3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2优秀教案

3.4　基本不等式 高中数学       人教A版2003课标版

1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。

学生基础薄弱，接受力较差，注重基础知识的讲授。

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程；基本不等式 等号成立条件。

（设计意图：通过教师对第24届国际数学家大会和对赵爽的介绍，引起学生对数学的热爱和学习数学的兴趣。）

基本不等式 的几何背景：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系． 

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为a,b（a≠b）,那么正方形的边长为 ．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 ．由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： ．

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 ．

2．得到结论：一般的，对于任意实数a,b，我们有 ，当且仅当a=b时，等号成立。

3．思考证明：你能给出它的证明吗？（设计意图：通过图形得到了不等式的几何解释，为了更准确地感知和理解，再从数学的逻辑方面给出证明，不仅培养了学生严谨的数学态度，而且还可以从中学习到分析法证明的大体过程）

证明：因为    

当

所以， ，即

4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式

特别的，如果a>0,b>0,我们用 、 分别代替a、b ，可得 ，

通常我们把上式写作：

  2）从不等式的性质推导基本不等式

用分析法证明：

要证                                  (1)

只要证           a+b                        (2)

要证（2），只要证         a+b- 0           （3）

要证（3），只要证           （a+b- ）          （4）

显然，（4）是成立的．当且仅当a=b时，（4）中的等号成立．

  3）理解基本不等式 的几何意义

探究：课本第98页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD．你能利用这个图形得出基本不等式 的几何解释吗？（设计意图：从不同的侧面理解不等式，培养学生一题多解的意识）

易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝ .

这个圆的半径为 ，显然，它大于或等于CD，即 ，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.

因此：基本不等式 几何意义是“半径不小于半弦”

评述：1.如果把 看作是正数a、b的等差中项， 看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2.在数学中，我们称 为a、b的算术平均数，称 为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

[补充例题]

例1  已知x、y都是正数，求证：

(1) ≥2；

(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.

分析：在运用定理： 时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.

解：∵x，y都是正数      ∴ ＞0， ＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0

(1) ＝2即 ≥2.

(2)x＋y≥2 ＞0           x2＋y2≥2 ＞0          x3＋y3≥2 ＞0

∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2 ·2 ·2 ＝８x3y3

即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.

1.已知a、b、c都是正数，求证

（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc

分析：对于此类题目，选择定理： （a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.

解：∵a，b，c都是正数

∴a＋b≥2 ＞0    b＋c≥2 ＞0    c＋a≥2 ＞0

∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2 ·2 ·2 ＝８abc

即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.

4.课时小结（设计意图：总结梳理本节课所讲的内容，使学生形成系统的认识，培养学生的归纳总结能力）

本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（ ），几何平均数（ ）及它们的关系（ ≥ ）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤ ，ab≤（ ）2.

本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（ ），几何平均数（ ）及它们的关系（ ≥ ）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤ ，ab≤（ ）2

课本第100页习题[A]组的第1题,第2题。

3.4　基本不等式

3.4　基本不等式

（设计意图：通过教师对第24届国际数学家大会和对赵爽的介绍，引起学生对数学的热爱和学习数学的兴趣。）

基本不等式 的几何背景：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系． 

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为a,b（a≠b）,那么正方形的边长为 ．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 ．由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： ．

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 ．

2．得到结论：一般的，对于任意实数a,b，我们有 ，当且仅当a=b时，等号成立。

3．思考证明：你能给出它的证明吗？（设计意图：通过图形得到了不等式的几何解释，为了更准确地感知和理解，再从数学的逻辑方面给出证明，不仅培养了学生严谨的数学态度，而且还可以从中学习到分析法证明的大体过程）

证明：因为    

当

所以， ，即

4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式

特别的，如果a>0,b>0,我们用 、 分别代替a、b ，可得 ，

通常我们把上式写作：

  2）从不等式的性质推导基本不等式

用分析法证明：

要证                                  (1)

只要证           a+b                        (2)

要证（2），只要证         a+b- 0           （3）

要证（3），只要证           （a+b- ）          （4）

显然，（4）是成立的．当且仅当a=b时，（4）中的等号成立．

  3）理解基本不等式 的几何意义

探究：课本第98页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD．你能利用这个图形得出基本不等式 的几何解释吗？（设计意图：从不同的侧面理解不等式，培养学生一题多解的意识）

易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝ .

这个圆的半径为 ，显然，它大于或等于CD，即 ，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.

因此：基本不等式 几何意义是“半径不小于半弦”

评述：1.如果把 看作是正数a、b的等差中项， 看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2.在数学中，我们称 为a、b的算术平均数，称 为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

[补充例题]

例1  已知x、y都是正数，求证：

(1) ≥2；

(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.

分析：在运用定理： 时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.

解：∵x，y都是正数      ∴ ＞0， ＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0

(1) ＝2即 ≥2.

(2)x＋y≥2 ＞0           x2＋y2≥2 ＞0          x3＋y3≥2 ＞0

∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2 ·2 ·2 ＝８x3y3

即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.

1.已知a、b、c都是正数，求证

（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc

分析：对于此类题目，选择定理： （a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.

解：∵a，b，c都是正数

∴a＋b≥2 ＞0    b＋c≥2 ＞0    c＋a≥2 ＞0

∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2 ·2 ·2 ＝８abc

即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.

4.课时小结（设计意图：总结梳理本节课所讲的内容，使学生形成系统的认识，培养学生的归纳总结能力）

本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（ ），几何平均数（ ）及它们的关系（ ≥ ）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤ ，ab≤（ ）2.

本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（ ），几何平均数（ ）及它们的关系（ ≥ ）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤ ，ab≤（ ）2

课本第100页习题[A]组的第1题,第2题。