8.1 二元一次方程组教案设计（一等奖）

地区： 广东省 - 韶关市 - 仁化县

学校：仁化县第一中学

8.1 二元一次方程组 初中数学       人教2011课标版

（一）知识与技能目标：

理解二元一次方程、二元一次方程组及有关解的相关概念，掌握二元一次方程组的应用.

（二）过程与方法目标：

通过二元一次方程解的讨论和练习，并会判断一组数是不是某个二元一次方程或方程组的解，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力.

（三）情感态度及价值观：

学会用类比的方法迁移知识；体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性，感受数学的乐趣. 

重点：二元一次方程及方程组的含义，二元一次方程（组）解的判断.

    难点:二元一次方程及方程组的含义，二元一次方程（组）解的判断.

问题：(投影)我国古代数学著作<<孙子算经>>中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？

【设计意图】：从学生感兴趣的话题引入，激发学生的学习兴趣。

教师提出：这是一个非常有意思的问题，它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，我想这个问题也一定会使每一名同学感兴趣．那么，现在我们怎样来解答这个问题呢？这个实际问题中含有哪些等量关系？

先让学生思考一下，自己做出解答，教师巡视．最后，在学生动手动脑的基础上，教师引导给出等量关系式：（1）鸡的头数+兔的头数=35 （2）鸡的脚数+兔的脚数=94．

让学生尝试根据关系式设出未知数，列出方程　，（教师引导学生尝试可否用一元一次方程来解．）由一名学生板演，其余学生自行完成)

解：设有x只鸡，则有(35-x)只兔．根据题意，得2x＋4(35-x)=94．

教师进一步提问：问题中有几个未知数？（两个）我们能否设出两个未知数解决问题呢？

(若学生想不到，教师可引导学生注意，要求的是两个未知数，能否设两个未知数列方程求解呢？让学生自己设未知数，列方程．然后请一名学生板演所列的方程．)

解：设有x只鸡，y只兔，根据题意，得

x＋y=35，

    2x+4y=94．

【设计意图】通过引入一个有趣的实际问题，让学生快速地进入到数学学习当中，积极投入思考。此题的解答既是对一元一次方程的复习与巩固，又为学习二元一次方程组提供了类比的素材。

（1）针对学生列出的这两个方程，提出如下问题：

1．方程x＋y=35，2x+4y=94，这两个方程与2x＋4(35-x)=94有什么不同？它们有什么特点？方程应该叫几元几次方程呢？

2．为什么叫二元一次方程呢？

3．什么样的方程叫二元一次方程呢？

【设计意图】：有了前述的铺垫和富有层次的设问，使学生对二元一次方程及其解的认识在一种似曾相识的情景中完成对知识的同化和构建。结合学生的回答，教师板书二元一次方程的定义：含有两个未知数，且未知项次数是1的方程，叫做二元一次方程．

通过x=10，y=25这一对未知数的值的特点，使学生明确：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫二元一次方程的解．

在此基础上，让学生写出二元一次方程x＋y=35的解，使学生明确：二元一次方程有无数组解。

x

1

2

3

6

7

…

22

23

…

31

32

33

34

y

34

33

32

29

28

…

13

12

…

4

3

2

1

进而归纳二元一次方程的定义以及二元一次方程的解的定义。

【设计意图】：引导学生运用类比获取新知并通过比较加以区别。

（2）结合实际问题知，方程x＋y=35，2x+4y=94必须同时成立，这两个二元一次方程合在一起，就组成了二元一次方程组    x＋y=35

                                    2x+4y=94

让学生结合表格进一步探究出x=23，y=12，能使方程组中每一个方程成立．所以我们把   x=23  叫做二元一次方程组的解．

y=12

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解．

提问：列二元方程组解决问题有什么优越之处？（若学生回答得不全面，不确切，教师可补充归纳如下：当我们运用代数知识将问题翻译成代数语言列方程时，就可以借助代数运算来求解，从上面的问题可以看到，列二元一次方程组比列一元一次方程容易，进一步体会二元一次方程的优点。

