8.2 消元——解二元一次方程组课件配套优秀教案案例

地区： 云南省 - 昭通市 - 昭阳区

学校：昭阳区第二中学

8.2　消元——解二元一次… 初中数学       人教2011课标版

（一）知识与技能目标：
（1）理解解二元一次方程组的基本思路“消元”，经历从未知向已知转化的过程，培养观察分析能力；
（2）初步体会解方程组过程中体现的程序化思想；
（3） 能用代入消元法、加减消元法解简单的二元一次方程组，会根据方程组特征选择适当的方法，体会简化思想，培养运算能力；
（二）过程与方法目标：
（1） 通过经历消元法解方程组，让学生体会消元思想的应用，
（2） 经过引导、讨论和交流让学生理解根据消元法解二元一次方程组的一般步骤。
（3） 通过对方程组中未知数特点的观察和分析，明确将二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成未知向己知的转化，培养观察能力 。
（4）通过消元法解二元一次方程组的训练及选用合理、简洁的方法解方程组，培养运算能力。在探究过程中，培养合作交流意识与探究精神，增强学习兴趣，感受数学美．
（三）情感态度及价值观：
（1）针对一系列的发现问题的探究，鼓励学大胆大胆尝试，通过交流、合作、讨论获取成功体验，研究解决问题的方法，培养学生合作交流与探索精神，
（2）培养学生养成认真倾听他人发言的习惯，敢于面对挑战，勇于克服困难的意志，逐步渗透矛盾转化的唯物主义思想。
（3）通过对实际问题的解决，激发学生的学习兴趣，感受消元法的应用价值，培养学生的应用意识。

1、重视解方程组中的消元思想。
（1）学生对代数思想的认识不够，缺乏用字母表示数的意识，发现式的变形和依据的能力不强．如用代入法解二元一次方程组时，需要先把其中一个方程变形成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，再利用整体代换的方式替换出一元．这其中所蕴含的式的变形及整体代入思想，都是需要学生理解的．
（2）解二元一次方程组中蕴涵的消元化归思想是本节课所涉及到的主要数学方法，而数学思想方法是通过数学知识的载体来体现的，在本节课中，教师要把消元思想贯穿于解二元一次方程组的始终，适时点拨，让学生充分体会数学思想方法在数学知识中的灵魂作用。
2、注重新旧知识的联系，做好知识的转化。
（1）本节课的内容是七年级上学期“一元一次方程”的继续和深化，是由“一元”向“多元”发展的基础，用二元一次方程组解决多个未知数的问题很有效，它的优越性很明显，但是由于未知数多，数量关系较复杂，给解方程组带来困难，所以要引导学生观察、分析、比较、发现，主动参与新知的形成过程，做好由“一元”向“二元”、“三元”以及“多元”的转化。
（2）学生对解法的关注点往往集中在不同的方法上，而忽视相同的思想；集中在不同的变形技巧上，而忽视相同的程序化过程；集中在答案的对与错，而忽视 
因此，在本节课的教学过程设计中，时刻注意引导学生思维聚焦的方向，通过合理设置有梯度的承接性问题，激发学生的思维，深化学生的思考．并且及时进行阶段性小结，不断完善学生的认知结构，力争做到使学生的思维“发而不散”．解题过程的简与繁．

教学重点
理解解二元一次方程组的基本思路“消元”，会用代入、加减消元法解简单的二元一次方程组．
教学难点
学生探究并理解为什么能通过代入、加减消元把二元一次方程组转化为一元一次方程．

