6.2 立方根教案设计（一等奖）

地区： 宁　夏 - 吴忠市 - 红寺堡区

学校：吴忠市红寺堡区第二中学

6.2　立方根 初中数学       人教2011课标版

1. 教学重点：立方根的概念及计算．

2.教学难点：立方根的求法，立方根与平方根的联系及区别．

1．了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根．学生经历用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想．

2．会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算．

3．通过对立方根性质的探究，在探究中培养学生的逆向思维能力和分类讨论的意识．

4．区分立方根与平方根的不同．

5． 学生通过对实际问题的解决，体会数学的实用价值．

在学习了平方根概念的基础上学习立方根的概念，学生比较容易接受，因此教学重点放在立方根具有唯一性（实数范围内）的讨论上．在学生对数的立方根概念及个数的唯一性有了一定理解的基础上，再提出数的立方根与数的平方根有什么区别，学生就容易解决问题．

要制作一种容积为27m²的 正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长是多少？

设这种包装箱的棱长为xm,则

       x³=27

       X=?

这就是要求一个数，使它的立方等于27.

    提问：怎样求出棱长x= ？学完本节知识后，相信你会有一个满意的答案．有关体积的运算和面积的运算有类似之处，让我们用上节课解决问题的方法来学习新知识 ．

内容：提问：

（1）什么叫一个数a的平方根？如何用符号表示数a（a≥0）的平方根?

（2）正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？负数有没有平方根？0的平方根是什么？

    （3）平方和开平方运算有何关系？

    （4）算术平方根和平方根有何区别和联系？ 

      强调：一个正数的平方根有两个，且互为相反数；一个负数没有平方根；0的平方根是0.

（5）为了前面的问题，需要引出一个新的运算，你将如何定义这个新运算？

1．一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）.

2．一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a,那么这个数x就叫做a的立方根（ 也叫做三次方根）．如：2是8的立方根，-3是-27的立方根，0是0的立方根．

1.做一做：怎样求下列括号内的数？各题中已知什么数？求什么数？

（1）(    )³=0.001   ；  （2） (         )³=−2764  ；（3）(      )³=0 .

2.议一议：

（1）正数有几个立方根？

（2）0有几个立方根

（3）负数呢？

3.在上面的基础上明确下列内容，对知识进行梳理

（1）每个数a都只有一个立方根，记为"³√a‍"，读作"三次根号a"．例如x³=7时，x是7的立方根，即 ^3‍√7 =x；与数的平方根的表示比较，数的立方根中根号前没有“±”符号，但根指数3不能省略．

（2）正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．

（3）求一个数a的立方根的运算叫做开立方 , 其中a叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．

例1求下列各数的立方根：

（1）-27 ； （2） 8125   ；  （3）   338   ； （4）0.216 ； （5）-5 .

解：（1）因为 (-3)³=-27，所以-27 的立方根是-3 ，即 ³√−27=−3 ​；

（2）因为(25  ) ³=8125  ，所以 8125  的立方根是25   ，即 ³√8125 =25  ；

（3）因为(32  )³=278  =338   ，所以338   的立方根是32   ，即 ³√338  =32  ；

（4）因为(0.6)³=0.216，所以0.216 的立方根是0.6 ，即³√0.216=0.6  ；

（5） -5的立方根是³√−5 ​ .

例2 求下列各式的值：

（1）³√−8    （2）³√0.064    （3）-³√8125   ；  （4）(³√9 ) ³．

解：（1） ³√−8=³√（−2）^3‍ −2  ；    （2） ³√0.064=³√(0.4)³=0.4  ；

     （3）−³√8125 =−³√（25 ）³=−2‍5  ； （4） (³√9)³=9 ．

 随堂练习

1．求下列各数的立方根：

        ³√0.125 ； ³√−64 ；-³√64 ；³√5³ ；(³√16 )^3. 

