3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2优秀说课稿

3.4　基本不等式 高中数学       人教A版2003课标版

1．知识与技能：

        学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2．过程与方法：

        通过实例探究抽象基本不等式；

3．情态与价值：

        通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

        根据本节课的教学内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，进行启发、探究式教学并使用多媒体计算机辅助教学.?

       应用数形结思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式 的证明是重点;

      创设基本不等式运用的条件是难点.

一、问题提出1.不等式有许多基本性质，同时还有一些显而易见的结论，如a2≥0，|a|≥0，|a|≥a等，这些性质都是研究不等式问题的理论依据.在实际应用中，我们还需要有相应的不等式原理.

2. 基本不等式 的几何背景：

如图(教材)是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？(引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系)．

二、知识探究（一）:基本不等式

思考1：将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形ABCD和EFGH的边长分别为多少？

思考2：图中正方形ABCD的面积与4个直角三角形的面积之和有什么不等关系？由此可得到一个什么不等式？

显然4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 ．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： a2＋ b2≥2ab

思考3：从图形分析,上述不等式在什么情况下取等号？

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 a2＋ b2=2ab

当直角三角形为等腰直角三角形，即 a＝b时， a2＋b2＝2ab.

思考4：在上面的图形背景中，a，b都是正数，那么当a，b∈R时，不等式a2＋b2≥2ab成立吗？为什么？

形成结论:一般地，对于任意实数a，b，有:a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立.

思考5：特别地，如果a＞0，b＞0，我们用 、  分别代替a、b ，可得什么不等式?

当且仅当a＝b时等号成立.

思考6：不等式 称为基本不等式，它沟通了两个正数的和与积的不等关系，在实际问题中有广泛的应用，你能用分析法证明吗？

思路：用分析法证明：

要证                                                      (1)

只要证                                                   (2)

要证（2），只要证                             （3）

要证（3），只要证                              （4）

显然，（4）是成立的．当且仅当a=b时，（4）中的等号成立．

思考7：我们称  和 分别为a，b的算术平均数和几何平均数，如何用文字语言表述基本不等式？

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

基本不等式： 当且仅当a=b时，等号成立。

注意：

（1）两个不等式的适用范围不同。              

（2 称为正数a、b的几何平均数 , 称为它们的算术平均数。

用投影仪给出下列问题.?

如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？?

定理的几何解释:半径不小于半弦长

评述：1.如果把 看作是正数a、b的等差中项， 看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2.在数学中，我们称 为a、b的算术平均数，称 为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

探究（二）：基本不等式的变形

思考1：将基本不等式 两边平方可得什么结论？它与不等式a2＋b2≥2ab有什么内在联系？

思考2：在不等式a2＋b2≥2ab两边同加上a2＋b2可得什么结论？所得不等式有什么特色？

它反映了两个实数的平方和与它们的和的平方的不等关系，称为平方平均不等式，其数学意义是：两个实数的平方的算术平均数不小于它们的算术平均数的平方.

思考3:将不等式 两边同乘以 ，可变通出一些什么结论？

不等式串：

倒数平均数不小于几何平均数不小于算术平均数不小于平方平均数

三、知识应用

例1 （1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短篱笆是多少？

（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y） m．由 ，可得 ， ．等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.

因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.

（2）解法一：设矩形菜园的宽为x　m，则长为（36－2x）m，其中0＜x＜ ，其面积S＝x（36－2x）＝ ·2x（36－2x）≤

当且仅当2x＝36－2x，即x＝9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9 m时菜园面积最大为81 m2

解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36,  x+y=18,矩形菜园的面积为xy  m ．由 ，可得    当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立．

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m

反思：由此题我们可以得到什么启示呢？

例2（1）已知x  ，y 都是正数，求证：如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值      

(2）x，y都是正数,求证:如果 和x+y是定值s,那么当x=y时积xy有最大值 s2 .

结论

已知 x、y都是正数，（1）如果积 xy是定值P,那么当x=y时，和x+y 有最小 值 （积定和最小）

　（2）如果和x+y 是定值S,那么当x=y 时，积 xy有最大 值 （和定积最大）

例3.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m2,深为3m,如果池底每1m2的造价为150元,池壁每1m造价120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理．

解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

当

因此当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件．

归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案.

注意：此题反映的是利用均值定理求最值的方法，应注意三个条件：（1）函数式中各项必须都是正数;（2）函数式中含变数的各项的和或积必须是定值;（3）等号成立时,相应的值一定能取到;记忆口诀：积定和最小，和定积最大。

四、.随堂练习

教材P100面练习1题、2题。

(五、知识小结

1.不等式a2＋b2≥2ab与 都是基本不等式，它们成立的条件不同，前者a、b可为任意实数，后者要求a、b都是正数，但二者等号成立的条件相同.

2.基本不等式有多种形式，应用时具有很大的灵活性，既可直接应用也可变式应用.一般地，遇到和与积，平方和与积，平方和与和的平方等不等式问题时，常利用基本不等式处理

3.当a、b都是正数时，有不等式链

4. 利用均值不等式求最值需满足三条件:一正二定三相等.