例题 在上一节课，通过对实际问题的分析，我们列出了二元一次方程组

{x+y=22  ①    2x+y=40   ②

你会解这个方程组吗？ 
（教师不加任何解释和引导，让学生自主探究方程组的解法．）
预案1
解：由①y得=22-x ③ 
把③代入②，得2x+22-x=40

解这个方程，得 x=18
（这时教师可以提出问题：为什么可以代入？代入①可不可以？得到的方程是什么方程？）
把 x=18代入③，得y=4

 
（这时教师可以提出问题：代入①或②行不行？好不好？）
所以原方程组的解为 {x=18 ,y=4
（1）提出问题：在这种解法中，哪一步是最关键的？为什么？
【设计意图】引导学生理解等量代换在代入消元法解方程组过程中的应用．体会解二元一次方程组的关键是把二元一次方程组转化为一元一次方程．
（在“为什么可以代入”这一问题的解决过程中，引导学生回顾二元一次方程组的定义，和二元一次方程组的解的定义，再一次理解定义中的“相同未知数”、“公共解”．）
（2）引申问题：有没有办法得到关于x的一元一次方程？
解：由①得 x=22-y  ③    
把③代入②，得2(22-y)+y=40
    解这个方程，得 y=4
（这时教师可以提出问题：代入①可不可以？）     
把 y=4代入③  得 x=18
（这时教师可以提出问题：代入①或②可不可以？）
所以原方程组的解是  {x=18 ,y=4

（3）小结：这种解二元一次方程组的方法，我们称之为代入消元法．
问题1：你认为哪一步是最重要的？为什么?
（“代入”，把二元一次方程组转化为一元一次方程．）
问题2：应用代入消元法前，需要先做的准备工作是什么？
（用含一个未知数的式子表示另一个未知数．）
问题3：除了代入法，还有没有其他方法来实现消元这一目的呢（引入预案2）？
预案2
解：由②-①，得 x=18                 
（这时教师可以提出问题：这一步的依据是什么？）
把 x=18代入①，得 y=4      
（这时教师可以提出问题：代入②可以吗？）
所以原方程组的解是  {x=18 ,y=4

（1）提出问题：在这种解法中，哪一步是最关键的？为什么？
【设计意图】引导学生理解等式性质在加减消元法解方程组过程中的应用，体会解二元一次方程组的关键是把二元一次方程组转化为一元一次方程．
（2）引申问题：能不能先消x ？
解：①×2，得  2x+2y=44   ③    
③-②，得  y=4             
（这时教师可以提出问题：②-③可以吗？好吗？）
把 y=4代入①，得 x=18

所以原方程组的解是  {x=18 ,y=4

（3）小结：这种解二元一次方程组的方法我们称之为加减消元法．
问题1：你认为哪一步是最重要的？为什么?
（“加减”，把二元一次方程组转化为一元一次方程．）
问题2：应用加减消元法前，方程组中的两个方程要先具备什么特征？
（两方程中某个相同未知数的系数相等或互为相反数．）
问题3：除了加减法，还有没有其他方法来实现消元这一目的呢（引入预案1）？ 
对比预案1、预案2，进行总结
问题1：两种方法的共同点（共同目的）是什么？
（通过消元，使二元问题先转化为一元问题，求出一个未知数后再求另一个．）
问题2：两种方法的不同点是什么？
（消元的方法不同，一个是“代入”，一个是“加减”．） 
问题3：哪一种方法更简单？
（根据方程组特征，具体问题具体分析．）
预案3
解：把方程②变形成 
把①代入，得     
（后续步骤略．）    
【说明】整体代入也实现了“消元”这一目的。

教材P98页练习1、2;      教材P102页练习1 (1) (2)

