8.1 二元一次方程组优秀教学设计

地区： 湖北省 - 襄阳市 - 襄城区

学校：襄阳市第二十五中学

8.1 二元一次方程组 初中数学       人教2011课标版

（1）了解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念.

（2）经历有关含有两个等量关系的应用题的列方程的过程,理解二元一次方程与一元一次方程的联系，体会类比思想。

      本节课是在学生对一元一次方程已有认识的基础上，学习二元一次方程与二元一次方程组的相关概念.由于实际生活中涉及多个未知数的问题是普遍存在的，而二元一次方程组是解决含有两个未知数的问题的有力工具。同时，二元一次方程组也是解决后续一些数学问题的基础，如用待定系数法求一次函数解析式，在平面直角坐标系中求两条直线的交点坐标等。因此有必要研究二元一次方程组。

  教学重点是：二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念.
  教学难点是：二元一次方程、二元一次方程组及其解（集）的概念的准确理解.

                                                    第八章 二元一次方程组

                                                                        8.1 二元一次方程组

         一、内容和内容解析

         1.内容

         二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念.

         2.内容解析

         本节课是在学生对一元一次方程已有认识的基础上，学习二元一次方程与二元一次方程组的相关概念.由于实际生活中涉及多个未知数的问题是普遍存在的，而二元一次方程组是解决含有两个未知数的问题的有力工具。同时，二元一次方程组也是解决后续一些数学问题的基础，如用待定系数法求一次函数解析式，在平面直角坐标系中求两条直线的交点坐标等。因此有必要研究二元一次方程组。

        本节课通过与一元一次方程类比来认识二元一次方程及二元一次方程的解，并在此基础上了解二元一次方程组及二元一次方程组的解。

         本节课的教学重点是：二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念.

         二、目标和目标解析

         1.目标

      （1）了解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念.

      （2）经历有关含有两个等量关系的应用题的列方程的过程,理解二元一次方程与一元一次方程的联系，体会类比思想。

         2.目标解析

         达成目标（1）的标志：学生能正确判断二元一次方程、二元一次方程组，理解二元一次方程、二元一次方程组的解的概念。

         达成目标（2）的标志：让学生经经历探究的过程，体会二元一次方程与一元一次方程的关系，进一步体会类比的思想。

         三、教学问题诊断分析

         学生第一次遇到多元问题，为什么要设两个未知数，设两个未知数有什么好处,需要结合实际问题进行分析.通过对比和类比，可以发现二元一次方程与一元一次方程的联系，列二元一次方程组的优越性。

         本节课的教学难点是：二元一次方程、二元一次方程组及其解（集）的概念的准确理解.

        四、教学过程设计

      （一）、情境导入，引入新课

        问题1   篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负1场得1分，某队为了争取较好名次，想在全部10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数应分别是多少？

        你能用学过的一元一次方程解决这个问题吗？

        师生活动：学生回答设这个队胜x场，负(10-x)场,则                    

            2x+(10-x)=16

         追问（1）：一元一次方程有哪些特点？

         追问（2）：上面问题中，要求的是两个未知数,那么能不能根据题意直接设两个未知数,使列方程变得更直接、更简单一些呢？

         教师引出本章的内容及本节课内容。

         设计意图：由实际问题引导学生开始对本章节的学习，让学生进一步体会数学来源于生活。

        （二）、探究新知，解决问题

          1.二元一次方程

           问题2：上面问题中，怎样设两个未知数呢？

           师生活动：设胜的场数是x，负的场数是y

          追问（1）：问题中包含了哪些必须同时满足的条件？

          师生活动：胜的场数+负的场数=总场数 ;胜场积分+负场积分=总积分

          追问（2)：用方程怎样表示呢？

             x+y=10      2x+y=16

          追问（3）：这两个方程是一元一次方程吗？与一元一次方程有什么不同？如果让你取名，你会如何命名呢?

          追问（4）：你能再写出几个这样的方程吗？学生完成后小组内交流。

          教师继续追问（5）：这样的方程有什么特点呢?小组讨论，生总结师补充。

           特点①含有两个未知数； ②含未知数的项的次数是一次； ③是整式方程。

           追问（6）：类比一元一次方程，你能给出二元一次方程的定义吗？

          师生活动：含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1 ，像这样的方程叫做二元一次方程.

