6.1 平方根特级教师教学实录

地区： 甘肃省 - 陇南市 - 文　县

学校：文县尚德初级中学

6.1　平方根 初中数学       人教2011课标版

1 知识与技能

（1）理解数的平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根.

（2）了解求一个正数的平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根.

（3）了解平方根的性质.

 (4)了解平方根与算数平方根的区别

2 过程与方法

（1）通过概念形成过程的教学，提高学生的思维水平.

（2）通过学生进行探索和交流，培养创新意识和合作精神.

3 情感、态度与价值观

（1）让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲.

 (2)训练学生动脑、动口、动手能力.

七年级二班共有学生25人，小学没有养成良好的学习习惯，底子较差，所以任务艰巨。在学生所学知识的掌握程度上，对好点的学生来说，能够理解知识，知识间的内在联系也能清楚，但只有两三个这样的学生。对待转化生来说，简单的基础知识还不能有效掌握，成绩较差。学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力要得到加强，还要提升整体成绩，适时补充课外知识，拓展学生的知识面，抽出一定的时间给强化训练，提升学生素质；在学习态度上，绝大部分学生上课能全神贯注，积极投入到学习中去，少数学生学习上有困难，对学习处于一种放弃的心态，课堂作业，大部分学生能认真完成，少数学生需要教师督促，这一少数学生也成为老师的重点牵挂对象，家庭作业，学生完成的质量要打折扣，学生的学习习惯养成还不理想，预习的习惯，进行总结的习惯，自习课专心致至学习的习惯，主动纠正错误的习惯，还需要加强，需要教师的督促才能做好。面向全体学生，整体提高水平，全面培养能力，养成良好的学习习惯。

教学重点：

理解平方根的概念、性质，求一个非负数的平方根。会用根号表示一个正数的平方根.

教学难点：

平方根的概念、性质.

一、回顾旧知

 1. 若X²=a, 则x=√a称为a的_______

 2. 9的算数平方根是____  ,16的算数平方根是 ______

二 、自主探究  合作交流  

                     2²  =             （-2）²=                 0.1²=               （-0.1）²=

 探究1    

阅读课本44页思考并完成填表。

讨论总结

平方根的定义

    小组讨论完成：如果有一个数x的平方等于4，这个数x等于多少呢？把4改为9，16 ,925    ,x等于于多少呢？

 定义  一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的 ________     或  _______     ,即若x²=a,则x为a的平方根,记为x=______      

  把求一个数a的平方根的运算,叫做  _______    ,而平方运算与开平方运算互为逆运算.根

据这种运算关系,可以求一个数的平方根 .

三、合作探究 拓展新知

练一练   当x²=1时,x=____;  当x²=16时,则x=____,  当x²=36时,x=____;  当x²=49时,x=____;  当x=425   时, x=____

例4、求下列各数的平方根   

（1）100；    （2） ；  （3）0.25；

解：（1）  ∵ (± 10)²=100                           （2） （ 略 ）             （3）（略）

                  ∴ 100的平方根是 ± 10    

         即        ±√100 =  ± 10

练一练：1. 求下列各数的平方根. 

      (1)0.49                        (2) 4936      (3)81              (4)0            (5)-100

       2．求 x的值  

      （1）x²-49=0 ；                                                 （2）4x²-1=0 ；

注意:求-100的平方根时，指导学生完成。因为没有两个相同的数相乘等于-100，所以-100没有平方根

平方根的性质

探究2：

交流讨论：

 (1)从上面问题我们知道4的平方根有两个，2和-2，除了这两个外还有吗？为什么？

归纳：如果数x是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：a与-a,我们把a的正的平方根叫a的算术平方根，记作：√a  ，读作：“根号a”，把a的负平方根记作：- √a 

（2）0有平方根吗？如果有又等于多少？

（3）负数有没有平方根？为什么？

开平方运算与平方运算的关系

（1）求一个非负数的平方根的运算叫开平方。

（2）求2² 与求√4  有什么不同？有什么联系？   

    强调：正数的平方根有两个，它们是一对相反数。求一个数的平方根时要写作±√a  ,不能写成 √a =±±√a  .

练一练    

    1. 有一个数的相反数、平方根都等于它本身，这个数是（      ）。

                           A、－1            B、1           C、0             D、±1

    2. 如果一个正数的一个平方根为4, 则另一个平方根为____      

    3. 若一正数a的两个平方根分别是2m-3和5-m,则a=      

探究3  

 例5 :求下列各式的值,并根据这些值写出各被开方数的平方根.

(1)    √1.44                 (2)-−√81 ​                   (3)±

练一练  

求各式的值，并说明各式表示的意义.