六、作业布置：

3.4　基本不等式

3.4　基本不等式

一、问题提出1.不等式有许多基本性质，同时还有一些显而易见的结论，如a2≥0，|a|≥0，|a|≥a等，这些性质都是研究不等式问题的理论依据.在实际应用中，我们还需要有相应的不等式原理.

2. 基本不等式 的几何背景：

如图(教材)是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？(引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系)．

二、知识探究（一）:基本不等式

思考1：将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形ABCD和EFGH的边长分别为多少？

思考2：图中正方形ABCD的面积与4个直角三角形的面积之和有什么不等关系？由此可得到一个什么不等式？

显然4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 ．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： a2＋ b2≥2ab

思考3：从图形分析,上述不等式在什么情况下取等号？

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 a2＋ b2=2ab

当直角三角形为等腰直角三角形，即 a＝b时， a2＋b2＝2ab.

思考4：在上面的图形背景中，a，b都是正数，那么当a，b∈R时，不等式a2＋b2≥2ab成立吗？为什么？

形成结论:一般地，对于任意实数a，b，有:a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立.

思考5：特别地，如果a＞0，b＞0，我们用 、  分别代替a、b ，可得什么不等式?

当且仅当a＝b时等号成立.

思考6：不等式 称为基本不等式，它沟通了两个正数的和与积的不等关系，在实际问题中有广泛的应用，你能用分析法证明吗？

思路：用分析法证明：

要证                                                      (1)

只要证                                                   (2)

要证（2），只要证                             （3）

要证（3），只要证                              （4）

显然，（4）是成立的．当且仅当a=b时，（4）中的等号成立．

思考7：我们称  和 分别为a，b的算术平均数和几何平均数，如何用文字语言表述基本不等式？

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

基本不等式： 当且仅当a=b时，等号成立。

注意：

（1）两个不等式的适用范围不同。              

（2 称为正数a、b的几何平均数 , 称为它们的算术平均数。

用投影仪给出下列问题.?

如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？?

定理的几何解释:半径不小于半弦长

评述：1.如果把 看作是正数a、b的等差中项， 看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2.在数学中，我们称 为a、b的算术平均数，称 为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

探究（二）：基本不等式的变形

思考1：将基本不等式 两边平方可得什么结论？它与不等式a2＋b2≥2ab有什么内在联系？

思考2：在不等式a2＋b2≥2ab两边同加上a2＋b2可得什么结论？所得不等式有什么特色？

它反映了两个实数的平方和与它们的和的平方的不等关系，称为平方平均不等式，其数学意义是：两个实数的平方的算术平均数不小于它们的算术平均数的平方.

思考3:将不等式 两边同乘以 ，可变通出一些什么结论？

不等式串：

倒数平均数不小于几何平均数不小于算术平均数不小于平方平均数

三、知识应用

例1 （1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短篱笆是多少？

（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y） m．由 ，可得 ， ．等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.

因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.

（2）解法一：设矩形菜园的宽为x　m，则长为（36－2x）m，其中0＜x＜ ，其面积S＝x（36－2x）＝ ·2x（36－2x）≤

当且仅当2x＝36－2x，即x＝9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9 m时菜园面积最大为81 m2

解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36,  x+y=18,矩形菜园的面积为xy  m ．由 ，可得    当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立．

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m

反思：由此题我们可以得到什么启示呢？

例2（1）已知x  ，y 都是正数，求证：如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值      

(2）x，y都是正数,求证:如果 和x+y是定值s,那么当x=y时积xy有最大值 s2 .

结论

已知 x、y都是正数，（1）如果积 xy是定值P,那么当x=y时，和x+y 有最小 值 （积定和最小）

　（2）如果和x+y 是定值S,那么当x=y 时，积 xy有最大 值 （和定积最大）

例3.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m2,深为3m,如果池底每1m2的造价为150元,池壁每1m造价120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理．

解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

当

因此当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件．

归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案.

注意：此题反映的是利用均值定理求最值的方法，应注意三个条件：（1）函数式中各项必须都是正数;（2）函数式中含变数的各项的和或积必须是定值;（3）等号成立时,相应的值一定能取到;记忆口诀：积定和最小，和定积最大。

四、.随堂练习

教材P100面练习1题、2题。

(五、知识小结

1.不等式a2＋b2≥2ab与 都是基本不等式，它们成立的条件不同，前者a、b可为任意实数，后者要求a、b都是正数，但二者等号成立的条件相同.

2.基本不等式有多种形式，应用时具有很大的灵活性，既可直接应用也可变式应用.一般地，遇到和与积，平方和与积，平方和与和的平方等不等式问题时，常利用基本不等式处理

3.当a、b都是正数时，有不等式链

4. 利用均值不等式求最值需满足三条件:一正二定三相等.

六、作业布置：