          设计意图：由实际问题引导学生开始对二元一次方程概念的探索。学生自己归纳总结出方程的特点之后给出二元一次方程的概念，比直接定义印象会更深刻，有助于学生对概念的理解.

         练习1

         判断下列方程哪些是二元一次方程，哪些不是二元一次方程，为什么？

         （1）2s+3t=－6；         （2）1x +y=8；

         （3）xy=9；                  （4）3x+2y+3z=17

         （5）x² + y=5；             （6）x= －y

         设计意图: 通过练习能帮助学生理解二元一次方程的概念，要强调二元一次方程的特点。

         2.二元一次方程的解

         问题3：在问题（1）中，满足方程x＋y=10且符合问题实际意义的x,y的值有哪些?把它们填入表中.

         追问（1）：结合问题1中的表格信息，类比一元一次方程解的意义，你能归纳出二元一次方程的解的概念吗？

        一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 通常记作……

        追问（2）:若不考虑实际意义你还能再找出几组方程的解吗？

        实际上，给定一个 的值，就相应的可以得到一个 的值。

        追问（3）:二元一次方程有多少组解?

       一般地，一个二元一次方程有无数多解。如果对未知数的取值附加某些限制条件，则可能有有限组解。

        设计意图：用填表的方式学生容易找到x,y的值，然后结合表格数据得出二元一次方程解的意义，并进一步体会二元一次方程解的不唯一性。

        练习2

      （1）下面几组数值中，哪些是二元一次方程 2x+y=16的解？（       ）

       （2）写出问题（1）中方程2x+y=16符合实际意义的解,并填入表中。

        3.二元一次方程组

         问题4 :在引言问题中，两个方程x+y=10，2x+y=16中的x,y的含义相同吗?

         x,y的含义相同，也就是说未知数x,y必须同时满足两个方程，那么我们把这两个含有相同未知数的方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

          练习3.

          判断下列方程组哪些是二元一次方程组，哪些不是二元一次方程组，为什么？

          学生独立完成后，小组交流。

          问题5：二元一次方程组有什么特点?如何下定义呢？

          学生归纳，教师补充：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.

          设计意图: 练习可帮助学生理解二元一次方程组的概念，要让学生理解二元一次方程组不一定是每个方程都是二元一次方程。

         4.二元一次方程组的解

          问题6：观察方程x＋y=10与方程2x＋y=16的满足实际意义的解，你能找到同时满足两个方程的x,y的值吗？

        可以发现x=6,y=4既是 x+y=10的解，也是2x+y=16的解，也就是说是这两个方程的公共解，我们把它叫做方程组

                     。

        归纳：二元一次方程组的解

        二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。一般情况下二元一次方程组只有一组解，记作

         设计意图:利用前面的两个表格，学生能很快解决问题，此时教师进一步引导学生得出二元一次方程组的解的定义。

         练习4

        三、应用新知，加深认识

         练习5

        1、关于x、y的方程ax²+bx+2y=3是一个二元一次方程，则a、b的值为（    ）

            A 、a=0且  b=0               B、 a=0或  b=0

            C、 a=0且  b≠0               D、a≠0且  b≠0

        2、若（a－3）x＋y ^︱a︱－2=9是关于x，y的二元一次方程的解，则a=         。

         5、列二元一次方程组。

          加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件。现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、二道工序所完成的件数相等？

         四、师生互动，回顾小结

       （设计说明：围绕三个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获。）

        问题1：本节课你学习了什么?

        问题2：本节课你有哪些收获?

        问题3：通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么?

        设计意图：通过对三个问题的思考引导学生回顾自己的学习历程，梳理主要知识、方法，构建知识体系.

        五、随堂检测

          1、下列各式中是二元一次方程的是（      ）

         六、拓展延伸

         1、足球联赛中，每队胜1场得3分，平一场得1分，负1场0分.

       （1）若某队在6场比赛中得到8分，负2场，那么这个队胜、平场数应分别是多少?

       （2）若某队在6场比赛中得到8分，那么这个队胜、平、负场数应分别是多少?

