3.4 实际问题与一元一次方程课堂实录

地区： 湖南省 - 益阳市 - 资阳区

学校：资阳区张家塞乡初级中学

3.4　实际问题与一元一次… 初中数学       人教2011课标版

首先通过多媒体向学生展示本章前面所学知识（2分钟）:

(一)、基本概念

方程：  含有未知数的等式叫做方程。

一元一次方程：  只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一  次方程。

方程的解：  能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

解方程：  求方程解的过程叫做解方程。

   【注意】  解方程时，要用到等式的性质：

（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

(二)、基本法则

 解一元一次方程的步骤：

①去分母。

②去括号。

③移项。(根据等式性质推出：a.方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变；2)方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变)。

④合并同类项。

⑤化未知项的系数为1。

⑥检验方程的解(一般不需答出，但要养成检验的习惯)。

    【 注意】1.判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，像 ， 等都不是一元一次方程.

                  2.解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.

情景设计：（多媒体展示课题 揭示目标）

             思考：         数学考试十道题，

                            每对一道得五分，

                            答错不答不给分， 

                            每道倒扣三整分，

                            小明不知对几道，

                            得了两分好伤心。

     （设小明答对X道题,则有5X-3(10-X)=2  解得：X=4  即小明答对4道题)

      同学们， 前面我们通过简单的实际问题研究了一元一次方程的解法，今天我们就来运用一元一次方程解决如上述问题这样的实际问题，即:应用一元一次方程模型解应用题。

学生自学，教师巡视（学生自学6分钟，做题8分钟）：

自学教材P119- P120，并完成下列问题（多媒体展示）：

1、在“动脑筋”栏目中，等量关系是                                ；如果设平均每年增加的发电量为x亿千瓦时，根据等量关系可列出方程为                      ； 

2、在例1电价问题中，等量关系是                           ；如果设三峡水电站的电并入全国电力网后电价为每千瓦时x元，根据等量关系可列出方程为             ；

3、应用一元一次方程解决实际问题的基本步骤是：实际问题→设        →找        →列          →解      →检验           ；

4、如果两班人数总和为90人,且两班人数为1:1.5,则当设人数较少的班的人数为 时,列方程为_______________________；

5、某套书分上、中、下三册,印上册用了全部印刷时间的40%,印中册用了全部印刷时间的36%,印下册用了24天,印完全套书共用了多少天?   设印完全套书共用了 天, 则可以列方程为 ____________________；

6、甲、乙两个生产队共有120人,其中乙队人数是甲队人数的3倍少4人,求甲、乙两队各有多少人? 设甲生产队有 人,那么乙生产队有_______人, 列方程为____________；

学生讨论，更正，教师点拨（10分）：

      【多媒体展示： 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。】

小结（3分钟）： （多媒体展示）

       通过前面两个过程的学习，鼓励学生说出各自不同的想法，相互交流、补充，逐步引导启发学生归纳总结出: 

 (一)列方程解决实际问题的步骤:

（1）审题——找出题目中的已知量、未知量及相互关系。

（2）寻找等量关系——找出题目中能够表示全部含义的一个或几个相等关系（其中包括数量间的基本关系或本题条件下的等量关系）。

（3）设未知数——根据题目要求，确定适当的未知数。

（4）列方程——根据等量关系，列代数式得到方程。

（5）解方程。

（6）检验并答题（检验本题答案是否符合实际要求再作答）

 （二）本节课的知识结构：

当堂训练：（教师辅导 多媒体展示题目）

A组：1、学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有18人.现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍多2人，应调往甲、乙两处各多少人？

分析：设应调往甲处 人，由等量关系： +2，列出方程为                   ；

2、张爱国读某本书，第一天读了全书的1/3，第二天读了全书的1/2 少2页，还剩下30页没读，全书共有多少页？

解：设全书共有x 页，那么第一天读______页，第二天读_____页，还剩 下______页没读。根据题意得：第一天所读页数  +  第二天所读页数  +  剩下页数  =  全书页数

所以列出方程是_______________________________.