思考：这节课我们学习了什么？

问题1：这节课我们研究的主要内容是什么？

（代入、加减消元法解二元一次方程组。）

问题2：解法的主要步骤是什么？

（变形、代入（加减）、求解、回代、结论。）

我们以练习⑴、练习⑵为例，通过框图（如图1、图2），再次回顾解二元一次方程组的基本步骤．

代入消元法解二元一次方程组的几个关键步骤是什么？

⑴变形：将其中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示．

⑵代入：将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．

⑶求解：求出一元一次方程的解．

⑷回代：将其代入到变形后的方程中，求出另一个未知数的解．

⑸结论：写出方程组的解．

 加减消元法解二元一次方程组的几个关键步骤是什么？

⑴变形：使两个方程中某个相同未知数的系数相等或互为相反数．

⑵加减：将两个方程相加减，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．

⑶求解：求出一元一次方程的解．

⑷回代：将其代入到变形后的方程中，求出另一个未知数的解．

⑸结论：写出方程组的解．

问题3：你觉得其中最关键的一步是什么？为什么？体现了什么思想？

（代入消元，把二元一次方程组转化为一元一次方程，转化思想。）

问题4：在解题过程中我们还应注意哪些问题？

（分析如何消元能简化运算等。）

1．已知（2x-y+5)²+|3x+4y|=0 ,求x,y的值？

2．已知 2x^5a+2b+1y与x⁶y^3a-2b-1 是同类项，求a、b的值？

答案:   略

（学生分组解答，然后汇报、交流不同的解法．注意纠正学生解题步骤中的细节问题．）

教材P103页练习2、3

1.应用意识关穿始终：从问题的提出，到最后的练习，多处环节以实际问题为背景：为解决问题的需要而学习，最后回归到用新知识解决实际问题.既解决了为什么要学习二元一次方程组的解法的问题，同时，由于目标明确具体，学生探究时容易把握方向，在一定程度上分解了难点，提高了学生学习的兴趣.

2.循序渐进原则的运用：学生对消元思想的理解很难一步到位，所以采用结合具体问题逐步渗透、感悟，然后提炼升华的方式学习.类似的，对二元一次方程组的解法，经历了从特殊到一般、从简单到复杂的循环上升过程，学生对数学思想方法的理解随之加深.

8.2　消元——解二元一次方程组

8.2　消元——解二元一次方程组

例题 在上一节课，通过对实际问题的分析，我们列出了二元一次方程组

{x+y=22  ①    2x+y=40   ②

你会解这个方程组吗？ 
（教师不加任何解释和引导，让学生自主探究方程组的解法．）
预案1
解：由①y得=22-x ③ 
把③代入②，得2x+22-x=40

解这个方程，得 x=18
（这时教师可以提出问题：为什么可以代入？代入①可不可以？得到的方程是什么方程？）
把 x=18代入③，得y=4

 
（这时教师可以提出问题：代入①或②行不行？好不好？）
所以原方程组的解为 {x=18 ,y=4
（1）提出问题：在这种解法中，哪一步是最关键的？为什么？
【设计意图】引导学生理解等量代换在代入消元法解方程组过程中的应用．体会解二元一次方程组的关键是把二元一次方程组转化为一元一次方程．
（在“为什么可以代入”这一问题的解决过程中，引导学生回顾二元一次方程组的定义，和二元一次方程组的解的定义，再一次理解定义中的“相同未知数”、“公共解”．）
（2）引申问题：有没有办法得到关于x的一元一次方程？
解：由①得 x=22-y  ③    
把③代入②，得2(22-y)+y=40
    解这个方程，得 y=4
（这时教师可以提出问题：代入①可不可以？）     
把 y=4代入③  得 x=18
（这时教师可以提出问题：代入①或②可不可以？）
所以原方程组的解是  {x=18 ,y=4

（3）小结：这种解二元一次方程组的方法，我们称之为代入消元法．
问题1：你认为哪一步是最重要的？为什么?
（“代入”，把二元一次方程组转化为一元一次方程．）
问题2：应用代入消元法前，需要先做的准备工作是什么？
（用含一个未知数的式子表示另一个未知数．）
问题3：除了代入法，还有没有其他方法来实现消元这一目的呢（引入预案2）？
预案2
解：由②-①，得 x=18                 
（这时教师可以提出问题：这一步的依据是什么？）
把 x=18代入①，得 y=4      
（这时教师可以提出问题：代入②可以吗？）
所以原方程组的解是  {x=18 ,y=4

