11.3 多边形及其内角和教学设计思路

地区： 重庆市 - 重庆市 - 巫溪县

学校：巫溪县宁河初级中学校

11.3　多边形及其内角和 初中数学       人教2011课标版

1、知识目标：掌握多边形的内角和公式，并能熟练运用。

2、过程与方法：

（1）过程：

先通过学生独立采用度量、转化、类比、推理等实践探索活动，探索出多边形的内角和初步公式；然后小组讨论交流每位学生各自探索出的初步公式，感受不同的探索过程及正确性；小组展示并证明初步探索出的公式的正确性。

（2）方法：实践、证明、应用及巩固提高。

3、情感态度目标：

①在自主探究，合作交流过程中，让学生感受数学活动的重要意义和合作成功的喜悦，提高学生学习的热情和合作意识。发展推理能力和语言表达能力；

②通过把多边形转化成三角形体会转化思想在几何中的运用，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法；

③通过探索多边形内角和公式，尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题，以及在几何问题中初步感受到也渗透有方程思想；从中感受到数学思考过程的条理性。

教学重点：探索出多边形的内角和公式及公式初步应用

    教学难点：如何用多种方法把四边形转化成三角形；找等量关系用方程求多边形的内角和度数

（一）、设问激趣

师：同学们，前面我们学了多边形，现在，请大家一起来欣赏多边形的图片（多媒体出示几组多边形的图片）

师：从古代到现代，从生活用品到建筑艺术，处处都有多边形的影子。我想，今年是2012年，如果能设计一个内角和刚好为2012度的多边形，那多有意义呀！这个愿望能实现吗？

师：想要解决这个问题，就必须先学习多边形的内角和的相关知识。（板书：§7.3.2 多边形的内角和）

【设计意图：“学源于思，思源于疑。”学生对新知识的渴求，了解未知事物的欲望，是激发学习兴趣的一个契机。上课一开始就给学生设置疑惑，使学生产生好奇心和求知欲，进入最佳学习状态。】

（二）、复习导入

师：（手中出示三角形纸板）三角形的内角和为多少度？当时我们是用哪些方法验证的？

生：180度。用量一量、拼一拼、以及平行线的性质来证明。

师：如果将这个三角形纸板剪去一个内角，会变成几边形？

生回答，师配合操作演示

师：我们学过两种特殊的四边形长方形和正方形，它们的内角和为多少度？你是怎么知道的？

生：360度。因为长方形和正方形有四个内角，每个内角都是90度，所以内角和为360度。

【设计意图：1、回顾三角形的内角和为180度以及用拼一拼、量一量和推理论证等方式对三角形的内角和进行证明，为四边形内角和的证明作铺垫。2、通过复习两种特殊的四边形长方形和正方形内角和都为360度，为猜想任意四边形内角和也为360度提供感性认识并形成初步猜测结果。】

（三）、探究新知

1、探究四边形的内角和

师：猜想，任意四边形的内角和为多少度？类比三角形的内角和的证明方法，你将如何证明你的猜想？

生：用量一量、拼一拼、以及进行推理论证的方法证明。

师：你知道哪种比较简单的推理论证的方法？

生：将一个四边形画一条对角线分成两个三角形，一个三角形的内角和为180度，两个三角形的内角和就为360度，所以四边形的内角和为360度。

师出示右图幻灯片，

A

B

D

C

点拨：刚才这位同学是将四边形的知识转化为我们已经学会的三角形的有关知识来解决的，我们再思考一下，除了从四边形的一个顶点出发引出对角线将四边形分割为互不重叠的两个三角形外，我们可不可以从顶点以外的其它地方找一个点引出线段把四边形分割为三角形来研究呢？

【设计意图：让学生在探究过程中初步体会转化思想的应用。这个探究主要是通过学生的合作探究来实现的，由于有三角形的内角和知识的铺垫，绝大多数学生很快就会找到连接对角线求四边形内角和，对于其余的方法，基础好的学生会找到，基础弱的则很困难，通过点拨就给学生用其他方法探究点明了思考的方向。】

