11.3 多边形及其内角和教学实录

地区： 福建省 - 莆田市 - 仙游县

学校：仙游县芹林初级中学

11.3　多边形及其内角和 初中数学       人教2011课标版

1.知识与技能：

掌握多边形的内角和和外角和，并能熟练运用。

2.过程与方法：

1）通过类比、推理等数学活动，探索多边形的内角和公式，感受数学思考过程的条理性，培养推理能力和语言表达能力。

2）通过把多边形转化成三角形，体会转化思想在几何中的运用，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。

3.情感态度与价值观：

学生在积极参与过程中获得成功的体验，并积累一定的数学活动经验。

学生在已经学习了三角形和一些特殊的四边形内角和等知识。在前面的学习中，学生在观察、想象、合作探究、归纳概括等方面有了初步的体验，这为本课的学习奠定了一定的基础。但学生对符号语言、文字语言、图形语言之间的互换还不熟练，几何论证推理能力还在初步形成阶段，这使本节课的学习还有一定的困难。

教学重点：多边形内角和以及外角和。

教学难点：多边形内角和以及外角和的推导。

在一次数学课上，王老师给小明提出了这么一个问题：某个多边形的内角和等于它的外角和，那么该多边形是几边形？

三角形的内角和是多少度？刚才我们又了解了特殊的四边形的内角和是360°，那么任意四边形的内角和是多少度呢？你是怎样得到的？同学们先独立思考再小组讨论完成下表。

引导学生采用从一个顶点出发引对角线的方法，先板书如何求解任意四边形的内角和，让学生仿照板书完成探究表中的活动1.

本次活动中，教师应重点关注：

（1） 学生能否体会借助辅助线将多边形转化为三角形是求出多边形内角和的主要途径。

（2） 学生能否找到从多边形的一个顶点出发引出对角线的条数、三角形的个数与多边形内角和的关系。

（3） 学生能否在小组活动中与他人交流思考过程。

（4）  学生能否积极地参加小组活动。

利用此种方法得到 n边形的内角和为：(n-2)·180°

如果不过这个顶点，你还有其它方法可以把一个多边形分割成若干个三角形吗？这种方法也能得到多边形的内角和吗？

学生上台展示：在多边形内部、边上、外部取点的方法得出四边形、五边形、六边形以及n边形的内角和（外部取点依学生情况，有就展示，没有就不展示）。小组讨论,得出下列结论。

n·.180°-360°（n-1）·180°-180°

本次活动中，教师应重点关注：

（1）           学生能否类比活动1的方式解决问题，得出正确的结论：

（2）           学生能否采用不同的方法解决问题。

这几个表达式之间有什么联系？

学生将后两个表达式转化为第一个表达式，感受它们之间的联系。最终得出n边形的内角和公式。

大家对上述知识掌握的如何呢？让我们检验一下。

（1）求七边形、十边形的内角和为多少度？

（2）一个多边形的内角和等于1440°， 那么这个多边形是几边形？

（3）下列图形中x的值是 多少？             

观察此图中各个角的度数，你有什么发现？引出教材中的例1：如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

思考：多边形的每个外角和它相邻的内角都是什么关系？

你能求出上述四边形、五边形的各外角的和，是不是多边形的外角和都是360°呢？

你能帮助小明解决问题了吗？

（4）因为长方形的每个内角、每个外角都是90度。，可以编题为：

已知一个多边形的每一个外角是90 °，求这个多边形的边数？

还可以改编为：

已知一个多边形的每一个外角是36 °，求这个多边形的边数？

现在请同学们改换已知条件，结论保持不变，你能编出类似题型吗？你能解出它是几边形吗？

必做题：课本P73第1.

选做题：课本P73第5题

提高题：小明在计算某个多边形的内角和时，由于粗心他漏掉一个内角，求得的内角和1680° ，你能否求得正确结果呢？

11.3　多边形及其内角和

11.3　多边形及其内角和

在一次数学课上，王老师给小明提出了这么一个问题：某个多边形的内角和等于它的外角和，那么该多边形是几边形？

三角形的内角和是多少度？刚才我们又了解了特殊的四边形的内角和是360°，那么任意四边形的内角和是多少度呢？你是怎样得到的？同学们先独立思考再小组讨论完成下表。

引导学生采用从一个顶点出发引对角线的方法，先板书如何求解任意四边形的内角和，让学生仿照板书完成探究表中的活动1.

本次活动中，教师应重点关注：

（1） 学生能否体会借助辅助线将多边形转化为三角形是求出多边形内角和的主要途径。

（2） 学生能否找到从多边形的一个顶点出发引出对角线的条数、三角形的个数与多边形内角和的关系。

（3） 学生能否在小组活动中与他人交流思考过程。

（4）  学生能否积极地参加小组活动。

利用此种方法得到 n边形的内角和为：(n-2)·180°

如果不过这个顶点，你还有其它方法可以把一个多边形分割成若干个三角形吗？这种方法也能得到多边形的内角和吗？

学生上台展示：在多边形内部、边上、外部取点的方法得出四边形、五边形、六边形以及n边形的内角和（外部取点依学生情况，有就展示，没有就不展示）。小组讨论,得出下列结论。

n·.180°-360°（n-1）·180°-180°

本次活动中，教师应重点关注：

（1）           学生能否类比活动1的方式解决问题，得出正确的结论：

（2）           学生能否采用不同的方法解决问题。

这几个表达式之间有什么联系？

学生将后两个表达式转化为第一个表达式，感受它们之间的联系。最终得出n边形的内角和公式。

大家对上述知识掌握的如何呢？让我们检验一下。

（1）求七边形、十边形的内角和为多少度？

（2）一个多边形的内角和等于1440°， 那么这个多边形是几边形？

（3）下列图形中x的值是 多少？             

观察此图中各个角的度数，你有什么发现？引出教材中的例1：如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

思考：多边形的每个外角和它相邻的内角都是什么关系？

你能求出上述四边形、五边形的各外角的和，是不是多边形的外角和都是360°呢？

你能帮助小明解决问题了吗？

（4）因为长方形的每个内角、每个外角都是90度。，可以编题为：

已知一个多边形的每一个外角是90 °，求这个多边形的边数？

还可以改编为：

已知一个多边形的每一个外角是36 °，求这个多边形的边数？

现在请同学们改换已知条件，结论保持不变，你能编出类似题型吗？你能解出它是几边形吗？

必做题：课本P73第1.

选做题：课本P73第5题

提高题：小明在计算某个多边形的内角和时，由于粗心他漏掉一个内角，求得的内角和1680° ，你能否求得正确结果呢？