8.2 消元——解二元一次方程组教学设计(第一课时)

地区： 重庆市 - 重庆市 - 北部新区

学校：重庆北部新区星光学校

8.2　消元——解二元一次… 初中数学       人教2011课标版

  1．体会用“代入法”解二元一次方程组的基本思路；

    2．熟练地用代入法解二元一次方程组；

    3．掌握“代入法”这一基本数学思想．

  1．体会用“代入法”解二元一次方程组的基本思路；

    2．熟练地用代入法解二元一次方程组；

    3．掌握“代入法”这一基本数学思想．

  课件展示上节课例“篮球联赛”题．

    师：设一个未知数（设胜x场），

    可以用一元一次方程2x＋(22－x)＝40来解．

    如果设两个未知数（设胜x场，负y场），可以列方程组

    那么一元一次方程与二元一次方程组有什么关系呢？

   生：我们小组经过讨论，认为二元一次方程组中第一个方程x＋y＝22可变形为y＝22－x，再将第二个方程2x＋y＝40中的y换为(22－x)，二元一次方程组就化为一元一次方程．

    解这个方程，得x＝18，再把x＝18代入y＝22－x，得y＝4，从而得到这个方程组的解．

    师：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再设法求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．

  组：我们小组讨论后认为首先应从方程组中选取一个方程，把其中的某一个未知数用另一个未知数的代数式表示出来．例如，可将 中的第一个方程变形为

y＝22－x③．

    生：我们同意他们的做法，接下来就应该将这个代数式代入另一个方程，达到消去一个未知数的目的，得到只含有一个未知数的一元一次方程．

    例如，将③代入②，得到方程2x＋(22－x)＝40，再解这个方程，求出一个未知数x＝18，最后将x＝18代入第一步所得的式子，求出另外一个未知数的值．

    师：同学们的探究活动进行得很好，如何解二元一次方程组呢？可以概括为：

    （课件展示．）

    （1）求表达式；

    （2）代入消元；

    （3）回代求解．

    师：下面我们用大家总结出来的代入消元法求二元一次方程组的解．

    （例题分析．）

    例1  用代入法解方程组

师：选择哪个方程呢？为什么？

    组：我们认为选取①，因为①中未知数x的系数为1，用含y的代数式表示x，比较简便，把①变为x＝3＋y③．

    师：把③代入①可以吗？为什么？

    生：不可以．因为③与①是同一个方程，应将③代入②，得3(3＋y)－8y＝14．

    师：得到这个方程后，下一步如何解？

    生：先解出这个方程y＝－1，再把y＝－1代入③，得x＝2．

    师：能否将y＝－1代入①或②？

    生：可以．

    师：如何表示方程组的解？

    生：把两个未知数的解写在一起，就是方程组的解，一般写成 的形式．

    师：请同学们完整地解出题目．

  例2  根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250g)两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2∶5．某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？

    师：如何来求解？

    生：我们组认为用方程组解比较好．

    设大瓶数为x，小瓶数为y．

    两个相等关系分别为：

    大瓶数︰小瓶数＝2∶5．

    大瓶装消毒液＋小瓶装消毒液＝总生产量．

    可列出方程组

    师：不论用一元一次方程还是用二元一次方程组，都能达到解决问题的目的．如何解这个二元一次方程组呢？由同学们自己独立完成，并以小组为单位，归纳出解二元一次方程组的步骤．

    课件展示几个学生的解题过程及解二元一次方程组的步骤．

  解方程组

    师：如何解这个二元一次方程组？

    生：我认为首先要对①进行化简，这样做的目的在于降低计算难度．化简①，得4x－3y＝－5，则3y＝4x＋5，不必化为 ，为什么？

    生：因为②中恰好有－3y这一项，故可将3y看成一个整体，代入消元，这样也可以减少计算量．

    点评：从简单的“代入法”到“整体消元”，体现了技巧的灵活性和练习的层次性．

    由学生独立写出解题步骤．

    师：如何求 的解？

    生：我们发现方程中x、y都是以x－2，y－1的形式出现的，若将x－2，y－1看成整体，看成新的未知数，解关于x－2，y－1的方程组比较简便．

    学生独立完成解题过程．

    生：由①，得3(x－2)＝7＋4(y－1)③．

    把③代入②，得3[7＋4(y－1)]－10(y－1)＝－25．

    2(y－1)＝－46，

    y－1＝－23，

    y＝－22．

    将y－1＝－23代入③，得

    3(x－2)＝－85，

    x－2＝ ，

    原方程组的解为

    师：代入法是解二元一次方程组的基本方法之一，其基本思想是“消元”，将“二元”转化为“一元”，同时也体现了数学中的“转化思想”．代入法是在很多地方都用得到的一种基本数学方法，更是一种数学思想．