（1）提出问题：在这种解法中，哪一步是最关键的？为什么？
【设计意图】引导学生理解等式性质在加减消元法解方程组过程中的应用，体会解二元一次方程组的关键是把二元一次方程组转化为一元一次方程．
（2）引申问题：能不能先消x ？
解：①×2，得  2x+2y=44   ③    
③-②，得  y=4             
（这时教师可以提出问题：②-③可以吗？好吗？）
把 y=4代入①，得 x=18

所以原方程组的解是  {x=18 ,y=4

（3）小结：这种解二元一次方程组的方法我们称之为加减消元法．
问题1：你认为哪一步是最重要的？为什么?
（“加减”，把二元一次方程组转化为一元一次方程．）
问题2：应用加减消元法前，方程组中的两个方程要先具备什么特征？
（两方程中某个相同未知数的系数相等或互为相反数．）
问题3：除了加减法，还有没有其他方法来实现消元这一目的呢（引入预案1）？ 
对比预案1、预案2，进行总结
问题1：两种方法的共同点（共同目的）是什么？
（通过消元，使二元问题先转化为一元问题，求出一个未知数后再求另一个．）
问题2：两种方法的不同点是什么？
（消元的方法不同，一个是“代入”，一个是“加减”．） 
问题3：哪一种方法更简单？
（根据方程组特征，具体问题具体分析．）
预案3
解：把方程②变形成 
把①代入，得     
（后续步骤略．）    
【说明】整体代入也实现了“消元”这一目的。

教材P98页练习1、2;      教材P102页练习1 (1) (2)

思考：这节课我们学习了什么？

问题1：这节课我们研究的主要内容是什么？

（代入、加减消元法解二元一次方程组。）

问题2：解法的主要步骤是什么？

（变形、代入（加减）、求解、回代、结论。）

我们以练习⑴、练习⑵为例，通过框图（如图1、图2），再次回顾解二元一次方程组的基本步骤．

代入消元法解二元一次方程组的几个关键步骤是什么？

⑴变形：将其中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示．

⑵代入：将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．

⑶求解：求出一元一次方程的解．

⑷回代：将其代入到变形后的方程中，求出另一个未知数的解．

⑸结论：写出方程组的解．

 加减消元法解二元一次方程组的几个关键步骤是什么？

⑴变形：使两个方程中某个相同未知数的系数相等或互为相反数．

⑵加减：将两个方程相加减，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．

⑶求解：求出一元一次方程的解．

⑷回代：将其代入到变形后的方程中，求出另一个未知数的解．

⑸结论：写出方程组的解．

问题3：你觉得其中最关键的一步是什么？为什么？体现了什么思想？

（代入消元，把二元一次方程组转化为一元一次方程，转化思想。）

问题4：在解题过程中我们还应注意哪些问题？

（分析如何消元能简化运算等。）

1．已知（2x-y+5)²+|3x+4y|=0 ,求x,y的值？

2．已知 2x^5a+2b+1y与x⁶y^3a-2b-1 是同类项，求a、b的值？

答案:   略

（学生分组解答，然后汇报、交流不同的解法．注意纠正学生解题步骤中的细节问题．）

教材P103页练习2、3

1.应用意识关穿始终：从问题的提出，到最后的练习，多处环节以实际问题为背景：为解决问题的需要而学习，最后回归到用新知识解决实际问题.既解决了为什么要学习二元一次方程组的解法的问题，同时，由于目标明确具体，学生探究时容易把握方向，在一定程度上分解了难点，提高了学生学习的兴趣.

2.循序渐进原则的运用：学生对消元思想的理解很难一步到位，所以采用结合具体问题逐步渗透、感悟，然后提炼升华的方式学习.类似的，对二元一次方程组的解法，经历了从特殊到一般、从简单到复杂的循环上升过程，学生对数学思想方法的理解随之加深.