2．通过上面的计算结果，你发现了什么规律？

    学生通过练习掌握立方根的概念和计算，通过对计算结果的分析得出立方根的性质，若学生不能发现规律，教师可以再给出几个例子引导学生观察被开方数、根指数及运算结果之间的关系，从而得出立方根的性质；也可以安排学生分小组讨论，通过交流，展示学生发现的规律；若学生的讨论不够深入，可由教师补充得出结论．

3、想一想：

（1）³√a  表示a的立方根，那么（ ³√a )³等于什么？³√a³  呢？

（2） ³√−a 与−³√a  有何关系？

说明：若学生通过上面的计算得出了立方根的性质，可以直接展示学生的成果；若没有得出结果，可以引导学生分析，如果x³ =a,那么x就是a的立方根，即x=³√a  ,所以x³ = (³√a )³=a, 同样，根据定义，a³ 是a的三次方，所以a³ 的立方根就是a, 即³√a³=a  ， ³√−a=−³√a  ．

1、先填写下表,再回答问题:

从上面表格中你发现什么?

用计算器计算下列数值，并发现规律

从上面表格中你发现什么?

归纳：被开方数的小数点每向右（或左）移动三位，开方后立方根的小数点就向右（或左）移动一位。

试一试

1.已知³√0.342=0.6993 ，³√3.42=1.507 ，³√34.2=3.246 求下列各式的值。

    （1）³√0.000324=0.06993 。

    （2）³√−34200000=−324.6 。

   （3）−³√0.00342=−0.1507 。

2.已知³√32.8=3.201 ，³√2.28=1.486 ，³√0.328=0.6896 ，

        ³√x=14.86 ，³√y=68.96 ；

       则x=2280；      y=328000.

提问通过本节课的学习你学到了哪些知识？归纳、总结学生的回答，得出下列内容：

1．了解立方根的概念，会用三次根号表示一个数的立方根，能用立方运算求一个数的立方根． 

2．在学习中应注意以下5点：

（1）符号 ³√a 中根指数“3”不能省略；

    （2）对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有一个立方根；

    （3）平方根和立方根的区别：正数有两个平方根，但只有一个立方根；

负数没有平方根，但却有一个立方根；

    （4）灵活运用公式：(³√a  )³=a, ³√a³=a  ，³√−a=−³√a  ；

    （5）立方与开立方也互为逆运算．我们也可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不是另一个数的立方根．

（七）作业布置

课本52页练习1、2、3、4

习题6.2

   必做题：2、3题.

   选做题5、6题

6.2　立方根

6.2　立方根

要制作一种容积为27m²的 正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长是多少？

设这种包装箱的棱长为xm,则

       x³=27

       X=?

这就是要求一个数，使它的立方等于27.

    提问：怎样求出棱长x= ？学完本节知识后，相信你会有一个满意的答案．有关体积的运算和面积的运算有类似之处，让我们用上节课解决问题的方法来学习新知识 ．

内容：提问：

（1）什么叫一个数a的平方根？如何用符号表示数a（a≥0）的平方根?

（2）正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？负数有没有平方根？0的平方根是什么？

    （3）平方和开平方运算有何关系？

    （4）算术平方根和平方根有何区别和联系？ 

      强调：一个正数的平方根有两个，且互为相反数；一个负数没有平方根；0的平方根是0.

（5）为了前面的问题，需要引出一个新的运算，你将如何定义这个新运算？

1．一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）.

2．一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a,那么这个数x就叫做a的立方根（ 也叫做三次方根）．如：2是8的立方根，-3是-27的立方根，0是0的立方根．

1.做一做：怎样求下列括号内的数？各题中已知什么数？求什么数？

（1）(    )³=0.001   ；  （2） (         )³=−2764  ；（3）(      )³=0 .

2.议一议：

（1）正数有几个立方根？

（2）0有几个立方根

（3）负数呢？

3.在上面的基础上明确下列内容，对知识进行梳理

（1）每个数a都只有一个立方根，记为"³√a‍"，读作"三次根号a"．例如x³=7时，x是7的立方根，即 ^3‍√7 =x；与数的平方根的表示比较，数的立方根中根号前没有“±”符号，但根指数3不能省略．

（2）正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．

（3）求一个数a的立方根的运算叫做开立方 , 其中a叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．

例1求下列各数的立方根：

（1）-27 ； （2） 8125   ；  （3）   338   ； （4）0.216 ； （5）-5 .

