙过海，各显神通：

教师提问：哪种解法是最佳解法？

          由教师书写步骤起示范作用。

第二步多种变式，激活思维：从条件角度对例题进行3次变式，再从结论角度进行一次变式。

变式1：由例题中特殊点E, F推广到较一般的，若AE=CF，结论有改变吗？为什么？

变式2：若E, F为直线AC上两点，且AE=CF，结论成立吗？为什么？

变式3：若E, F,G,H分别为AO, CO, , BO, DO的中点，四边形EGFH为平行四边形吗？为什么？

变式4：若变式3的条件成立，那么EG, FH有什么位置关系？

设计意图：第三阶段：纵深发展阶段

(1)让学生通过己有的生活经验和数学知识，把探索出的平行四边形的判别条件逐步应用于问题的解决中去，把知识形成过程，变为知识的发生、发展的创造过程，实现要领理解和结论掌握的感性到理性的自然深化；

  (2）对例题的变式是培养学生多层次，多角度思维能力的一种较好形式，源于此理念对例题从条件、结论角度进行变式，鼓励学生自主探索、合作交流，可以使学生初尝成功的喜悦；

 (3)三种解法多次变式，且变式3和变式4之间有一个“问题解决能力”的最近发展区，因此一步步加大题目的开放性，增加题目挖掘的深度和广度，全面认识“利用对角线互相平分来判别平行四边形”，实现学生认识的螺旋上升，符合学生认知特点。

第三步自编自练，化为能力：。彻底激活学生思维，将本课引向高潮。

学生活动：让全班同学，第一组用两组对边分别平行的定义法证明；第二组用两组对边分别相等的判定定理1说理；第三组用对角线互相平分的判定定理2论证；各小组完成后各派一代表上台展示本小组的解法。

鼓励学生大胆尝试对例题继续从条件和结论角度进行变式，自己编题给大家做

到课前问题：同学们想想看，有没有办法把原来的平行四边形重新画出来？

（教师巡回检查。对个别后进生稍加点拨，最后请学生回答画图方法）

学生想到的画法有：(1)分别过A，C作BC，BA的平行线，两平行线相交于D； (2）分别以A，C为圆心，以BC， BA的长为半径画弧，两弧相交于D，连接AD，CD； (3)这一种方法学生不易想到，即为平行四边形对角线的特性，引导学生得出连线AC，取AC的中点O，再连接BO，并延长BO到D，使BO=DO，连接AD，CD。

学生活动：

学生思考讨论，再各自画图，画好后互相交流画法

设计意图： 此题看似简单实则较难，容量也较大，教师应从判别方面加以引导；通过师生互动讨论交流，共同得出答案。

自然赋予本课判定实际性，使学生体验到数学生活化和生活的数学化。

五、小节本课，

  聊一聊：

    教师给方向，让学生以小组合作方式回顾本节知识技能和思想方法。

    情境：观察、猜想、验证、说理、抽象论

    →判别方法

    →应用

    →拓展

    判别方法：(1)两组对边分别相等的四边形为平行四边形

              (2)两条对角线互相平分的四边形为平行四边形

思想方法：化归、探究法。

设计意图：第四环节

巩固完善阶段。

通过提问的方式，引导学生小结本节重要的知识和思想方法，养成“学习一总结—学习”的良好学习习惯，发挥自我评价的作用；布置作业对本节的认知技能进行检测和反馈。

目的：培养学生语言表达能力；大作业拓展学生的知识面，提高学习数学的兴趣。

一、单项选择题

1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（  ）． 

A．AB∥CD，AD=BC         

B．∠A=∠B，∠C=∠D            

 C．AB=CD，AD=BC              

 D．AB=AD，CB=CD

2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（  ）．

 A．相邻的角互补     

B．两组对角分别相等   

C．一组对边平行，另一组对边相等   

D．对角线交点是两对角线中点

二、证明；

□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F是AC 上的两点，平且AE=CF. 求证：四边形BFDE是平行四边形.