6.2 立方根第二课时教学实录

地区： 河南省 - 信阳市 - 罗山县

学校：罗山县龙山乡初级中学

6.2　立方根 初中数学       人教2011课标版

课程目标

一、知识与技能目标

1.了解立方根的概念,能够用根号表示一个数的立方根.

2.能用类比平方根的方法学习立方根,及开立方运算,并区分立方根与平方根的不同.

二、过程与方法目标

用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法,并能自我总结出平方根与立方根的异同.

三、情感态度与价值观目标

发展学生的求同存异思维,使他们能在复杂的环境中明辨是非,并做出正确的处理.

学情分析

由正方体的边长与体积的关系引出立方运算,转入立方根运算.于是发现立方根运算与立方运算互为逆运算,很容易联想到平方运算与平方根运算之间的关系,于是立方根的表示,运算等问题就留给同学去发现.在学习完平方根运算后继而学习立方根运算,通过列举一些有代表意义的数求立方运算可发现立方根比平方根更容易掌握.

教学重点：立方根的概念和求法。

教学难点：立方根与平方根的区别。

一、情境导入：

问题：要制作一种容积为27 m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？

设这种包装箱的边长为x m,则 =27这就是求一个数，使它的立方等于27.因为 =27，  所以x=3.  即这种包装箱的边长应为3 m

二、自主学习，探讨新知：

1、归纳 ：一般的，如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根（也叫做三次方根），

即 ，那么 叫做 的立方根，      记作 ，读作：“三次根号 ”，其中 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。例如： 表示27的立方根， ； 表示 的立方根， .

师：我们把求立方根的运算称之开立方，立方运算与开立方运算是互为逆运算。

看大屏幕：  

1、请学生完成下面表格

x

3

4

5

6

x³

x

x3

343

512

729

1000

2、请学生口头回答以下的问题：根据立方根的意义，求下列各数的立方根：

三：感悟规律，揭示本质

根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？

     因为 ，所以8的立方根是（  2   ）

     因为 ，所以0.125的立方根是（   ）

因为 ，所以8的立方根是（  0   ）

因为 ，所以8的立方根是（     ）

因为 ，所以8的立方根是（     ）

一个正数有一个正的立方根

0有一个立方根，是它本身

一个负数有一个负的立方根

任何数都有唯一的立方根

师生共同归纳：              

师：你能说说数的平方根与数的立方根有什么不同吗      

平方根

立方根

概念

表示方法

性质

反馈练习

探讨二：思考，你发现了什么？

因为， =         ，            

所以      

因为    ，       

所以       

一般的，         

例2 求下列各式的值:

(1)                 (2)                (3)  

师生共同完成

解：（1） =4

 (2)     =-5

(3)  =

反馈：

1.  -216的立方根是      ，3是       的立方根

2.   的平方根是      ，  的立方根是       。  

3．下列语句正确的是（    ）

（A） 8 的立方根是2      （  B）-3是27的立方根

 (C)  的立方根是±    (D )(-1)2 的立方根是-1   

四;反馈练习。

（1）1的平方根是______；立方根为______；算术平方根为_________．

(2)平方根是它本身的数是__________．

(3)立方根是其本身的数是___________．

4)算术平方根是其本身的数是________．

（5） 的立方根为         .

（6）若一个数的平方根为±8，则这个数的立方根是         

（7）. 如果一个数的立方根等于这个数的算术平方根，

那么这个数是（      ）

（A）0   （B）0或1    （C）1   （D）±1或0

（8）若x2-9=0，y3+27=0，则点P（y，-x）在第               象限

五、课堂小结：

 1、立方根和开立方的定义.

2、正数、0、负数的立方根的特征.

3、立方根与平方根的异同.

4、你还有什么疑惑？

六、作业布置：

教科书习题80页第5、6题。

二、师生互动,课堂探究

(一)提出问题,引发讨论

在学习平方根的运算时,首先是找出一些数的平方值,然后才根据其逆运算过程确定某数的平方根,同样,我们先来算一算一些数的立方.

23=______ ;(-2)3=______; 0.53=_____;(-0.5)3=______;

( )3=_____;-( )3=_____ ; 03=______.

(1)经计算发现正数,0,负数的立方值与平方值有何不同之处?

23=8;(-2)3=-8; 0.53=0.125; (-0.5)3=-0.125;( )3= ; -( )3=- ; 03=0.

我们发现,求立方运算时,当底数互为相反数时,其立方值也是一对互为相反数,这与平方运算不同,平方运算的底数为相反数,但其平方值相等,故一个正数的平方根有两个值,但一个正数的立方根却只有一个值了,什么是立方值呢?

