6.2 立方根第二课时教学设计

地区： 贵州省 - 黔东南 - 锦屏县

学校：锦屏县河口初级中学

6.2　立方根 初中数学       人教2011课标版

知识与技能：

了解立方根的概念和表示方法，能求一个数的立方根；
能用计算器求一个数的立方根。

过程与方法：

经历从具体的计算出发归纳出立方根的概念，知道立方与开立方的关系，及立方根的特征，最后介绍和操作实用计算器求立方根。

情感态度与价值观：

通过探索立方根的特征，养成学生独立思考和小组交流的习惯；经历立方根与平方根的比较学习体会类比归纳的数学思想，及一个数的立方根与它的相反数的立方根的关系，从求负数的立方根转化为求正数的立方根的具体问题，感悟转化思想在数学中的广泛应用。

知识掌握上：学生学习了平方根概念的基础上学习立方根的概念，学生比较容易接受，因此教学重点放在立方根具有唯一性（实数范围内）的讨论上。

学生对学习本节课的知识障碍：学生对立方根的概念和特征不易理解，容易立方根的特征与平方根的特征易混。因此教师在教学中应加以利用身边关于有关体积的计算，深入浅出的加以引导。

心理上：在全面回顾平方根的基础上，再来引导学生进行立方根知识的学习，让学生感觉到其实立方根知识并不难，可以与平方根知识对比着学，这样可以克服学生学习新知识的陌生心理。

了解立方根的概念和求法，立方根与平方根的联系及区别

要制作一种容积为27m³ 的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？

1.探索：设这种包装箱的边长为 xm，则 x³=27，

这就是要求一个数，使它的立方等于27m³.

因为3³=27 ，所以x=3 ，即这种包装箱的边长应为3m 。

2.归纳：

立方根的概念：

一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。

立方根的表示方法：

如果x³=a ，那么x 叫做a 的立方根。记作x= ³√a ，³√a  读作三次根号 。

其中a 是被开方数，3是根指数，³√a 中的根指数3不能省略。

开立方的概念：

求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，可以根据这种关系求一个数的立方根。

3、探索立方根的特点：

根据立方根的意义填空，思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？

（1）因为2³​=8  ，所以8的立方根是（        ）；

（2）因为(    )³=0.125，所以0.125的立方根是（        ） ；

（3）因为(    )³=0，所以0的立方根是（        ）；

（4）因为(     )³=-8 ，所以-8的立方根是（         ）；

（5）因为 (     )³=- 278 ，所以278  ​ 的立方根是（         ）。

学生独立完成后，教师要引导学生从正、负数和零三方面去归纳总结立方根的特点。

归纳：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.

4.探究互为相反数的两个数的立方根的关系：

填空：因为³√−8 = ＿＿＿，−³√8 = ＿＿＿，所以 ³√−8 ＿＿＿−³√8  ；

      因为³√−27 = ＿＿＿，−³√27 = ＿＿＿，所以³√−27  ＿＿＿−³√27 

由上面两个例子可归纳出：一般地，³√−a =−³√a ​ 。

注：这个关系对于正数、负数、零都成立。求负数的立方根时，可以先求出这个负数的

绝对值的立方根，然后再确它的相反数。

例1、求下列各式的值：

（1） ³√64     （2）³√−125     （3）−³√2764  

分析：根据立方根的意义求解。

解：（1） ³√64 =4（2）³√−125 =-5 （3）−³√2764  =−34  

例2、求下列各式中 的值：

（1）x³=0.008 （2）x³-3=38  （3）(x-1)³=-8

分析：此题的本质还是求立方根。

解：（1）∵ x³=0.008   ∴ x= ³√0.008  ∴x=0.2

（2）∵x³-3=38   ∴x³=278  ​    ∴x=32  

（3）∵(x-1)³=-8   ∴x-1= -2   ∴x=-1

例3、用计算器计算 ³√10³ ，³√10⁶  ，³√10⁹  ，³√10⁻³  ，³√10⁻⁶  的值，你发现了什么？并总结出来。利用你前面发现的规律填空：已知 ³√216 =6，则 ³√0.000216 =＿＿＿＿，³√216000 = ＿＿＿＿。