师出示下面的幻灯片

合作探究1

猜想：任意四边形的内角和为　　　度

请用拼一拼、画一画、量一量等自己喜欢的方式在纸板上验证你的猜想，方法越多越好哟！

小组合作学习（1）集体讨论一共有多少种方法；（2）组长分工，完成探究一的内容；（3）小组综合汇总；（4）班级交流；（5）其他小组准备补充和点评。

学生先在小组中合作完成探究内容，然后在集体中用实物展示台展示。

师总结探究1：边出示下图所示的幻灯片，边小结一般方法

点拨：在拼一拼，画一画，量一量三种验证方法中，哪种方法更具说服力？（画一画）在画一画的几种方法中，哪一种方法更简单？（从一个顶点出发引对角线将四边形分成互不重叠的三角形的方法更简单）在后面的研究中我们就采用从一个顶点出发引对角线的方法来进行。

【设计意图：进行小组合作完成探究，采用分组的形式就是为了基础好的帮弱的，以达到共同理解的目的。从而顺利地突破了本节课的教学难点，对完成教学目标起到了关键性的作用。小组在探究交流结束后，教师小结并点拨，其目的是引导学生对多种方法进行优化选择，为探究多边形的内角和扫清了障碍。】

2、探究多边形的内角和

师：（手中出示四边形纸板）如果将四边形纸板剪去一个内角，又会变成几边形？

生：三角形、四边形或五边形。

教师实际演示剪裁过程如下图所示

过四边形的两个顶点剪裁

过四边形的一个顶点剪裁

不过四边形的顶点剪裁

        师：（手中出示刚才剪裁得到的五边形）五边形的内角和是多少？如果把刚才得到

的五边形继续不断地剪下去，有可能会变成六边形、七边形、八边形…它们的内角和分别是多少度呢？现在我们来研究多边形的内角和。

出示下面的幻灯片

小组成员先共同完成下面的“合作探究2”表格，然后请同学口头展示，教师根据学生的展示播放相应的幻灯片。内容如下图所示

教师引导学生边小结边板书：

（n–2)•180°

分成三角形的个数

多边形的内角和

边数

【设计意图：让学生在探究过程中再次体会转化思想的应用。这个探究主要还是通过学生的自主探究来实现的，由于有四边形的铺垫，而且优化了方法，绝大多数学生很快就能从一个顶点出发分割三角形，求出五边形、六边形和七边形的内角和，发现规律，推导出多边形的内角和公式，顺利达成预定目标。对于有困难的学生，通过学生在探索过程中教师的指导和小组成员的帮助去深化理解。这一活动中学生切实经历了一次从特殊归纳出一般的过程体验。】

（四）课堂练习

1、智力接龙：老师出一道已知多边形的边数，求多边形内角和的题，同学举手抢答，回答正确的同学出一道已知多边形的内角和求多边形边数的题目，同学抢答，最多不超过6道题。

（1）活动前，老师先在大屏幕上演示学生口头表述的具体格式，如下图所示

（2）生根据要求自主活动。

（3）师（边出示幻灯片边问）：前面老师谈到在2012年设计一个内角和为2012°的多边形这个想法能实现吗？

生：不能，因为2012°不是180°的正整数倍。所以数学的问题不是想当然的，行就行，不行怎么也不行

师引导学生小结：多边形的内角和必须是180°的正整数倍。

【设计意图：让学生自主出题，目的是调动学生学习积极性，巩固多边形内角和公式并能熟练运用。结合课前情景题，让学生明白多边形的内角和必须是180°的正整数倍，并做到了前后呼应。】

2、求下列求下列多边行中X的值

（1）铺垫题目（师出示幻灯片）

（2）多边形内角和与方程的综合运用（出示幻灯片）

C层同学口头展示①题，B层同学口头展示②题

【设计意图：本题与教材83页中的练习题相类似，七年级的学生习惯用算术方法解决问题，本题的目的是在几何中渗透方程思想。先设计铺垫题让学生进一步理解多边形内角和的定义以及两种计算方法，从而突破本节课“在几何图形中找到等量关系并列出方程”这一个难点。在完成时，考虑到学生的学业水平、学习能力的差异，分层作业，分层展示，体现因材施教的思想。】