B组：3、育才实验中学七年级某班48名同学去西湖划船，一共乘坐10条船，已知大船坐5人，小船坐3人，正好全部坐满，问大船、小船个各有几条？ 

4、某校初三学生去年共有502人，今年男人增加18人，女生减少5%，全年级比去年增加8人，求今年男、女生的人数。

回顾反思：同学们，这节课我们学习了利用建立一元一次方程模型来解决实际问题的基本的方法步骤。而实际上我们可以利用本节课所学知识解决更多类型的实际问题。当然这也是以后几节课我们所要学习和探究的：

课后延伸： 应用题的类型和每个类型所用到的基本数量关系（仅作参考）

（1）等积类：变形前的体积（容积）=变形后的体积（容积）；

（2）调配类：注意调配前的数量关系，调配后的数量关系；

（3）利息类：本息和=本金＋税后利息，税后利息=本金×利率×80%；

（4）商品销售类：利润率=利润/进价，利润=售价－进价；

（5）工程类：工作量=工作时间×工作效率；

（6）行程类：路程=速度×时间①相遇问题：总路程=甲走的路程＋乙走的路程；追及问题：追者走的路程=前者走的路程＋两地间的路程；②环形跑道问题：“同时同地同向出发：快的多跑一圈才能追上慢的；同时同地反向出发：两人第一次相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度.”③航行问题：顺水速度=静水速度＋水速；逆水速度=静水速度－水速；顺水速度－逆水速度=2×风速；

（7）比例类：若甲、乙的比是3:5，可设甲为3x，乙为5x；

（8）数字类：若一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数可表示为：100a＋10b＋c.

课后作业：教材P122页 习题4.3 A组  1、2题；

拓展练习、提高兴趣（课后自主选修、操练）：

丢番图的墓志铭：“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一。又过十二分之一，两颊长胡．再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进人冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．”请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄？

3.4　实际问题与一元一次方程

3.4　实际问题与一元一次方程

首先通过多媒体向学生展示本章前面所学知识（2分钟）:

(一)、基本概念

方程：  含有未知数的等式叫做方程。

一元一次方程：  只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一  次方程。

方程的解：  能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

解方程：  求方程解的过程叫做解方程。

   【注意】  解方程时，要用到等式的性质：

（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

(二)、基本法则

 解一元一次方程的步骤：

①去分母。

②去括号。

③移项。(根据等式性质推出：a.方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变；2)方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变)。

④合并同类项。

⑤化未知项的系数为1。

⑥检验方程的解(一般不需答出，但要养成检验的习惯)。

    【 注意】1.判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，像 ， 等都不是一元一次方程.

                  2.解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.

情景设计：（多媒体展示课题 揭示目标）

             思考：         数学考试十道题，

                            每对一道得五分，

                            答错不答不给分， 

                            每道倒扣三整分，

                            小明不知对几道，

                            得了两分好伤心。

     （设小明答对X道题,则有5X-3(10-X)=2  解得：X=4  即小明答对4道题)

      同学们， 前面我们通过简单的实际问题研究了一元一次方程的解法，今天我们就来运用一元一次方程解决如上述问题这样的实际问题，即:应用一元一次方程模型解应用题。

学生自学，教师巡视（学生自学6分钟，做题8分钟）：

自学教材P119- P120，并完成下列问题（多媒体展示）：

1、在“动脑筋”栏目中，等量关系是                                ；如果设平均每年增加的发电量为x亿千瓦时，根据等量关系可列出方程为                      ； 

2、在例1电价问题中，等量关系是                           ；如果设三峡水电站的电并入全国电力网后电价为每千瓦时x元，根据等量关系可列出方程为             ；

3、应用一元一次方程解决实际问题的基本步骤是：实际问题→设        →找        →列          →解      →检验           ；