【设计意图】：通过学生观察计算得出二元一次方程组的解，感受到二元一次方程组的解，既是第一个方程的解，又是第二个方程的解，让学生体会公共解的含义。

例1.关于x、y的方程(a+2)x+(b-1)y=3是二元一次方程，试求a、b的取值范围。

例2.下列各对数中是二元一次方程x+2y=2的解的是

[左大括号:]  X=2          x=-2             x=0                  x=-1

Y=0           y=2             y=1                  y=1

例3.判断下列方程组是否为二元一次方程组?

      x+3y=4          x y=2              x + y=5          5y=15

①              ②               ③                ④

      2x+5y=7         x + y=3            y=7+z           3x+2y=18

教师板书这三道例题，学生先尝试独立解决，然后交流讨论，最后由教师纠正讲解。

【设计意图】根据本节课的教学重难点安排了三道例题，通过这几道例题，使学生更好地掌握本节课的重难点。

1.关于x、y的方程                    是二元一次方程，试求a的取值。

2.判断下列哪组未知数的值是方程组        的解

3、写出一个二元一次方程组使它的解是    x=2

y= -1

【设计意图】前两道反馈练习很好地反馈出例题的成效，第三道练习题，应用提高、拓展创新，引导学生进一步对二元一次方程（组）的知识进行探究，培养学生知识的应用能力以及创新能力。

1.本节学习了哪些内容？你有哪些收获？

2.然后回顾本节课学习的四组概念：

 二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程及二元一次方程组的的解

3.你能对比一元一次方程和二元一次方程、二元一次方程组谈谈你对它们的认识（共同之处和不同之处）吗？

【设计意图】在课堂临近尾声时，让学生畅所欲言，鼓励学生从数学知识、方法和步骤等方面谈谈自己的收获，培养学生归纳和语言表达能力，同时也利于学生对所学知识有更全面更系统的认识。

必做题：①复习本节课学习的内容，预习二元一次方程组的解法之消元;②教科书102页习题8.1第2、3题；

选做题：1.教科书103页习题8.1拓广探索第5题

分层次布置作业，有效实施因材施教的方法，让不同层次的学生得到不同的发展。

8.1 二元一次方程组

8.1 二元一次方程组

问题：(投影)我国古代数学著作<<孙子算经>>中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？

【设计意图】：从学生感兴趣的话题引入，激发学生的学习兴趣。

教师提出：这是一个非常有意思的问题，它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，我想这个问题也一定会使每一名同学感兴趣．那么，现在我们怎样来解答这个问题呢？这个实际问题中含有哪些等量关系？

先让学生思考一下，自己做出解答，教师巡视．最后，在学生动手动脑的基础上，教师引导给出等量关系式：（1）鸡的头数+兔的头数=35 （2）鸡的脚数+兔的脚数=94．

让学生尝试根据关系式设出未知数，列出方程　，（教师引导学生尝试可否用一元一次方程来解．）由一名学生板演，其余学生自行完成)

解：设有x只鸡，则有(35-x)只兔．根据题意，得2x＋4(35-x)=94．

教师进一步提问：问题中有几个未知数？（两个）我们能否设出两个未知数解决问题呢？

(若学生想不到，教师可引导学生注意，要求的是两个未知数，能否设两个未知数列方程求解呢？让学生自己设未知数，列方程．然后请一名学生板演所列的方程．)

解：设有x只鸡，y只兔，根据题意，得

x＋y=35，

    2x+4y=94．

【设计意图】通过引入一个有趣的实际问题，让学生快速地进入到数学学习当中，积极投入思考。此题的解答既是对一元一次方程的复习与巩固，又为学习二元一次方程组提供了类比的素材。