（五）小结

（1）学生小结本节课所学内容

（2）教师出示幻灯片引导学生小结知识的探究过程

（六）课外拓展

教师边叙述边出示幻灯片

【设计意图：在四边形的内角和过渡到多边形的内角和的教学中，教师曾演示四边形剪去一个角后的三种情况，为本题埋下伏笔。其设计意图是灵活运用多边形内角和公式，渗透分类讨论的思想。】

11.3　多边形及其内角和

11.3　多边形及其内角和

（一）、设问激趣

师：同学们，前面我们学了多边形，现在，请大家一起来欣赏多边形的图片（多媒体出示几组多边形的图片）

师：从古代到现代，从生活用品到建筑艺术，处处都有多边形的影子。我想，今年是2012年，如果能设计一个内角和刚好为2012度的多边形，那多有意义呀！这个愿望能实现吗？

师：想要解决这个问题，就必须先学习多边形的内角和的相关知识。（板书：§7.3.2 多边形的内角和）

【设计意图：“学源于思，思源于疑。”学生对新知识的渴求，了解未知事物的欲望，是激发学习兴趣的一个契机。上课一开始就给学生设置疑惑，使学生产生好奇心和求知欲，进入最佳学习状态。】

（二）、复习导入

师：（手中出示三角形纸板）三角形的内角和为多少度？当时我们是用哪些方法验证的？

生：180度。用量一量、拼一拼、以及平行线的性质来证明。

师：如果将这个三角形纸板剪去一个内角，会变成几边形？

生回答，师配合操作演示

师：我们学过两种特殊的四边形长方形和正方形，它们的内角和为多少度？你是怎么知道的？

生：360度。因为长方形和正方形有四个内角，每个内角都是90度，所以内角和为360度。

【设计意图：1、回顾三角形的内角和为180度以及用拼一拼、量一量和推理论证等方式对三角形的内角和进行证明，为四边形内角和的证明作铺垫。2、通过复习两种特殊的四边形长方形和正方形内角和都为360度，为猜想任意四边形内角和也为360度提供感性认识并形成初步猜测结果。】

（三）、探究新知

1、探究四边形的内角和

师：猜想，任意四边形的内角和为多少度？类比三角形的内角和的证明方法，你将如何证明你的猜想？

生：用量一量、拼一拼、以及进行推理论证的方法证明。

师：你知道哪种比较简单的推理论证的方法？

生：将一个四边形画一条对角线分成两个三角形，一个三角形的内角和为180度，两个三角形的内角和就为360度，所以四边形的内角和为360度。

师出示右图幻灯片，

A

B

D

C

点拨：刚才这位同学是将四边形的知识转化为我们已经学会的三角形的有关知识来解决的，我们再思考一下，除了从四边形的一个顶点出发引出对角线将四边形分割为互不重叠的两个三角形外，我们可不可以从顶点以外的其它地方找一个点引出线段把四边形分割为三角形来研究呢？

【设计意图：让学生在探究过程中初步体会转化思想的应用。这个探究主要是通过学生的合作探究来实现的，由于有三角形的内角和知识的铺垫，绝大多数学生很快就会找到连接对角线求四边形内角和，对于其余的方法，基础好的学生会找到，基础弱的则很困难，通过点拨就给学生用其他方法探究点明了思考的方向。】

师出示下面的幻灯片

合作探究1

猜想：任意四边形的内角和为　　　度

请用拼一拼、画一画、量一量等自己喜欢的方式在纸板上验证你的猜想，方法越多越好哟！

小组合作学习（1）集体讨论一共有多少种方法；（2）组长分工，完成探究一的内容；（3）小组综合汇总；（4）班级交流；（5）其他小组准备补充和点评。

学生先在小组中合作完成探究内容，然后在集体中用实物展示台展示。

师总结探究1：边出示下图所示的幻灯片，边小结一般方法

点拨：在拼一拼，画一画，量一量三种验证方法中，哪种方法更具说服力？（画一画）在画一画的几种方法中，哪一种方法更简单？（从一个顶点出发引对角线将四边形分成互不重叠的三角形的方法更简单）在后面的研究中我们就采用从一个顶点出发引对角线的方法来进行。

