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共1课时
3.4 基本不等式：√ab≤(a… 高中数学 人教A版2003课标版 1教学目标（1）通过回顾铺垫环节，学生进一步明确由重要不等式推出基本不等式的证明过程，奠定基本不等式应用的知识基础； （2）通过例1及变式的思维探究，学生进一步深刻领会基本不等式 ，会应用基本不等式及其变形公式证明不等式； （3）通过例2及变式的思维探究，学生会应用基本不等式熟练求某些函数的最值，说出取等号时的条件； （4）通过对证明不等式和求函数最值中的变换方法与技巧的学习，学生充分领悟转化思想在学习中存在的普遍价值； 本节内容是人教版高中数学必修5中第三章第4节第2课时的内容，在前面学习了基本不等式的证明和初步理解之后，避免应用函数求最值（或取值范围）的繁琐，直接运用基本不等式求最值，进一步加深对基本不等式的认识，让学生进一步体会基本不等式的重要性，领悟不等式证明的基本思路、方法，提高逻辑推理论证能力。 本节课的教学重点确定为：能灵活利用基本不等式及其变式证明不等式和解决有关求最值问题； 3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2 课时设计 课堂实录3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2 1二、教学简录 1.回顾铺垫 （1）重要不等式： ，当且仅当__________时，取得“＝”号. （2）基本不等式：若 ，则____________,当且仅当__________时，取得“＝”. 强调：①用基本不等式求最值时注意三个条件：“一正、二定、三相等”. ②用基本不等式 求最大（小）值的步骤. 2.课前热身 （1） 则下列不等式中最大的是（ ） A． B． C． D． （2）函数 的值域是（ ） A. B. C. R D. （3）已知 ， ，则 的最大值为___，取最大值时 . 3.分类精析 类型1 利用基本不等式证明不等式 例1 已知m＞0,求证 . 【思维切入】因为m＞0,所以可把 和 分别看作基本不等式中的a和b, 直接利用基本不等式. 【证明】因为m＞0,，由基本不等式得 当且仅当 = ，即m=2时，取等号. 规律技巧总结 注意：m＞0这一前提条件和 =144为定值的前提条件. 思维探究： 求证： . 【思维切入】 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边 .这样变形后，在用基本不等式即可得证. 【证明】 当且仅当 =a－3即a=5时,等号成立. 规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式. 类型2 利用基本不等式求最值 例2. (1) 若x＞0,求 的最小值； (2)若x＜0,求 的最大值. 【思维切入】本题(1)x＞0和 =36两个前提条件；(2)中 ,可以用 来转化. 解： 因为 x＞0 由基本不等式得 ,当且仅当 即x= 时, 取最小值12. (2)因为 , 所以 , 由基本不等式得： , 所以 . 当且仅当 即x=－ 时, 取得最大 . 规律技巧总结：利用基本不等式求最值时，各项必须为正数，若为负数,则添负号变正. 思维探究：若 ，且 +4 － =0求 ① 的最小值, ② 的最大值. 解： ①法一：由 +4 － ＝0 代入 中，得： ＝ ， 当且仅当 时，取“＝”，（ 解②：由 +4 ＝ ，两边平方得： 当且仅当 . 规律技巧总结 ：关于求两个相关变量的代数式的最值问题，运用整体思想，应用基本不等式的手段的技巧，要注重对条件等式的灵活变形及基本不等式的应用条件. 4.小试身手 (1)设 的最小值是（ ） A、0 B、 C、 D、 (2)已知x＞1，y＞1，且lgx+lgy＝4，则lgxlgy的最大值是（ ） A.4 B.2? C.1 D. (3)下列函数中最小值为2的是（ ） A. B. C. D. (4) 当x= 时，函数y=2x(3－2x),(0＜x＜ )有最大值，最大值等于 ； 当x= 时，函数y= x (3－2x),(0＜x＜ )有最大值，最大值等于 . (5)已知a,b,c∈R+ 且a+b+c=1求证： ( －1)( －1)( －1) 8. 5.归纳反思 本节课我们灵活利用基本不等式及其变式解决有关证明和求最值问题.在用基本不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：“一正二定三取等”. 