类似平方值定义可知,若x3=a则x为a的立方根,记为 ,读作三次根号a.负数没有平方根,负数有无立方根呢?从(-2)3=-8,(-0.5)3=-0.125,( )3=- ,可知负数有立方根,并且其立方根仍为负数.

(2)开平方与平方运算互为逆运算,同样开立方与立方运算也互逆,故请根据上述等式,写出这些互为相反数的立方根.

8的立方根为2,-8的立方根为-2,记为 =2, =-2

0.125的立方根为0.5,-0.125的立方根为-0.5,记为 =0.5, =-0.5

的立方根为 ,- 的立方根为- ,记为 = ， =-

0的立方根为0,记为 =0

上述过程都是求一个数的立方根的运算,把求一个数的立方根的运算,叫做开立方,开立方与立方运算互为逆运算.故正方体的体积为125时,其边长为 =5,而球的体积为 r3 =125时,r≈3.1.

(二)导入知识,解释疑难

1.例题求解

既然正数的立方是正数,负数的立方是负数,那么正数的立方根为正数,负数的立方根为负数,同样0的立方是0,则0的立方根是0,可记为 =a(a为任意数),或者若a3=M,则有 =a,其中M为被开方数,3为根指数,且根指数为3时,不能省略,只有当根指数为2时,才能省略不写.故课本P170探究中,  =-2,- =-2,由此得 =-  ,又 =-3,- =-3,由此得 =-

于是可归纳出其规律: =- ,而 , 的意义不同,其值也不同,若a>0时, - 表示a的算术平方根的相反数 无意义;若a<0,则- 无意义.

例2:求下列各数的立方根。

①-27;    ② ;    ③-0.216。

解:①∵(-3)3=-27,∴ =-3;

②∵( )3= , = ,.

③∵(-0.6)3=-0.216, =- =-0.6.

练习:(1)求下列各数的立方根:

①0     ②8     ③-64      ④81-

解:① =0;  ② =2;   ③ =-4;   ④81- =81-6=75;  ≈4.22;

(2)比较-4、-5、- 的大小.

解:∵43=64,53=125,64<100<125,    ∴4< <5,故-4>- >-5

2.探究活动

①若正方体的棱长为1,则其体积为1;若正方体的棱长为2,则其体积为8;若正方体的棱长为4,则其体积为64;若其棱长为8,则其体积为512……当棱长为2n时,其体积为多少?②某正方体的体积为1时,其棱长为1;体积为2时,棱长为 ;体积为3时,棱长为 ……;若体积扩大到原来的n倍,则棱长扩大多少倍?

解:①正方体棱长为1,则体积为1,棱长为2,体积为8,比较两者棱长扩大了2倍,体积扩大了8倍,棱长又扩大了1倍,其体积相应增大7倍,为原来的8倍,故当棱长为2n时,体积为8n3.

②当体积扩大到原来的n倍时,棱长扩大到原来的 倍.

6.2　立方根

6.2　立方根

一、情境导入：

问题：要制作一种容积为27 m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？

设这种包装箱的边长为x m,则 =27这就是求一个数，使它的立方等于27.因为 =27，  所以x=3.  即这种包装箱的边长应为3 m

二、自主学习，探讨新知：

1、归纳 ：一般的，如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根（也叫做三次方根），

即 ，那么 叫做 的立方根，      记作 ，读作：“三次根号 ”，其中 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。例如： 表示27的立方根， ； 表示 的立方根， .

师：我们把求立方根的运算称之开立方，立方运算与开立方运算是互为逆运算。

看大屏幕：  

1、请学生完成下面表格

x

3

4

5

6

x³

x

x3

343

512

729

1000

2、请学生口头回答以下的问题：根据立方根的意义，求下列各数的立方根：

三：感悟规律，揭示本质

根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？

     因为 ，所以8的立方根是（  2   ）

     因为 ，所以0.125的立方根是（   ）

因为 ，所以8的立方根是（  0   ）

因为 ，所以8的立方根是（     ）

因为 ，所以8的立方根是（     ）

一个正数有一个正的立方根

0有一个立方根，是它本身

一个负数有一个负的立方根

任何数都有唯一的立方根

师生共同归纳：              

师：你能说说数的平方根与数的立方根有什么不同吗      

平方根

立方根

概念

表示方法

性质

反馈练习

探讨二：思考，你发现了什么？

因为， =         ，            

所以      

因为    ，       

所以       

一般的，         

例2 求下列各式的值:

(1)                 (2)                (3)  

师生共同完成

解：（1） =4

 (2)     =-5

(3)  =

反馈：

1.  -216的立方根是      ，3是       的立方根

2.   的平方根是      ，  的立方根是       。  

3．下列语句正确的是（    ）

（A） 8 的立方根是2      （  B）-3是27的立方根

 (C)  的立方根是±    (D )(-1)2 的立方根是-1   

四;反馈练习。

（1）1的平方根是______；立方根为______；算术平方根为_________．

(2)平方根是它本身的数是__________．

(3)立方根是其本身的数是___________．

4)算术平方根是其本身的数是________．

（5） 的立方根为         .