【设计意图：进行小组合作完成探究，采用分组的形式就是为了基础好的帮弱的，以达到共同理解的目的。从而顺利地突破了本节课的教学难点，对完成教学目标起到了关键性的作用。小组在探究交流结束后，教师小结并点拨，其目的是引导学生对多种方法进行优化选择，为探究多边形的内角和扫清了障碍。】

2、探究多边形的内角和

师：（手中出示四边形纸板）如果将四边形纸板剪去一个内角，又会变成几边形？

生：三角形、四边形或五边形。

教师实际演示剪裁过程如下图所示

过四边形的两个顶点剪裁

过四边形的一个顶点剪裁

不过四边形的顶点剪裁

        师：（手中出示刚才剪裁得到的五边形）五边形的内角和是多少？如果把刚才得到

的五边形继续不断地剪下去，有可能会变成六边形、七边形、八边形…它们的内角和分别是多少度呢？现在我们来研究多边形的内角和。

出示下面的幻灯片

小组成员先共同完成下面的“合作探究2”表格，然后请同学口头展示，教师根据学生的展示播放相应的幻灯片。内容如下图所示

教师引导学生边小结边板书：

（n–2)•180°

分成三角形的个数

多边形的内角和

边数

【设计意图：让学生在探究过程中再次体会转化思想的应用。这个探究主要还是通过学生的自主探究来实现的，由于有四边形的铺垫，而且优化了方法，绝大多数学生很快就能从一个顶点出发分割三角形，求出五边形、六边形和七边形的内角和，发现规律，推导出多边形的内角和公式，顺利达成预定目标。对于有困难的学生，通过学生在探索过程中教师的指导和小组成员的帮助去深化理解。这一活动中学生切实经历了一次从特殊归纳出一般的过程体验。】

（四）课堂练习

1、智力接龙：老师出一道已知多边形的边数，求多边形内角和的题，同学举手抢答，回答正确的同学出一道已知多边形的内角和求多边形边数的题目，同学抢答，最多不超过6道题。

（1）活动前，老师先在大屏幕上演示学生口头表述的具体格式，如下图所示

（2）生根据要求自主活动。

（3）师（边出示幻灯片边问）：前面老师谈到在2012年设计一个内角和为2012°的多边形这个想法能实现吗？

生：不能，因为2012°不是180°的正整数倍。所以数学的问题不是想当然的，行就行，不行怎么也不行

师引导学生小结：多边形的内角和必须是180°的正整数倍。

【设计意图：让学生自主出题，目的是调动学生学习积极性，巩固多边形内角和公式并能熟练运用。结合课前情景题，让学生明白多边形的内角和必须是180°的正整数倍，并做到了前后呼应。】

2、求下列求下列多边行中X的值

（1）铺垫题目（师出示幻灯片）

（2）多边形内角和与方程的综合运用（出示幻灯片）

C层同学口头展示①题，B层同学口头展示②题

【设计意图：本题与教材83页中的练习题相类似，七年级的学生习惯用算术方法解决问题，本题的目的是在几何中渗透方程思想。先设计铺垫题让学生进一步理解多边形内角和的定义以及两种计算方法，从而突破本节课“在几何图形中找到等量关系并列出方程”这一个难点。在完成时，考虑到学生的学业水平、学习能力的差异，分层作业，分层展示，体现因材施教的思想。】

（五）小结

（1）学生小结本节课所学内容

（2）教师出示幻灯片引导学生小结知识的探究过程

（六）课外拓展

教师边叙述边出示幻灯片

【设计意图：在四边形的内角和过渡到多边形的内角和的教学中，教师曾演示四边形剪去一个角后的三种情况，为本题埋下伏笔。其设计意图是灵活运用多边形内角和公式，渗透分类讨论的思想。】