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，创设应用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立. 6.课外提高 ⑴设 （ ） A、50 B、20 C、1＋lg5 D、1 ⑵已知 （ ） A、 B、 C、 D、 ⑶若 ，则下列不等式成立的是（ ） A、R＜P＜Q B、P＜Q＜R C、Q＜P＜R D、P＜R＜Q ⑷若实数 取得最小值为__________; ⑸若正数a,b满足ab＝a+b+3，则ab的取值范围是 ; ⑹已知 ，求 的最小值及此时的x，y的值; ⑺已知a,b,c∈R+ 且a+b+c=1求证： 证明： 二、教学简录 1.回顾铺垫 （1）重要不等式： ，当且仅当__________时，取得“＝”号. （2）基本不等式：若 ，则____________,当且仅当__________时，取得“＝”. 强调：①用基本不等式求最值时注意三个条件：“一正、二定、三相等”. ②用基本不等式 求最大（小）值的步骤. 2.课前热身 （1） 则下列不等式中最大的是（ ） A． B． C． D． （2）函数 的值域是（ ） A. B. C. R D. （3）已知 ， ，则 的最大值为___，取最大值时 . 3.分类精析 类型1 利用基本不等式证明不等式 例1 已知m＞0,求证 . 【思维切入】因为m＞0,所以可把 和 分别看作基本不等式中的a和b, 直接利用基本不等式. 【证明】因为m＞0,，由基本不等式得 当且仅当 = ，即m=2时，取等号. 规律技巧总结 注意：m＞0这一前提条件和 =144为定值的前提条件. 思维探究： 求证： . 【思维切入】 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边 .这样变形后，在用基本不等式即可得证. 【证明】 当且仅当 =a－3即a=5时,等号成立. 规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式. 类型2 利用基本不等式求最值 例2. (1) 若x＞0,求 的最小值； (2)若x＜0,求 的最大值. 【思维切入】本题(1)x＞0和 =36两个前提条件；(2)中 ,可以用 来转化. 解： 因为 x＞0 由基本不等式得 ,当且仅当 即x= 时, 取最小值12. (2)因为 , 所以 , 由基本不等式得： , 所以 . 当且仅当 即x=－ 时, 取得最大 . 规律技巧总结：利用基本不等式求最值时，各项必须为正数，若为负数,则添负号变正. 思维探究：若 ，且 +4 － =0求 ① 的最小值, ② 的最大值. 解： ①法一：由 +4 － ＝0 代入 中，得： ＝ ， 当且仅当 时，取“＝”，（ 解②：由 +4 ＝ ，两边平方得： 当且仅当 . 规律技巧总结 ：关于求两个相关变量的代数式的最值问题，运用整体思想，应用基本不等式的手段的技巧，要注重对条件等式的灵活变形及基本不等式的应用条件. 4.小试身手 (1)设 的最小值是（ ） A、0 B、 C、 D、 (2)已知x＞1，y＞1，且lgx+lgy＝4，则lgxlgy的最大值是（ ） A.4 B.2? C.1 D. (3)下列函数中最小值为2的是（ ） A. B. C. D. (4) 当x= 时，函数y=2x(3－2x),(0＜x＜ )有最大值，最大值等于 ； 当x= 时，函数y= x (3－2x),(0＜x＜ )有最大值，最大值等于 . (5)已知a,b,c∈R+ 且a+b+c=1求证： ( －1)( －1)( －1) 8. 5.归纳反思 本节课我们灵活利用基本不等式及其变式解决有关证明和求最值问题.在用基本不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：“一正二定三取等”. 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，创设应用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立. 6.课外提高 ⑴设 （ ） A、50 B、20 C、1＋lg5 D、1 ⑵已知 （ ） A、 B、 C、 D、 ⑶若 ，则下列不等式成立的是（ ） A、R＜P＜Q B、P＜Q＜R C、Q＜P＜R D、P＜R＜Q ⑷若实数 取得最小值为__________; ⑸若正数a,b满足ab＝a+b+3，则ab的取值范围是 ; ⑹已知 ，求 的最小值及此时的x，y的值; ⑺已知a,b,c∈R+ 且a+b+c=1求证： 证明： 第一学时 教学活动Tags：基本,不等式,ab,a+b,教学
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