         2、 某电台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划插播长度为15 秒和30秒的两钟广告。15 秒广告每播1 次收费0.6 万元，30 秒广告每播 1 次收费1 万元，若要求每种广告播放不少于2 次，问：

        ⑴  两种广告的播放次数有几种安排方式？

        ⑵ 电视台选择哪种方式播放收益最大？

        七、布置作业：

              课本90页习题8.1   第1、2、3题

8.1 二元一次方程组

8.1 二元一次方程组

                                                    第八章 二元一次方程组

                                                                        8.1 二元一次方程组

         一、内容和内容解析

         1.内容

         二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念.

         2.内容解析

         本节课是在学生对一元一次方程已有认识的基础上，学习二元一次方程与二元一次方程组的相关概念.由于实际生活中涉及多个未知数的问题是普遍存在的，而二元一次方程组是解决含有两个未知数的问题的有力工具。同时，二元一次方程组也是解决后续一些数学问题的基础，如用待定系数法求一次函数解析式，在平面直角坐标系中求两条直线的交点坐标等。因此有必要研究二元一次方程组。

        本节课通过与一元一次方程类比来认识二元一次方程及二元一次方程的解，并在此基础上了解二元一次方程组及二元一次方程组的解。

         本节课的教学重点是：二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念.

         二、目标和目标解析

         1.目标

      （1）了解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念.

      （2）经历有关含有两个等量关系的应用题的列方程的过程,理解二元一次方程与一元一次方程的联系，体会类比思想。

         2.目标解析

         达成目标（1）的标志：学生能正确判断二元一次方程、二元一次方程组，理解二元一次方程、二元一次方程组的解的概念。

         达成目标（2）的标志：让学生经经历探究的过程，体会二元一次方程与一元一次方程的关系，进一步体会类比的思想。

         三、教学问题诊断分析

         学生第一次遇到多元问题，为什么要设两个未知数，设两个未知数有什么好处,需要结合实际问题进行分析.通过对比和类比，可以发现二元一次方程与一元一次方程的联系，列二元一次方程组的优越性。

         本节课的教学难点是：二元一次方程、二元一次方程组及其解（集）的概念的准确理解.

        四、教学过程设计

      （一）、情境导入，引入新课

        问题1   篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负1场得1分，某队为了争取较好名次，想在全部10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数应分别是多少？

        你能用学过的一元一次方程解决这个问题吗？

        师生活动：学生回答设这个队胜x场，负(10-x)场,则                    

            2x+(10-x)=16

         追问（1）：一元一次方程有哪些特点？

         追问（2）：上面问题中，要求的是两个未知数,那么能不能根据题意直接设两个未知数,使列方程变得更直接、更简单一些呢？

         教师引出本章的内容及本节课内容。

         设计意图：由实际问题引导学生开始对本章节的学习，让学生进一步体会数学来源于生活。

        （二）、探究新知，解决问题

          1.二元一次方程

           问题2：上面问题中，怎样设两个未知数呢？

           师生活动：设胜的场数是x，负的场数是y

          追问（1）：问题中包含了哪些必须同时满足的条件？

          师生活动：胜的场数+负的场数=总场数 ;胜场积分+负场积分=总积分

          追问（2)：用方程怎样表示呢？

             x+y=10      2x+y=16

          追问（3）：这两个方程是一元一次方程吗？与一元一次方程有什么不同？如果让你取名，你会如何命名呢?

          追问（4）：你能再写出几个这样的方程吗？学生完成后小组内交流。

          教师继续追问（5）：这样的方程有什么特点呢?小组讨论，生总结师补充。

           特点①含有两个未知数； ②含未知数的项的次数是一次； ③是整式方程。

           追问（6）：类比一元一次方程，你能给出二元一次方程的定义吗？

          师生活动：含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1 ，像这样的方程叫做二元一次方程.

          设计意图：由实际问题引导学生开始对二元一次方程概念的探索。学生自己归纳总结出方程的特点之后给出二元一次方程的概念，比直接定义印象会更深刻，有助于学生对概念的理解.