（1）针对学生列出的这两个方程，提出如下问题：

1．方程x＋y=35，2x+4y=94，这两个方程与2x＋4(35-x)=94有什么不同？它们有什么特点？方程应该叫几元几次方程呢？

2．为什么叫二元一次方程呢？

3．什么样的方程叫二元一次方程呢？

【设计意图】：有了前述的铺垫和富有层次的设问，使学生对二元一次方程及其解的认识在一种似曾相识的情景中完成对知识的同化和构建。结合学生的回答，教师板书二元一次方程的定义：含有两个未知数，且未知项次数是1的方程，叫做二元一次方程．

通过x=10，y=25这一对未知数的值的特点，使学生明确：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫二元一次方程的解．

在此基础上，让学生写出二元一次方程x＋y=35的解，使学生明确：二元一次方程有无数组解。

x

1

2

3

6

7

…

22

23

…

31

32

33

34

y

34

33

32

29

28

…

13

12

…

4

3

2

1

进而归纳二元一次方程的定义以及二元一次方程的解的定义。

【设计意图】：引导学生运用类比获取新知并通过比较加以区别。

（2）结合实际问题知，方程x＋y=35，2x+4y=94必须同时成立，这两个二元一次方程合在一起，就组成了二元一次方程组    x＋y=35

                                    2x+4y=94

让学生结合表格进一步探究出x=23，y=12，能使方程组中每一个方程成立．所以我们把   x=23  叫做二元一次方程组的解．

y=12

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解．

提问：列二元方程组解决问题有什么优越之处？（若学生回答得不全面，不确切，教师可补充归纳如下：当我们运用代数知识将问题翻译成代数语言列方程时，就可以借助代数运算来求解，从上面的问题可以看到，列二元一次方程组比列一元一次方程容易，进一步体会二元一次方程的优点。

【设计意图】：通过学生观察计算得出二元一次方程组的解，感受到二元一次方程组的解，既是第一个方程的解，又是第二个方程的解，让学生体会公共解的含义。

例1.关于x、y的方程(a+2)x+(b-1)y=3是二元一次方程，试求a、b的取值范围。

例2.下列各对数中是二元一次方程x+2y=2的解的是

[左大括号:]  X=2          x=-2             x=0                  x=-1

Y=0           y=2             y=1                  y=1

例3.判断下列方程组是否为二元一次方程组?

      x+3y=4          x y=2              x + y=5          5y=15

①              ②               ③                ④

      2x+5y=7         x + y=3            y=7+z           3x+2y=18

教师板书这三道例题，学生先尝试独立解决，然后交流讨论，最后由教师纠正讲解。

【设计意图】根据本节课的教学重难点安排了三道例题，通过这几道例题，使学生更好地掌握本节课的重难点。

1.关于x、y的方程                    是二元一次方程，试求a的取值。

2.判断下列哪组未知数的值是方程组        的解

3、写出一个二元一次方程组使它的解是    x=2

y= -1

【设计意图】前两道反馈练习很好地反馈出例题的成效，第三道练习题，应用提高、拓展创新，引导学生进一步对二元一次方程（组）的知识进行探究，培养学生知识的应用能力以及创新能力。

1.本节学习了哪些内容？你有哪些收获？

2.然后回顾本节课学习的四组概念：

 二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程及二元一次方程组的的解

3.你能对比一元一次方程和二元一次方程、二元一次方程组谈谈你对它们的认识（共同之处和不同之处）吗？

【设计意图】在课堂临近尾声时，让学生畅所欲言，鼓励学生从数学知识、方法和步骤等方面谈谈自己的收获，培养学生归纳和语言表达能力，同时也利于学生对所学知识有更全面更系统的认识。

必做题：①复习本节课学习的内容，预习二元一次方程组的解法之消元;②教科书102页习题8.1第2、3题；

选做题：1.教科书103页习题8.1拓广探索第5题

分层次布置作业，有效实施因材施教的方法，让不同层次的学生得到不同的发展。