  今天的探究学习你们有哪些收获？以小组为单位总结出来．

1、阅读书本P104—105

2、107页1、2题。

8.2　消元——解二元一次方程组

8.2　消元——解二元一次方程组

  课件展示上节课例“篮球联赛”题．

    师：设一个未知数（设胜x场），

    可以用一元一次方程2x＋(22－x)＝40来解．

    如果设两个未知数（设胜x场，负y场），可以列方程组

    那么一元一次方程与二元一次方程组有什么关系呢？

   生：我们小组经过讨论，认为二元一次方程组中第一个方程x＋y＝22可变形为y＝22－x，再将第二个方程2x＋y＝40中的y换为(22－x)，二元一次方程组就化为一元一次方程．

    解这个方程，得x＝18，再把x＝18代入y＝22－x，得y＝4，从而得到这个方程组的解．

    师：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再设法求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．

  组：我们小组讨论后认为首先应从方程组中选取一个方程，把其中的某一个未知数用另一个未知数的代数式表示出来．例如，可将 中的第一个方程变形为

y＝22－x③．

    生：我们同意他们的做法，接下来就应该将这个代数式代入另一个方程，达到消去一个未知数的目的，得到只含有一个未知数的一元一次方程．

    例如，将③代入②，得到方程2x＋(22－x)＝40，再解这个方程，求出一个未知数x＝18，最后将x＝18代入第一步所得的式子，求出另外一个未知数的值．

    师：同学们的探究活动进行得很好，如何解二元一次方程组呢？可以概括为：

    （课件展示．）

    （1）求表达式；

    （2）代入消元；

    （3）回代求解．

    师：下面我们用大家总结出来的代入消元法求二元一次方程组的解．

    （例题分析．）

    例1  用代入法解方程组

师：选择哪个方程呢？为什么？

    组：我们认为选取①，因为①中未知数x的系数为1，用含y的代数式表示x，比较简便，把①变为x＝3＋y③．

    师：把③代入①可以吗？为什么？

    生：不可以．因为③与①是同一个方程，应将③代入②，得3(3＋y)－8y＝14．

    师：得到这个方程后，下一步如何解？

    生：先解出这个方程y＝－1，再把y＝－1代入③，得x＝2．

    师：能否将y＝－1代入①或②？

    生：可以．

    师：如何表示方程组的解？

    生：把两个未知数的解写在一起，就是方程组的解，一般写成 的形式．

    师：请同学们完整地解出题目．

  例2  根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250g)两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2∶5．某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？

    师：如何来求解？

    生：我们组认为用方程组解比较好．

    设大瓶数为x，小瓶数为y．

    两个相等关系分别为：

    大瓶数︰小瓶数＝2∶5．

    大瓶装消毒液＋小瓶装消毒液＝总生产量．

    可列出方程组

    师：不论用一元一次方程还是用二元一次方程组，都能达到解决问题的目的．如何解这个二元一次方程组呢？由同学们自己独立完成，并以小组为单位，归纳出解二元一次方程组的步骤．

    课件展示几个学生的解题过程及解二元一次方程组的步骤．

  解方程组

    师：如何解这个二元一次方程组？

    生：我认为首先要对①进行化简，这样做的目的在于降低计算难度．化简①，得4x－3y＝－5，则3y＝4x＋5，不必化为 ，为什么？

    生：因为②中恰好有－3y这一项，故可将3y看成一个整体，代入消元，这样也可以减少计算量．

    点评：从简单的“代入法”到“整体消元”，体现了技巧的灵活性和练习的层次性．

    由学生独立写出解题步骤．

    师：如何求 的解？

    生：我们发现方程中x、y都是以x－2，y－1的形式出现的，若将x－2，y－1看成整体，看成新的未知数，解关于x－2，y－1的方程组比较简便．

    学生独立完成解题过程．

    生：由①，得3(x－2)＝7＋4(y－1)③．

    把③代入②，得3[7＋4(y－1)]－10(y－1)＝－25．

    2(y－1)＝－46，

    y－1＝－23，

    y＝－22．

    将y－1＝－23代入③，得

    3(x－2)＝－85，

    x－2＝ ，

    原方程组的解为

    师：代入法是解二元一次方程组的基本方法之一，其基本思想是“消元”，将“二元”转化为“一元”，同时也体现了数学中的“转化思想”．代入法是在很多地方都用得到的一种基本数学方法，更是一种数学思想．

  今天的探究学习你们有哪些收获？以小组为单位总结出来．

1、阅读书本P104—105

2、107页1、2题。