         练习1

         判断下列方程哪些是二元一次方程，哪些不是二元一次方程，为什么？

         （1）2s+3t=－6；         （2）1x +y=8；

         （3）xy=9；                  （4）3x+2y+3z=17

         （5）x² + y=5；             （6）x= －y

         设计意图: 通过练习能帮助学生理解二元一次方程的概念，要强调二元一次方程的特点。

         2.二元一次方程的解

         问题3：在问题（1）中，满足方程x＋y=10且符合问题实际意义的x,y的值有哪些?把它们填入表中.

         追问（1）：结合问题1中的表格信息，类比一元一次方程解的意义，你能归纳出二元一次方程的解的概念吗？

        一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 通常记作……

        追问（2）:若不考虑实际意义你还能再找出几组方程的解吗？

        实际上，给定一个 的值，就相应的可以得到一个 的值。

        追问（3）:二元一次方程有多少组解?

       一般地，一个二元一次方程有无数多解。如果对未知数的取值附加某些限制条件，则可能有有限组解。

        设计意图：用填表的方式学生容易找到x,y的值，然后结合表格数据得出二元一次方程解的意义，并进一步体会二元一次方程解的不唯一性。

        练习2

      （1）下面几组数值中，哪些是二元一次方程 2x+y=16的解？（       ）

       （2）写出问题（1）中方程2x+y=16符合实际意义的解,并填入表中。

        3.二元一次方程组

         问题4 :在引言问题中，两个方程x+y=10，2x+y=16中的x,y的含义相同吗?

         x,y的含义相同，也就是说未知数x,y必须同时满足两个方程，那么我们把这两个含有相同未知数的方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

          练习3.

          判断下列方程组哪些是二元一次方程组，哪些不是二元一次方程组，为什么？

          学生独立完成后，小组交流。

          问题5：二元一次方程组有什么特点?如何下定义呢？

          学生归纳，教师补充：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.

          设计意图: 练习可帮助学生理解二元一次方程组的概念，要让学生理解二元一次方程组不一定是每个方程都是二元一次方程。

         4.二元一次方程组的解

          问题6：观察方程x＋y=10与方程2x＋y=16的满足实际意义的解，你能找到同时满足两个方程的x,y的值吗？

        可以发现x=6,y=4既是 x+y=10的解，也是2x+y=16的解，也就是说是这两个方程的公共解，我们把它叫做方程组

                     。

        归纳：二元一次方程组的解

        二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。一般情况下二元一次方程组只有一组解，记作

         设计意图:利用前面的两个表格，学生能很快解决问题，此时教师进一步引导学生得出二元一次方程组的解的定义。

         练习4

        三、应用新知，加深认识

         练习5

        1、关于x、y的方程ax²+bx+2y=3是一个二元一次方程，则a、b的值为（    ）

            A 、a=0且  b=0               B、 a=0或  b=0

            C、 a=0且  b≠0               D、a≠0且  b≠0

        2、若（a－3）x＋y ^︱a︱－2=9是关于x，y的二元一次方程的解，则a=         。

         5、列二元一次方程组。

          加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件。现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、二道工序所完成的件数相等？

         四、师生互动，回顾小结

       （设计说明：围绕三个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获。）

        问题1：本节课你学习了什么?

        问题2：本节课你有哪些收获?

        问题3：通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么?

        设计意图：通过对三个问题的思考引导学生回顾自己的学习历程，梳理主要知识、方法，构建知识体系.

        五、随堂检测

          1、下列各式中是二元一次方程的是（      ）

         六、拓展延伸

         1、足球联赛中，每队胜1场得3分，平一场得1分，负1场0分.

       （1）若某队在6场比赛中得到8分，负2场，那么这个队胜、平场数应分别是多少?

       （2）若某队在6场比赛中得到8分，那么这个队胜、平、负场数应分别是多少?

         2、 某电台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划插播长度为15 秒和30秒的两钟广告。15 秒广告每播1 次收费0.6 万元，30 秒广告每播 1 次收费1 万元，若要求每种广告播放不少于2 次，问：

        ⑴  两种广告的播放次数有几种安排方式？

        ⑵ 电视台选择哪种方式播放收益最大？

        七、布置作业：

              课本90页习题8.1   第1、2、3题