11.3 多边形及其内角和名师课堂实录

地区： 辽宁省 - 大连市 - 瓦房店

学校：瓦房店市第六初级中学

11.3　多边形及其内角和 初中数学       人教2011课标版

1．知识与技能目标：了解多边形及其相关概念（定义、边、顶点、内角、外角、对角线、凸多边形、正多边形），掌握多边形内角和公式 ，并能进行简单的应用。

2．过程与方法目标：让学生经历猜想、探索、归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法 。

3．情感态度与价值观目标：通过学生间合作交流、探索，进一步激发学生的学习热情，求知欲望，养成良好的数学思维品质。

1.学生的认知基础：

学生已学过三角形内角和定理，这为本节课的学习打下了基础。因而学生在探索多边形内角和时，便会很容易想到“拼”和“量”和“分”的方法，但是，学生对把多边形分割成三角形这种化归思想的理解和应用还存在一定的困难和局限性。但是，由于平时我对学生始终进行先学后教、合作交流的方法，所以，学生的动手实践、自主探究及合作交流能力都得到了一定的训练，通过本节课的学习，学生这一方面的数学活动经验将会得到进一步的巩固和提高。对于问题的研究，从简单到复杂，从特殊到一般，从具体到抽象以及类比、转化等重要的数学思想方法，学生也基本具备，所以，学生将会轻松、愉快地完成本节课的学习任务。

2.学生的年龄心理特点：

八年级的学生大部分14岁，具有一定的感性认知基础，对一些具体的实践活动十分感兴趣。活泼好动，思维敏捷，表现欲强，但思考问题有时不够全面。

重点：多边形的内角和与外角和公式探索

难点：探索多边形内角和时，把多边形转化成三角形 ，所有三角形内角和与多边形内角和的数量关系

1.知识与技能目标：

掌握多边形内角和与外角和公式 ，并能进行简单的应用。

2.过程与方法目标：

让学生经历猜想、探索、归纳等过程，尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题。掌握把复杂问题简单化，化未知为已知、从特殊到一般的思想方法 。

3.情感态度与价值观目标：

通过学生间合作交流、探索，进一步激发学生的学习热情，求知欲望，养成良好的数学思维品质。

多边形的内角和与外角和公式探索

探索多边形内角和时，把多边形转化成三角形 ，所有三角形内角和与多边形内角和的数量关系

(一)课前展示

板答题

1.在△ABC中，∠C = 90 °,∠B=30 °, 则 ∠A =　     ° ；

2.若△ABC中的三个内角度数之比为2：3：4，    则三角形三个内角的度数分别是　　　　　．

3.在△ABC中，∠A = 100 °,∠B=∠C , 则 ∠B =　    ° ；

必答题

1.三角形的三个内角中，最多有　　个锐角，    最多有        个直角，最多有    　个钝角,   其内角和是         °，外角和是         ° ；

2.在△ABC中，∠A = 60 °,∠B=2∠C , 则 ∠B = 　    ° ；

3. n边形从一个顶点引出对角线的条数是          条，把多边形分成三角形的个数是            个。

4.三角形的一个外角与同它相邻的内角的和是          。

5.如图，AB∥CD，则∠2=            °。

6.如图∠ACB= 90 °,CD⊥AB, ∠ACD= 60 °，则∠B=        °。

抢答题

若△ABC中的三个内角度数之比为2：3：4，    则相应外角之比为　　　　　　　．

【设计意图】由学生小组合作完成找题、做题、选题，既起到复习作用，有为本节课做铺垫，一人主持，通过小组竞赛的形式完成。促进了小组成员间的合作，培养了主持人的语言表达、应变、调控、创新等各方面能力,提高学生的学习兴趣。

前面我们学习了三角形的内角和、外角和、及内外角之间的关系，那么对于任意多边形的内角和、外角和又有怎样的规律呢？

今天我们就来学习，11.3.2多边形的内角和（板书）

问题：我们知道三角形的内角和等于180°.正方形、长方形的内角和等于360°。那么，你知道任意一个四边形的内角和等于多少度呢？你是怎样得到的？你能找到几种方法？

1． 画一个任意四边形，研究它的内角和

【设计意图】体现方法的多样性，学生类比求三角形的内角和时，用的“量”和“拼”的方法，猜想得出四边形的内角和是360°，然后引导学生利用分割的方法，将四边形分割成两个三角形来得到四边形的内角和，进一步渗透类比，转化的数学思想；同时在分组交流的过程中，学生又感受到了合作的重要性，体验到了成功的快乐，增强了学生的自信心。

将四边形分割成三角形求内角和。估计学生可能有以下几种方法：

方法1：如图1，连结AC，四边形的内角和为：2×180°=360°。

方法2：如图2，在BC上任取一点M,连结MA,MD，则四边形内角和为：3×180°-180°=360°。

方法3：如图3，，在四边形内任取一点P，连结PA、PB、PC、PD，则四边形内角和为：4×180°-360°=360°。

方法4：如图4，在四边形外任取一点O，连结OA、OB、OC、OD，则四边形内角和为：3×180°-180°=360°。

2．在四边形内角和的探索过程中，用到了几种方法，你认为哪种方法好？请讲述你的理由。

度量法：不精确；

拼角法：操作不方便；

当多边形边数n较大时，度量法、拼角法都不可取。

第三种方法：精确、省事且有理论根据。

【设计意图】通过几种方法的展示、比较，为五边形、六边形内角和的探索提供较好的思路和方法。

3．根据对四边形的内角和的探索，你能否求出五边形、六边形内角和呢？

学生动手实践，小组讨论、交流，寻找解答方法，并共同进行归纳总结。

小结：纵观以上各种证明思路，其共同点是通过图形分割，把五边形、六边形问题转化为熟悉的三角形问题来解决。

【设计意图】从简单的四边形入手，让学生亲自操作寻求结论，易于引起学习兴趣，鼓励学生找到多种方法，让学生体会多种分割形式，有利于深入领会转化的本质——四边形转化为三角形，也让学生体验数学活动充满探索和解决问题方法的多样性。

通过交流，让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程，可以提高语言表达能力。

4．小组合作，完成下面的表格。

（课件出示讨论结果）

5．从表格中你发现了什么规律？

从n边形的一个顶点可以引出(n-3)条对角线，把n边形分成（n-2）个三角形。从而得出结论：n边形的内角和等于（n-2）×180°。

【设计意图】在数学学习中，培养学生善于总结规律，构建知识体系是培养数学能力的一项重要内容，这样不仅使学生把本节课所学的知识形成一个完整的知识体系，而且进一步理解了多边形的内角和公式中的（n-2）的来历，更有利于培养学生善于归纳、总结的数学习惯和能力,让学生体会从具体到抽象的研究问题的方法，感悟化归思想的作用。

一、  填空

1.八边形的内角和           °。

2．一个多边形的内角和为1440°，则它的边数为       .

3．六角螺母的面是六边形，它的内角都相等，则这个六边形的每个内角是     　 °。

4. 一个五边形的三个内角是直角，另两个内角都是n°，则n=      。

（1）想一想：

如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

总结：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补

【设计意图】通过本组练习题的训练，既巩固了新知，又训练了学生思维的灵活性与开阔性。同时，让学生养成善于反思总结的好习惯。

A.四边形的外角和等于多少度？

B.五边形、六边形的外角和呢？

C.归纳总结：多边形的外角和

结论:多边形的外角和等于360°.

【设计意图】先求四边形的外角和，再求五边形、六边形以及n边形的外角和，我提出阶梯式的问题，让学生逐步归纳得出多边形的外角和等于360°，有利于培养学生善于归纳、总结的数学习惯和能力,让学生体会从具体到抽象的研究问题的方法，感悟化归思想的作用。

1.一个多边形的每一个外角都是60⁰，这个多边形是     边形，

它的内角和等于      度.

2.有没有这样的多边形，它的内角和是外角和的3倍？

【设计意图】通过本组练习题的训练，让学生运用所学知识解决问题，提高解决问题的能力，有利于培养学生养成学以致用的良好习惯 。

1.画一画   议一议：

有一个六边形，截去一个三角形，内角和与外角和会发生怎样变化？

2.想一想

小明在计算一个多边形的内角和时得到1000^O，你认为他的计算是否正确吗？为什么？

【设计意图】本组练习的设计，不仅巩固了多边形内角和公式的应用，而且通过第一题的一题多解，培养学生的发散思维，激发学生探究兴趣。

1．过本节课的学习，你学到了哪些知识？思想方法？提高了哪方面能力？

【设计意图】鼓励学生畅所欲言，总结对本节课的收获和体会，自主建构知识体系，锻炼学生的口头表达能力，培养学生的自信心。

A:课本P25  第4、5、6 题（必做题）

B: 课本P 25页 习题7、9（选一题）

C：小圳在计算某个多边形的内角和时，由于粗心他漏掉一个内角，求得的内角和1680° ，你能否求得正确结果呢？（研讨题）

【设计意图】作业分A、B、C三类，这样的设计可以让不同层次的学生根据自己的能力得到不同程度的训练，各有所得。通过作业进一步激发探索兴趣，巩固所学知识。

11.3　多边形及其内角和

11.3　多边形及其内角和