解：（1）因为 (-3)³=-27，所以-27 的立方根是-3 ，即 ³√−27=−3 ​；

（2）因为(25  ) ³=8125  ，所以 8125  的立方根是25   ，即 ³√8125 =25  ；

（3）因为(32  )³=278  =338   ，所以338   的立方根是32   ，即 ³√338  =32  ；

（4）因为(0.6)³=0.216，所以0.216 的立方根是0.6 ，即³√0.216=0.6  ；

（5） -5的立方根是³√−5 ​ .

例2 求下列各式的值：

（1）³√−8    （2）³√0.064    （3）-³√8125   ；  （4）(³√9 ) ³．

解：（1） ³√−8=³√（−2）^3‍ −2  ；    （2） ³√0.064=³√(0.4)³=0.4  ；

     （3）−³√8125 =−³√（25 ）³=−2‍5  ； （4） (³√9)³=9 ．

 随堂练习

1．求下列各数的立方根：

        ³√0.125 ； ³√−64 ；-³√64 ；³√5³ ；(³√16 )^3. 

2．通过上面的计算结果，你发现了什么规律？

    学生通过练习掌握立方根的概念和计算，通过对计算结果的分析得出立方根的性质，若学生不能发现规律，教师可以再给出几个例子引导学生观察被开方数、根指数及运算结果之间的关系，从而得出立方根的性质；也可以安排学生分小组讨论，通过交流，展示学生发现的规律；若学生的讨论不够深入，可由教师补充得出结论．

3、想一想：

（1）³√a  表示a的立方根，那么（ ³√a )³等于什么？³√a³  呢？

（2） ³√−a 与−³√a  有何关系？

说明：若学生通过上面的计算得出了立方根的性质，可以直接展示学生的成果；若没有得出结果，可以引导学生分析，如果x³ =a,那么x就是a的立方根，即x=³√a  ,所以x³ = (³√a )³=a, 同样，根据定义，a³ 是a的三次方，所以a³ 的立方根就是a, 即³√a³=a  ， ³√−a=−³√a  ．

1、先填写下表,再回答问题:

从上面表格中你发现什么?

用计算器计算下列数值，并发现规律

从上面表格中你发现什么?

归纳：被开方数的小数点每向右（或左）移动三位，开方后立方根的小数点就向右（或左）移动一位。

试一试

1.已知³√0.342=0.6993 ，³√3.42=1.507 ，³√34.2=3.246 求下列各式的值。

    （1）³√0.000324=0.06993 。

    （2）³√−34200000=−324.6 。

   （3）−³√0.00342=−0.1507 。

2.已知³√32.8=3.201 ，³√2.28=1.486 ，³√0.328=0.6896 ，

        ³√x=14.86 ，³√y=68.96 ；

       则x=2280；      y=328000.

提问通过本节课的学习你学到了哪些知识？归纳、总结学生的回答，得出下列内容：

1．了解立方根的概念，会用三次根号表示一个数的立方根，能用立方运算求一个数的立方根． 

2．在学习中应注意以下5点：

（1）符号 ³√a 中根指数“3”不能省略；

    （2）对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有一个立方根；

    （3）平方根和立方根的区别：正数有两个平方根，但只有一个立方根；

负数没有平方根，但却有一个立方根；

    （4）灵活运用公式：(³√a  )³=a, ³√a³=a  ，³√−a=−³√a  ；

    （5）立方与开立方也互为逆运算．我们也可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不是另一个数的立方根．

（七）作业布置

课本52页练习1、2、3、4

习题6.2

   必做题：2、3题.

   选做题5、6题

• 优点:

  教会学生在多方面思考问题，多角度解决问题的能力。

• 缺点:

  无

• 优点:

  练习详细,科学合理有效地培养学生自主，探究，创新能力的发展。

• 缺点:

  无

• 优点:

  教学思路有层次，脉络清晰。

• 缺点:

  无

• 优点:

  教学设计巧妙，使问题简单化。

• 缺点:

  无

• 优点:

  创设问题情景，学生亲自体验、实践，突出体现了以人为本、以学生发展为本的教育理念。

• 缺点:

  无

• 优点:

  教学目标全面、具体，有针对性、导向性。

• 缺点:

  无

• 优点:

  对重难点分析透彻。

• 缺点:

  无

• 优点:

  教学设计突出重点，问题设计由易到难，逐步提升。使学生能够带着问题去思考、探究、归纳、总结，理解。

• 缺点:

  设计一些难度不等的练习题，可以使不同层次的学生都有收获。