（1） ，（2）－ ，（3）

四、尝试应用      

1、  16的平方根是       ；用数学表达式可以写成            ， 的平方根是     ，  2的平方根是     ；  

 2、   表示    ；它的值为        ；  

 3、  若使 有意义，则x的取值范围是___        

 4、 一个正数的平方根是 和 ，则      

 5.有一长方形花坛,长是宽的4倍,其面积为25m2,则长=      宽=     

五 课堂练习 巩固提高

  1． 求下列各式的值。 

     （1）            （2） 

 2． 的平方根是         ，算术平方根是            

 求下列各式中X的值： 

     （1）    （2）

4. 已知 与 是 的两个平方根，求 的值。

链接中考    

1、下列说法正确的是(    )

A、 的平方根是    B、 表示6的算术平方根的相反数

C、 任何数都有平方根     D、 一定没有平方根

下列说法中，错误的是（    ）。

 A、4的算术平方根是2    B、 的平方根是±3

C、4的平方根是±2　　　　　　 　Ｄ、平方根等于１的数是１

3、已知 的小数部分为 ， 的小数部分为 ，则         

六、 反思小结

 这节课你学会了什么？（总结平方根的定义和性质）

作业：习题6.1    第3、4、6、8题

6.1　平方根

6.1　平方根

一、回顾旧知

 1. 若X²=a, 则x=√a称为a的_______

 2. 9的算数平方根是____  ,16的算数平方根是 ______

二 、自主探究  合作交流  

                     2²  =             （-2）²=                 0.1²=               （-0.1）²=

 探究1    

阅读课本44页思考并完成填表。

讨论总结

平方根的定义

    小组讨论完成：如果有一个数x的平方等于4，这个数x等于多少呢？把4改为9，16 ,925    ,x等于于多少呢？

 定义  一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的 ________     或  _______     ,即若x²=a,则x为a的平方根,记为x=______      

  把求一个数a的平方根的运算,叫做  _______    ,而平方运算与开平方运算互为逆运算.根

据这种运算关系,可以求一个数的平方根 .

三、合作探究 拓展新知

练一练   当x²=1时,x=____;  当x²=16时,则x=____,  当x²=36时,x=____;  当x²=49时,x=____;  当x=425   时, x=____

例4、求下列各数的平方根   

（1）100；    （2） ；  （3）0.25；

解：（1）  ∵ (± 10)²=100                           （2） （ 略 ）             （3）（略）

                  ∴ 100的平方根是 ± 10    

         即        ±√100 =  ± 10

练一练：1. 求下列各数的平方根. 

      (1)0.49                        (2) 4936      (3)81              (4)0            (5)-100

       2．求 x的值  

      （1）x²-49=0 ；                                                 （2）4x²-1=0 ；

注意:求-100的平方根时，指导学生完成。因为没有两个相同的数相乘等于-100，所以-100没有平方根

平方根的性质

探究2：

交流讨论：

 (1)从上面问题我们知道4的平方根有两个，2和-2，除了这两个外还有吗？为什么？

归纳：如果数x是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：a与-a,我们把a的正的平方根叫a的算术平方根，记作：√a  ，读作：“根号a”，把a的负平方根记作：- √a 

（2）0有平方根吗？如果有又等于多少？

（3）负数有没有平方根？为什么？

开平方运算与平方运算的关系

（1）求一个非负数的平方根的运算叫开平方。

（2）求2² 与求√4  有什么不同？有什么联系？   

    强调：正数的平方根有两个，它们是一对相反数。求一个数的平方根时要写作±√a  ,不能写成 √a =±±√a  .

练一练    

    1. 有一个数的相反数、平方根都等于它本身，这个数是（      ）。

                           A、－1            B、1           C、0             D、±1

    2. 如果一个正数的一个平方根为4, 则另一个平方根为____      

    3. 若一正数a的两个平方根分别是2m-3和5-m,则a=      

探究3  

 例5 :求下列各式的值,并根据这些值写出各被开方数的平方根.

(1)    √1.44                 (2)-−√81 ​                   (3)±

练一练  

求各式的值，并说明各式表示的意义.

（1） ，（2）－ ，（3）

四、尝试应用      

1、  16的平方根是       ；用数学表达式可以写成            ， 的平方根是     ，  2的平方根是     ；  

 2、   表示    ；它的值为        ；  

 3、  若使 有意义，则x的取值范围是___        

 4、 一个正数的平方根是 和 ，则      

 5.有一长方形花坛,长是宽的4倍,其面积为25m2,则长=      宽=     

五 课堂练习 巩固提高

  1． 求下列各式的值。 

     （1）            （2） 

 2． 的平方根是         ，算术平方根是            

 求下列各式中X的值： 

     （1）    （2）

4. 已知 与 是 的两个平方根，求 的值。

链接中考    

1、下列说法正确的是(    )

A、 的平方根是    B、 表示6的算术平方根的相反数

C、 任何数都有平方根     D、 一定没有平方根

下列说法中，错误的是（    ）。

 A、4的算术平方根是2    B、 的平方根是±3

C、4的平方根是±2　　　　　　 　Ｄ、平方根等于１的数是１

3、已知 的小数部分为 ， 的小数部分为 ，则         

六、 反思小结

 这节课你学会了什么？（总结平方根的定义和性质）

作业：习题6.1    第3、4、6、8题