实验与探究 丰富多彩的正方形优秀公开课教案

地区： 重庆市 - 重庆市 - 綦江区

学校：綦江区赶水中学

实验与探究　　丰富多彩的… 初中数学       人教2011课标版

重点：矩形的性质与判定方法

难点：对角线的性质

问题：（1）什么叫平行四边形？（2）平行四边形具有哪此性质？

设计意图：通过提出问题，对学生的认知前提进行诊断，让学生回顾已有知识，有意识地引导学生从边、角、对角线三方面有条理地阐述平行四边形的性质，研究同一类几何从一般到特殊的方法，为后续研究矩形的性质做好铺垫。

1、矩形定义

问题1：前面我们学习了平行四边形的性质及判别条件，现在来看一个平行四边形，当它的一个内角由锐角变为钝角过程中，会发生怎样的特殊情况，这时的图形是什么图形呢？

     师生活动：教师利用多媒体进行动态演示，让学生观察从一般的平行四边形到矩形的变化过程。

设计意图：借助多媒体的动态演示变化，让学生直观感知角的变化带来平行四边形的改变，体会矩形是平行四边形角特殊化后的产物。自然引出课题及矩形定义。

教师引导学生阅读教材第52页，然后给出矩形的定义。

矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

问题2：矩形是我们最常见的图形之一，你能说出哪些图形是矩形吗？

教师提出问题，学生思考后完成。

设计意图：通过问题1明确矩形定义了解矩形与平行四边形的从属关系同时明确特殊与一般的关系。通过问题2让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣。

问题3：矩形与四边形、平行四边形有什么关系？

设计意图：了解矩形与平行四边形的从属关系，渗透集合的思想，同时明确特殊与一般的关系，对学生深入认识矩形，以及后续研究菱形、正方形等特殊四边形有重要的作用。

2、探究矩形的性质：

问题4：矩形具有哪些性质？矩形具有平行四边形的性质吗？

师生活动：即然矩形是特殊的平行四边形，那么它就具备平行四边形的所有的性质。

问题5：作为特殊平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，此外，矩形还有一般平行四边形不具有的特殊性质？

想一想：下图是一个平行四边形，拉动它的一个顶点，改变平行四边形的形状。

（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？

（2）当∠α是锐角时，两对角线的长度分别是什么关系？当∠α钝角时呢？

（3）当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？

    师生活动：通过观察动态演示，引导学生体会边长确定时平行四边形的边、角、对角线的变化特点及制约关系，并在矩形形状时停留，引导学生类比平行四边形性质的探究过程，从边、角、对角线的角度进行思考、导论、交流，得出初步猜想并归纳整理成文字表达。

猜想1：矩形的四个角都是直角；猜想2：矩形的对角线相等。

设计意图：学生通过观察，结合已有的动态演示，让学生在动态中感知，在静态中思考，类比经验探究矩形的特殊性质。

问题6：你能证明这些猜想吗？

师生活动：性质1的证明相对简单，让学生在定义的基础上进行口述证明即可。证明对角线相等方法多样，如直接运用勾股定理进行证明，利用三角形全等证明线段相等充分挖掘，鼓励学生尝试不同的证明方法，完整书写利用全等的证明过程。

证明猜想，矩形特有的性质：

（1）矩形的四个角都是直角。

(2)矩形的对角线相等。

设计意图：对矩形性质的探究是本节课的重点，在学生独立思考后，在通过交流和引导，引导学生证明猜想，得到定理，再次体会几何研究的“观察-----猜想------证明”过程。

问题7：矩形是轴对称图形码？如果是，它有几条对称轴？

师生活动：引导学生通过对折实验把矩形性质归纳为轴对称的有关性质；对应角相等（四个都是直角）,对应线段相等（对角线相等）。然后教师通过动态演示。

设计意图：引导学生用轴对称观点探究矩形的性质。

生活链接-----投圈游戏：四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？

师生活动：学生积极发言，教师适时点拨。

设计意图：应用刚得到的结论解释其中的数学道理，巩固新知，体会性质的应用价值。为接下来探究直角三角形斜边中线的性质做好铺垫。

问题8：矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O.我们观察Rt△ABD，在Rt△ABD中，OA是斜边BD上的中线，OA与BD有什么关系？

师生活动：学生小组导论，交流后得出

结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

设计意图：理解直角三角形与矩形的关系，进一步体会用特殊四边形的性质研究特殊三角形的策略，得到直角三角形斜边上中线的性质。

例: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，     ，AB=4㎝,求矩形对角线的长？

师生活动：教师先引导学生分析解题思路。因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质。根据矩形的这个特性和已知，可得△ABC是等边三角形，因此对角线的长度可求。在此基础上写出解题过程。

变式：已知对角线是8cm，两对角线的一个夹角 ，求矩形的宽AB与长BC的长。

师生活动：学生在思考解决的过程中，总结出“如果矩形两对角线的夹角是60°或120°, 则其中必有等边三角形”,这样不仅将相关知识综合起来，而且能整体感知图形特征，从而进一步领会矩形与直角三角形、等腰（边）三角形之间的关系。

设计意图：运用矩形的性质解决问题，体会矩形与直角三角形，等腰（边）三角形之间的关系。

C

M

A

B

F

E

练一练：已知：如图BE、CF是△ABC的两条高，M为BC的中点，分别连ME、MF。求证： (1)ME=   BC   ；(2)ME=MF

设计意图：考察直角三角形斜边上的中线性质。

请结合下面问题，说说你对矩形的认识并相互交流：

（1）什么是矩形？矩形有哪些性质?它是轴对称图形吗？

（2）用矩形性质得到直角三角形的什么性质？

（3）本节课研究矩形的过程经历了哪些阶段？在学习中那个地方你感触最深？

设计意图：问题（1）从知识层面引导学生回顾矩形的定义和性质；问题（2）引导回顾“直角三角斜边上的中线等于斜边一半；问题（3）引导学生反思学习过程，进一步理解 “从一般到特殊”的图形研究思路，积累数学活动经验。

1、课本第60页    第2题

C

B

A

o

D

2、已知：如图：在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于0，∠ ACB=30°，AB＝5㎝，则AC＝     ㎝，BD＝       ㎝

(选做题)

1、已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90 ，BO是AC上

的中线。求证: BO =   AC

实验与探究　　丰富多彩的正方形

实验与探究　　丰富多彩的正方形

问题：（1）什么叫平行四边形？（2）平行四边形具有哪此性质？

设计意图：通过提出问题，对学生的认知前提进行诊断，让学生回顾已有知识，有意识地引导学生从边、角、对角线三方面有条理地阐述平行四边形的性质，研究同一类几何从一般到特殊的方法，为后续研究矩形的性质做好铺垫。

1、矩形定义

问题1：前面我们学习了平行四边形的性质及判别条件，现在来看一个平行四边形，当它的一个内角由锐角变为钝角过程中，会发生怎样的特殊情况，这时的图形是什么图形呢？

     师生活动：教师利用多媒体进行动态演示，让学生观察从一般的平行四边形到矩形的变化过程。

设计意图：借助多媒体的动态演示变化，让学生直观感知角的变化带来平行四边形的改变，体会矩形是平行四边形角特殊化后的产物。自然引出课题及矩形定义。

教师引导学生阅读教材第52页，然后给出矩形的定义。

矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

问题2：矩形是我们最常见的图形之一，你能说出哪些图形是矩形吗？

教师提出问题，学生思考后完成。

设计意图：通过问题1明确矩形定义了解矩形与平行四边形的从属关系同时明确特殊与一般的关系。通过问题2让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣。

问题3：矩形与四边形、平行四边形有什么关系？

设计意图：了解矩形与平行四边形的从属关系，渗透集合的思想，同时明确特殊与一般的关系，对学生深入认识矩形，以及后续研究菱形、正方形等特殊四边形有重要的作用。

2、探究矩形的性质：

问题4：矩形具有哪些性质？矩形具有平行四边形的性质吗？

师生活动：即然矩形是特殊的平行四边形，那么它就具备平行四边形的所有的性质。

问题5：作为特殊平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，此外，矩形还有一般平行四边形不具有的特殊性质？