分析：在用计算器求立方根时按键顺序是：³√  、被开立方的数字、=，

这样即可显示出计算结果

解：³√10³ =10  ，³√10⁶ =10²  ，³√10⁹ =10³  ，³√10⁻³ =10⁻¹  ，³√10⁻⁶ =10⁻²  

由此发现：一个数扩大或缩小1000倍时，它的立方根扩大或缩小10倍。

³√0.000216 =0.6，³√216000 ​=60 。

1、 立方根等于本身的数是＿＿＿，如果³√1−a =1-a 则 a=＿＿＿。

2、−³√64  的立方根是＿＿＿＿，(-4)³ 的立方根是＿＿＿＿。

3、已知 3x+16的立方根是4，求2x+4 的算术平方根。

4、已知
√x+3 =4，求³√x−5  的值。

5、比较大小：（1）³√1.2  ＿＿³√2.1  ，（2） −³√23  ＿＿³√−34   ，（3）3＿＿³√8 ​     

1.立方根和开立方的定义．

2.正数、0、负数的立方根的特征．

3.立方根与平方根的异同．

6.2　立方根

6.2　立方根

要制作一种容积为27m³ 的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？

1.探索：设这种包装箱的边长为 xm，则 x³=27，

这就是要求一个数，使它的立方等于27m³.

因为3³=27 ，所以x=3 ，即这种包装箱的边长应为3m 。

2.归纳：

立方根的概念：

一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。

立方根的表示方法：

如果x³=a ，那么x 叫做a 的立方根。记作x= ³√a ，³√a  读作三次根号 。

其中a 是被开方数，3是根指数，³√a 中的根指数3不能省略。

开立方的概念：

求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，可以根据这种关系求一个数的立方根。

3、探索立方根的特点：

根据立方根的意义填空，思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？

（1）因为2³​=8  ，所以8的立方根是（        ）；

（2）因为(    )³=0.125，所以0.125的立方根是（        ） ；

（3）因为(    )³=0，所以0的立方根是（        ）；

（4）因为(     )³=-8 ，所以-8的立方根是（         ）；

（5）因为 (     )³=- 278 ，所以278  ​ 的立方根是（         ）。

学生独立完成后，教师要引导学生从正、负数和零三方面去归纳总结立方根的特点。

归纳：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.

4.探究互为相反数的两个数的立方根的关系：

填空：因为³√−8 = ＿＿＿，−³√8 = ＿＿＿，所以 ³√−8 ＿＿＿−³√8  ；

      因为³√−27 = ＿＿＿，−³√27 = ＿＿＿，所以³√−27  ＿＿＿−³√27 

由上面两个例子可归纳出：一般地，³√−a =−³√a ​ 。

注：这个关系对于正数、负数、零都成立。求负数的立方根时，可以先求出这个负数的

绝对值的立方根，然后再确它的相反数。

例1、求下列各式的值：

（1） ³√64     （2）³√−125     （3）−³√2764  

分析：根据立方根的意义求解。

解：（1） ³√64 =4（2）³√−125 =-5 （3）−³√2764  =−34  

例2、求下列各式中 的值：

（1）x³=0.008 （2）x³-3=38  （3）(x-1)³=-8

分析：此题的本质还是求立方根。

解：（1）∵ x³=0.008   ∴ x= ³√0.008  ∴x=0.2

（2）∵x³-3=38   ∴x³=278  ​    ∴x=32  

（3）∵(x-1)³=-8   ∴x-1= -2   ∴x=-1

例3、用计算器计算 ³√10³ ，³√10⁶  ，³√10⁹  ，³√10⁻³  ，³√10⁻⁶  的值，你发现了什么？并总结出来。利用你前面发现的规律填空：已知 ³√216 =6，则 ³√0.000216 =＿＿＿＿，³√216000 = ＿＿＿＿。

分析：在用计算器求立方根时按键顺序是：³√  、被开立方的数字、=，

这样即可显示出计算结果

解：³√10³ =10  ，³√10⁶ =10²  ，³√10⁹ =10³  ，³√10⁻³ =10⁻¹  ，³√10⁻⁶ =10⁻²  

由此发现：一个数扩大或缩小1000倍时，它的立方根扩大或缩小10倍。

³√0.000216 =0.6，³√216000 ​=60 。

1、 立方根等于本身的数是＿＿＿，如果³√1−a =1-a 则 a=＿＿＿。

2、−³√64  的立方根是＿＿＿＿，(-4)³ 的立方根是＿＿＿＿。

3、已知 3x+16的立方根是4，求2x+4 的算术平方根。

4、已知
√x+3 =4，求³√x−5  的值。

5、比较大小：（1）³√1.2  ＿＿³√2.1  ，（2） −³√23  ＿＿³√−34   ，（3）3＿＿³√8 ​     

1.立方根和开立方的定义．

2.正数、0、负数的立方根的特征．

3.立方根与平方根的异同．