3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2第一课时评课稿

3.4　基本不等式 高中数学       人教A版2003课标版

教学目标：

（一）知识与能力     

 1.学会推导并掌握基本不等式，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

进一步掌握基本不等式  ； 会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题.

（二）过程与方法

通过实例探究抽象基本不等式；
通过几个例题的研究，进一步掌握基本不等式 ；并会用此定理求某些函数的最大、最小值;

（三）情感态度与价值观

 1.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣;

 2. 引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结        

合的科学态度和科学道德;

 3.积极倡导同学们进行几何与代数的结合运用，发现各种事物之间的普遍联系.

在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识. 如何让学生再认识“基本”二字，是本节学习的前提. 事实上，该不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化，这一本质不仅反映在其代数结构上，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用. 因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质. 另外，在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用

一）教学重点

   掌握基本不等式，会用此不等式求某些函数的最值.

（二）教学难点

1.基本不等式等号成立条件;

2.利用此不等式求函数的最大、最小值.

问题1:若 ，则代数式 有何大小关系？

提示：

    上述结论中，“=”号何时成立？

提示：当且仅当 时成立。

1、重要不等式

对于任意实数、，都有，（当且仅当时，等号成立）

注：指出定理适用范围：

2、提问：如果、，我们用、分别代替中的、，那么会得到什么样的结果？（学生思考）

通过代入我们可以发现不等式变为即同学们在这里要注意、 

3、这个不等式我们称为基本不等式

定理：如果、，那么（当且仅当时等号成立）

 说明：1、我们称的算术平均数，称的几何平均数，

       2、 定理文字叙述：  两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数；

       3、公式变形式：如果、 那么

                      如果、 那么

例1　已知，当取什么值时，的值最小？最小值是多少？

解：  

由基本不等式（)知

当且仅当，即时取“=”

故时，的值最小，最小值是18.

练习：已知，当取什么值时，的最小？最小值是多少？

解：  

由基本不等式（)知

当且仅当，即 ， （舍去）时取“=”

故时，的值最小，最小值是2.

例2：一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

   分析：矩形菜园的周长是确定的，长和宽没有确定。如果长和宽确定了，矩形菜园的面积也就确定了，因此我们要解决的问题是：当周长确定时，长和宽取什么值时篱笆围成的面积最大？

解：设矩形菜园的长为，宽为，则，，矩形菜园的面积为

        由

        可得       

        当且仅当，即，（舍去） 时，等号成立。

  因此，这个矩形的长、宽都为9时，菜园的面积最大，最大面积81

练习：已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各多少时，两条直角边的和   

      最小，最小值是多少？

解：设两条直角边的长分别为，则

当且仅当时，即时取“=”.

此时两条直角边的和最小，最小值为20.

（1）用基本不等式 求函数的最大、最小值。

 （2）在掌握基本不等式后，一定要注意成立的条件以及等号成立的条件，注意对当且仅当的理解。

 （3）利用基本不等式来解题时，要学会审题及根据题意列出函数表达式,要懂得利用基本不等式来求最大（小）值

   习题3.4，A组，1、2

当且仅当 时等号成立

3.4　基本不等式

3.4　基本不等式

问题1:若 ，则代数式 有何大小关系？

提示：

    上述结论中，“=”号何时成立？

提示：当且仅当 时成立。

1、重要不等式

对于任意实数、，都有，（当且仅当时，等号成立）

注：指出定理适用范围：

2、提问：如果、，我们用、分别代替中的、，那么会得到什么样的结果？（学生思考）

通过代入我们可以发现不等式变为即同学们在这里要注意、 

3、这个不等式我们称为基本不等式

定理：如果、，那么（当且仅当时等号成立）

 说明：1、我们称的算术平均数，称的几何平均数，

       2、 定理文字叙述：  两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数；

       3、公式变形式：如果、 那么

                      如果、 那么

例1　已知，当取什么值时，的值最小？最小值是多少？

解：  

由基本不等式（)知

当且仅当，即时取“=”

故时，的值最小，最小值是18.

练习：已知，当取什么值时，的最小？最小值是多少？

解：  

由基本不等式（)知

当且仅当，即 ， （舍去）时取“=”

故时，的值最小，最小值是2.

例2：一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

   分析：矩形菜园的周长是确定的，长和宽没有确定。如果长和宽确定了，矩形菜园的面积也就确定了，因此我们要解决的问题是：当周长确定时，长和宽取什么值时篱笆围成的面积最大？

解：设矩形菜园的长为，宽为，则，，矩形菜园的面积为

        由

        可得       

        当且仅当，即，（舍去） 时，等号成立。

  因此，这个矩形的长、宽都为9时，菜园的面积最大，最大面积81

练习：已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各多少时，两条直角边的和   

      最小，最小值是多少？

解：设两条直角边的长分别为，则

当且仅当时，即时取“=”.

此时两条直角边的和最小，最小值为20.

（1）用基本不等式 求函数的最大、最小值。

 （2）在掌握基本不等式后，一定要注意成立的条件以及等号成立的条件，注意对当且仅当的理解。

 （3）利用基本不等式来解题时，要学会审题及根据题意列出函数表达式,要懂得利用基本不等式来求最大（小）值

   习题3.4，A组，1、2

当且仅当 时等号成立

• 优点:

  教学思路清晰，教学目标明确。

• 缺点:

  教案中有个别符号遗漏。