（6）若一个数的平方根为±8，则这个数的立方根是         

（7）. 如果一个数的立方根等于这个数的算术平方根，

那么这个数是（      ）

（A）0   （B）0或1    （C）1   （D）±1或0

（8）若x2-9=0，y3+27=0，则点P（y，-x）在第               象限

五、课堂小结：

 1、立方根和开立方的定义.

2、正数、0、负数的立方根的特征.

3、立方根与平方根的异同.

4、你还有什么疑惑？

六、作业布置：

教科书习题80页第5、6题。

二、师生互动,课堂探究

(一)提出问题,引发讨论

在学习平方根的运算时,首先是找出一些数的平方值,然后才根据其逆运算过程确定某数的平方根,同样,我们先来算一算一些数的立方.

23=______ ;(-2)3=______; 0.53=_____;(-0.5)3=______;

( )3=_____;-( )3=_____ ; 03=______.

(1)经计算发现正数,0,负数的立方值与平方值有何不同之处?

23=8;(-2)3=-8; 0.53=0.125; (-0.5)3=-0.125;( )3= ; -( )3=- ; 03=0.

我们发现,求立方运算时,当底数互为相反数时,其立方值也是一对互为相反数,这与平方运算不同,平方运算的底数为相反数,但其平方值相等,故一个正数的平方根有两个值,但一个正数的立方根却只有一个值了,什么是立方值呢?

类似平方值定义可知,若x3=a则x为a的立方根,记为 ,读作三次根号a.负数没有平方根,负数有无立方根呢?从(-2)3=-8,(-0.5)3=-0.125,( )3=- ,可知负数有立方根,并且其立方根仍为负数.

(2)开平方与平方运算互为逆运算,同样开立方与立方运算也互逆,故请根据上述等式,写出这些互为相反数的立方根.

8的立方根为2,-8的立方根为-2,记为 =2, =-2

0.125的立方根为0.5,-0.125的立方根为-0.5,记为 =0.5, =-0.5

的立方根为 ,- 的立方根为- ,记为 = ， =-

0的立方根为0,记为 =0

上述过程都是求一个数的立方根的运算,把求一个数的立方根的运算,叫做开立方,开立方与立方运算互为逆运算.故正方体的体积为125时,其边长为 =5,而球的体积为 r3 =125时,r≈3.1.

(二)导入知识,解释疑难

1.例题求解

既然正数的立方是正数,负数的立方是负数,那么正数的立方根为正数,负数的立方根为负数,同样0的立方是0,则0的立方根是0,可记为 =a(a为任意数),或者若a3=M,则有 =a,其中M为被开方数,3为根指数,且根指数为3时,不能省略,只有当根指数为2时,才能省略不写.故课本P170探究中,  =-2,- =-2,由此得 =-  ,又 =-3,- =-3,由此得 =-

于是可归纳出其规律: =- ,而 , 的意义不同,其值也不同,若a>0时, - 表示a的算术平方根的相反数 无意义;若a<0,则- 无意义.

例2:求下列各数的立方根。

①-27;    ② ;    ③-0.216。

解:①∵(-3)3=-27,∴ =-3;

②∵( )3= , = ,.

③∵(-0.6)3=-0.216, =- =-0.6.

练习:(1)求下列各数的立方根:

①0     ②8     ③-64      ④81-

解:① =0;  ② =2;   ③ =-4;   ④81- =81-6=75;  ≈4.22;

(2)比较-4、-5、- 的大小.

解:∵43=64,53=125,64<100<125,    ∴4< <5,故-4>- >-5

2.探究活动

①若正方体的棱长为1,则其体积为1;若正方体的棱长为2,则其体积为8;若正方体的棱长为4,则其体积为64;若其棱长为8,则其体积为512……当棱长为2n时,其体积为多少?②某正方体的体积为1时,其棱长为1;体积为2时,棱长为 ;体积为3时,棱长为 ……;若体积扩大到原来的n倍,则棱长扩大多少倍?

解:①正方体棱长为1,则体积为1,棱长为2,体积为8,比较两者棱长扩大了2倍,体积扩大了8倍,棱长又扩大了1倍,其体积相应增大7倍,为原来的8倍,故当棱长为2n时,体积为8n3.

②当体积扩大到原来的n倍时,棱长扩大到原来的 倍.