2017小学数学知识点分类复习：数和数的运算

　　第一章 数和数的运算

　　一 概念

　　（一）整数

　　1、 整数的意义 自然数和0都是整数。

　　2 、自然数

　　我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3叫做自然数。

　　一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。

　　3、计数单位

　　一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是计数单位。

　　每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。

　　4 、数位

　　计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。

　　5、数的整除

　　整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。例如15÷3=5，所以15能被3整除，3能整除15。

　　如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。倍数和约数是相互依存的。

　　一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

　　一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

　　个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。

　　个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。

　　一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。

　　能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。

　　一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53 、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

　　一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。

　　1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。

　　每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。

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　　把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例如把28分解质因数 28=2×2×7

　　几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公因数，6是它们的最大公因数。 公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：

　　1和任何自然数互质。 相邻的两个自然数互质。 两个不同的质数互质。

　　当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。 两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。

　　如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。

　　如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1。 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、 

　　3的倍数有3、6、9、12、15、18  其中6、12、18是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。。

　　如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

　　如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。

　　几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。

　　（二）小数

　　1 、小数的意义

　　把整数1平均分成10份、100份、1000份 得到的十分之几、百分之几、千分之几 可以用小数表示。 一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几

　　在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。

　　2、小数的分类

　　循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。

　　例如： 3.555  0.0333  12.109109 

　　一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。

　　例如： 3.99 的循环节是“ 9 ” ， 0.5454 的循环节是“ 54 ” 。

　　（三）分数

　　1 、分数的意义

　　把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。

　　在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。

　　把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。

　　2 、分数的分类

　　真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。

　　带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。

　　（四）百分数

　　1 、表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分比。百分数通常用"%"来表示。百分号是表示百分数的符号。

　　二 方法

　　（一）数的读法和写法

　　1. 整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。

　　2. 整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。

　　3. 小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。

　　4. 小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。

　　5. 分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。

　　6. 分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。

　　7. 百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。

　　8. 百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。

　　（二）数的改写 一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。

　　1. 准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。

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　　2. 近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。 例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。 3. 四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。 （三）数的互化

　　1. 小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。

　　2. 分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。

　　3. 一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。 4. 小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。

　　5. 百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。

　　6. 分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。

　　7. 百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。

　　（四）数的整除

　　1. 把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。

　　2. 求几个数的最大公因数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公因数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数 。

　　3. 求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。

　　4. 成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质 ； 相邻的两个自然数互质； 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质； 两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。

　　（五） 约分和通分

　　约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。

　　通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。

　　三 性质和规律

　　（一）商不变的规律

　　商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。 （二）小数的性质

　　小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。

　　（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化

　　1. 小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍；

　　2. 小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小100倍； 3. 小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0"补足位。 （四）分数的基本性质

　　分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。 （五）分数与除法的关系

　　1. 被除数÷除数= 被除数/除数

　　2. 因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。 3. 被除数相当于分子，除数相当于分母。

　　四 运算的意义

　　（一）整数四则运算

　　1 整数加法：

　　把两个数合并成一个数的运算叫做加法。

　　在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。

　　加数+加数=和 一个加数=和－另一个加数

　　2 整数减法：

　　已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。

　　在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。

　　3 整数乘法：

　　求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。

　　在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。 在乘法里，0和任何数相乘都得0. 1和任何数相乘都的任何数。

　　一个因数× 一个因数 =积 一个因数=积÷另一个因数4 整数除法：

　　已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。

　　在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。

　　在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。

　　3

　　（二）小数四则运算

　　1. 小数加法：

　　小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。

　　2. 小数减法：

　　小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算. 3、小数乘法

　　1、小数乘法的计算法则：先按整数乘法算出积，再给积点上小数点。（怎样点小数点呢）看因数中一共有几位小数，就从积的右边数出几位，点上小数点。（乘得的积的小数位数不够，怎样点小数点）要在前面用0补足，再点小数点。

　　2、因数的变化引起积的变化规律：

　　①一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数。

　　②两个因数同时扩大一定的倍数，积扩大的倍数等于两个因数扩大的倍数相乘的积。如：第一个因数扩大5倍，第二个因数扩大10倍，积扩大（5×10=50倍）。

　　③一个因数缩小，另一个因数扩大，则要看缩小的倍数大还是扩大的倍数大。如果缩小的倍数大，积就缩小；如果扩大的倍数大，积就扩大。缩小或扩大的倍数等于大数除以小数的商。

　　如：一个因数缩小20倍，另一个因数扩大10倍，因为20＞10，所以积要缩小，缩小（20÷10=2倍）。又比如：一个因数扩大30倍，另一个因数缩小6倍，因为30＞6，所以积要扩大，扩大（30÷6=5倍）。 3、因数与积的大小关系：

　　一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；

　　一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。

　　二、小数除法

　　1、小数除以整数的计算法则：①按整数除法的方法去除；②商的小数点要和被除数的小数点对齐；③整数部分不够除，商0，点上小数点；④如果有余数，要添0再除。

　　2、一个数除以小数的计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点向右移动了几位，被除数的小数点也向右移动几位，当被除数的位数不够时，在被除数的末尾用0补足，然后按照除数是整数的小数除法进行计算。

　　3、被除数、除数与商的变化规律：

　　①被除数和除数同时乘上（或除以）相同的数（0除外），商不变；

　　②被除数不变，除数扩大（或缩小）几倍，商就缩小（或扩大）相同的倍数；

　　③除数不变，被除数扩大（或缩小）几倍，商也随着扩大（或缩小）相同的倍数。 4、被除数与商的大小关系：

　　一个数（0除外）除以大于1的数，商比被除数小；

　　一个数（0除外）除以小于1的数（0除外），商比被除数大

　　5、一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。

　　6、小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。

　　（三）分数四则运算

　　1. 分数加法：

　　分数加法的意义与整数加法的意义相同。 是把两个数合并成一个数的运算。

　　2. 分数减法：

　　分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。 3. 分数乘法：

　　分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。

　　4. 乘积是1的两个数叫做互为倒数。 5. 分数除法：

　　分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

　　（四）运算定律

　　1. 加法交换律： 两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a 。

　　2. 加法结合律：

　　三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c) 。

　　3. 乘法交换律： 两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。

　　4. 乘法结合律：

　　三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(a×b)×c=a×(b×c) 。

　　5. 乘法分配律：

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　　相乘再把两个积相加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。 6. 减法的性质：

　　从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c) 。

　　（五）运算法则

　　1. 回顾整数加法、减法、乘法的计算法则：

　　2. 整数除法计算法则：

　　先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。 3. 小数乘法法则：

　　先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。

　　4. 除数是整数的小数除法计算法则：

　　先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。

　　5. 除数是小数的除法计算法则：

　　先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。

　　6. 异分母分数加减法计算方法:

　　先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。

　　7. 带分数加减法的计算方法:

　　整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。

　　10. 分数乘法的计算法则:

　　分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。

　　12. 分数除法的计算法则:

　　甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。

　　（六） 运算顺序

　　1. 没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算；两级运算 先算乘、除法，后算加减法。

　　2. 有括号的混合运算:先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

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