想一想：下图是一个平行四边形，拉动它的一个顶点，改变平行四边形的形状。

（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？

（2）当∠α是锐角时，两对角线的长度分别是什么关系？当∠α钝角时呢？

（3）当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？

    师生活动：通过观察动态演示，引导学生体会边长确定时平行四边形的边、角、对角线的变化特点及制约关系，并在矩形形状时停留，引导学生类比平行四边形性质的探究过程，从边、角、对角线的角度进行思考、导论、交流，得出初步猜想并归纳整理成文字表达。

猜想1：矩形的四个角都是直角；猜想2：矩形的对角线相等。

设计意图：学生通过观察，结合已有的动态演示，让学生在动态中感知，在静态中思考，类比经验探究矩形的特殊性质。

问题6：你能证明这些猜想吗？

师生活动：性质1的证明相对简单，让学生在定义的基础上进行口述证明即可。证明对角线相等方法多样，如直接运用勾股定理进行证明，利用三角形全等证明线段相等充分挖掘，鼓励学生尝试不同的证明方法，完整书写利用全等的证明过程。

证明猜想，矩形特有的性质：

（1）矩形的四个角都是直角。

(2)矩形的对角线相等。

设计意图：对矩形性质的探究是本节课的重点，在学生独立思考后，在通过交流和引导，引导学生证明猜想，得到定理，再次体会几何研究的“观察-----猜想------证明”过程。

问题7：矩形是轴对称图形码？如果是，它有几条对称轴？

师生活动：引导学生通过对折实验把矩形性质归纳为轴对称的有关性质；对应角相等（四个都是直角）,对应线段相等（对角线相等）。然后教师通过动态演示。

设计意图：引导学生用轴对称观点探究矩形的性质。

生活链接-----投圈游戏：四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？

师生活动：学生积极发言，教师适时点拨。

设计意图：应用刚得到的结论解释其中的数学道理，巩固新知，体会性质的应用价值。为接下来探究直角三角形斜边中线的性质做好铺垫。

问题8：矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O.我们观察Rt△ABD，在Rt△ABD中，OA是斜边BD上的中线，OA与BD有什么关系？

师生活动：学生小组导论，交流后得出

结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

设计意图：理解直角三角形与矩形的关系，进一步体会用特殊四边形的性质研究特殊三角形的策略，得到直角三角形斜边上中线的性质。

例: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，     ，AB=4㎝,求矩形对角线的长？

师生活动：教师先引导学生分析解题思路。因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质。根据矩形的这个特性和已知，可得△ABC是等边三角形，因此对角线的长度可求。在此基础上写出解题过程。

变式：已知对角线是8cm，两对角线的一个夹角 ，求矩形的宽AB与长BC的长。

师生活动：学生在思考解决的过程中，总结出“如果矩形两对角线的夹角是60°或120°, 则其中必有等边三角形”,这样不仅将相关知识综合起来，而且能整体感知图形特征，从而进一步领会矩形与直角三角形、等腰（边）三角形之间的关系。

设计意图：运用矩形的性质解决问题，体会矩形与直角三角形，等腰（边）三角形之间的关系。

C

M

A

B

F

E

练一练：已知：如图BE、CF是△ABC的两条高，M为BC的中点，分别连ME、MF。求证： (1)ME=   BC   ；(2)ME=MF

设计意图：考察直角三角形斜边上的中线性质。

请结合下面问题，说说你对矩形的认识并相互交流：

（1）什么是矩形？矩形有哪些性质?它是轴对称图形吗？

（2）用矩形性质得到直角三角形的什么性质？

（3）本节课研究矩形的过程经历了哪些阶段？在学习中那个地方你感触最深？

设计意图：问题（1）从知识层面引导学生回顾矩形的定义和性质；问题（2）引导回顾“直角三角斜边上的中线等于斜边一半；问题（3）引导学生反思学习过程，进一步理解 “从一般到特殊”的图形研究思路，积累数学活动经验。

1、课本第60页    第2题

C

B

A

o

D

2、已知：如图：在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于0，∠ ACB=30°，AB＝5㎝，则AC＝     ㎝，BD＝       ㎝

(选做题)

1、已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90 ，BO是AC上

的中线。求证: BO =   AC