4、如果两班人数总和为90人,且两班人数为1:1.5,则当设人数较少的班的人数为 时,列方程为_______________________；

5、某套书分上、中、下三册,印上册用了全部印刷时间的40%,印中册用了全部印刷时间的36%,印下册用了24天,印完全套书共用了多少天?   设印完全套书共用了 天, 则可以列方程为 ____________________；

6、甲、乙两个生产队共有120人,其中乙队人数是甲队人数的3倍少4人,求甲、乙两队各有多少人? 设甲生产队有 人,那么乙生产队有_______人, 列方程为____________；

学生讨论，更正，教师点拨（10分）：

      【多媒体展示： 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。】

小结（3分钟）： （多媒体展示）

       通过前面两个过程的学习，鼓励学生说出各自不同的想法，相互交流、补充，逐步引导启发学生归纳总结出: 

 (一)列方程解决实际问题的步骤:

（1）审题——找出题目中的已知量、未知量及相互关系。

（2）寻找等量关系——找出题目中能够表示全部含义的一个或几个相等关系（其中包括数量间的基本关系或本题条件下的等量关系）。

（3）设未知数——根据题目要求，确定适当的未知数。

（4）列方程——根据等量关系，列代数式得到方程。

（5）解方程。

（6）检验并答题（检验本题答案是否符合实际要求再作答）

 （二）本节课的知识结构：

当堂训练：（教师辅导 多媒体展示题目）

A组：1、学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有18人.现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍多2人，应调往甲、乙两处各多少人？

分析：设应调往甲处 人，由等量关系： +2，列出方程为                   ；

2、张爱国读某本书，第一天读了全书的1/3，第二天读了全书的1/2 少2页，还剩下30页没读，全书共有多少页？

解：设全书共有x 页，那么第一天读______页，第二天读_____页，还剩 下______页没读。根据题意得：第一天所读页数  +  第二天所读页数  +  剩下页数  =  全书页数

所以列出方程是_______________________________.

B组：3、育才实验中学七年级某班48名同学去西湖划船，一共乘坐10条船，已知大船坐5人，小船坐3人，正好全部坐满，问大船、小船个各有几条？ 

4、某校初三学生去年共有502人，今年男人增加18人，女生减少5%，全年级比去年增加8人，求今年男、女生的人数。

回顾反思：同学们，这节课我们学习了利用建立一元一次方程模型来解决实际问题的基本的方法步骤。而实际上我们可以利用本节课所学知识解决更多类型的实际问题。当然这也是以后几节课我们所要学习和探究的：

课后延伸： 应用题的类型和每个类型所用到的基本数量关系（仅作参考）

（1）等积类：变形前的体积（容积）=变形后的体积（容积）；

（2）调配类：注意调配前的数量关系，调配后的数量关系；

（3）利息类：本息和=本金＋税后利息，税后利息=本金×利率×80%；

（4）商品销售类：利润率=利润/进价，利润=售价－进价；

（5）工程类：工作量=工作时间×工作效率；

（6）行程类：路程=速度×时间①相遇问题：总路程=甲走的路程＋乙走的路程；追及问题：追者走的路程=前者走的路程＋两地间的路程；②环形跑道问题：“同时同地同向出发：快的多跑一圈才能追上慢的；同时同地反向出发：两人第一次相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度.”③航行问题：顺水速度=静水速度＋水速；逆水速度=静水速度－水速；顺水速度－逆水速度=2×风速；

（7）比例类：若甲、乙的比是3:5，可设甲为3x，乙为5x；

（8）数字类：若一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数可表示为：100a＋10b＋c.

课后作业：教材P122页 习题4.3 A组  1、2题；

拓展练习、提高兴趣（课后自主选修、操练）：

丢番图的墓志铭：“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一。又过十二分之一，两颊长胡．再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进人冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．”请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄？