3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2教案设计

3.4 基本不等式：√ab≤(a… 高中数学       人教A版2003课标版

（1）知识与技能

        ①从不同角度探索基本不等式，理解基本不等式；

②会用基本不等式解决简单的最值问题.

（2）过程与方法

      ①借助第24届国际数学大会会标图形， 通过操作、观察、抽象、概括学会从不同角度探索基本不等式,明确其简单应用；

 ②渗透“数形结合”与“化归”思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力.

（3）情感、态度与价值观

通过自主探究活动,获得发现的成就感, 激发对数学的积极情感,培养创新意识和严谨的科学精神.

从不同角度探索基本不等式，理解基本不等式.掌握基本不等式，会用基本不等式求最大值和最小值.

用基本不等式求最大值和最小值.

（一）借助第24届国际数学大会会标图形观察研究其中的不等关系

设计意图： 以趣引思，激发学生发现新知的欲望，让学生对赵爽及赵爽弦图记忆深刻，并为探究基本不等式作好铺垫.

（二）数形结合，探究基本不等式

1. 问题引导 得到重要不等式

问题2：如果设直角三角形的两条直角边分别为a、b.  

你能用a、b来表示正方形ABCD的面积与四个全等的直角三角形的面积和吗？

问题3：正方形ABCD的面积与四个全等的直角三角形的面积和之间有怎样的大小关系呢？

通过这两个简单的问题，学生很快得到正方形的面积大于四个直角三角形的面积和，但对于等号是否成立还有疑惑，所以我利用多媒体进行动画演示，对为什么当且仅当a=b时取等号给出了直观的解释. 并且让学生用代数的方法来证明这个不等式. 从而得到本节课的第一个结论.

由学生自己拼成的“弦图”出发，由“形”及“数”，得到了重要不等式，并且用之前学过的“作差法”证明了这个不等式，体验了成功的喜悦，同时也体现了数与形的完美结合.

2. 思考深入 得到基本不等式

思考：如果当a>0,b>0时能得到什么结论呢？学生很快得到答案，从而得到本节课的第二个结论：

设计意图：

通过替换，由重要不等式得到了本节课的主要内容：基本不等式. 引导学生体验数学结论的

探究过程，通过对基本不等式定理的产生过程的学习使学生理解数学是自然的，且是严密的.

3. 几何探究解释基本不等式

1. 如图, AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,

BC=b, 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD.

则半径OD =______, 半弦CD =______.

2. 比较CD与OD的大小.

这个环节是通过“半弦≤半径”这一几何背景来解释基本不等式.

设计意图：

通过几何背景，探索基本不等式，运用动画演示，对基本不等式给出更直观的几何解释.

例题. 用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园, 问该矩形的  

长、宽各为多少时, 所用篱笆最短，最短的篱笆是多少?

变式. 一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的   

长、宽各为多少时, 菜园的面积最大. 最大面积是多少？

这是课本的例题，我作了板演示范，分析当涉及到两个正数的和与积时，可以试图采用基本不等式解决.并对基本不等式进行变形，明确两个正数积为定值时，和有最小值，当然前提是等号必须能够取到.

对于变式，让学生上台板演，同样对基本不等式进行变形，明确两个正数和为定值时，积有最大值，并检验等号能否取到.

设计意图：

从教材编排角度讲是在理解了基本不等式之后的一个简单的应用. 引导学生将问题的文字语言转化为数学语言，然后根据数学语言的结构特点灵活运用基本不等式.

（四）熟练应用，加深理解不等式

设计两个练习及变式是在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生进一步加深对基本不等式的理解，深刻体会应用基本不等式求最值时的条件和方法，培养学生的发散和创新思维.充分认识基本不等式的使用价值.

   总结：

1．这堂课你有哪些收获？

2.  应用基本不等式要注意哪些问题

3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2

3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2

（1）知识与技能

        ①从不同角度探索基本不等式，理解基本不等式；

②会用基本不等式解决简单的最值问题.

（2）过程与方法

      ①借助第24届国际数学大会会标图形， 通过操作、观察、抽象、概括学会从不同角度探索基本不等式,明确其简单应用；

 ②渗透“数形结合”与“化归”思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力.

（3）情感、态度与价值观

通过自主探究活动,获得发现的成就感, 激发对数学的积极情感,培养创新意识和严谨的科学精神.

从不同角度探索基本不等式，理解基本不等式.掌握基本不等式，会用基本不等式求最大值和最小值.

用基本不等式求最大值和最小值.

（一）借助第24届国际数学大会会标图形观察研究其中的不等关系

设计意图： 以趣引思，激发学生发现新知的欲望，让学生对赵爽及赵爽弦图记忆深刻，并为探究基本不等式作好铺垫.

（二）数形结合，探究基本不等式

1. 问题引导 得到重要不等式

问题2：如果设直角三角形的两条直角边分别为a、b.  

你能用a、b来表示正方形ABCD的面积与四个全等的直角三角形的面积和吗？

问题3：正方形ABCD的面积与四个全等的直角三角形的面积和之间有怎样的大小关系呢？

通过这两个简单的问题，学生很快得到正方形的面积大于四个直角三角形的面积和，但对于等号是否成立还有疑惑，所以我利用多媒体进行动画演示，对为什么当且仅当a=b时取等号给出了直观的解释. 并且让学生用代数的方法来证明这个不等式. 从而得到本节课的第一个结论.

由学生自己拼成的“弦图”出发，由“形”及“数”，得到了重要不等式，并且用之前学过的“作差法”证明了这个不等式，体验了成功的喜悦，同时也体现了数与形的完美结合.

2. 思考深入 得到基本不等式

思考：如果当a>0,b>0时能得到什么结论呢？学生很快得到答案，从而得到本节课的第二个结论：

设计意图：

通过替换，由重要不等式得到了本节课的主要内容：基本不等式. 引导学生体验数学结论的

探究过程，通过对基本不等式定理的产生过程的学习使学生理解数学是自然的，且是严密的.

3. 几何探究解释基本不等式

1. 如图, AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,

BC=b, 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD.

则半径OD =______, 半弦CD =______.

2. 比较CD与OD的大小.

这个环节是通过“半弦≤半径”这一几何背景来解释基本不等式.

设计意图：

通过几何背景，探索基本不等式，运用动画演示，对基本不等式给出更直观的几何解释.

例题. 用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园, 问该矩形的  

长、宽各为多少时, 所用篱笆最短，最短的篱笆是多少?

变式. 一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的   

长、宽各为多少时, 菜园的面积最大. 最大面积是多少？

这是课本的例题，我作了板演示范，分析当涉及到两个正数的和与积时，可以试图采用基本不等式解决.并对基本不等式进行变形，明确两个正数积为定值时，和有最小值，当然前提是等号必须能够取到.

对于变式，让学生上台板演，同样对基本不等式进行变形，明确两个正数和为定值时，积有最大值，并检验等号能否取到.

设计意图：

从教材编排角度讲是在理解了基本不等式之后的一个简单的应用. 引导学生将问题的文字语言转化为数学语言，然后根据数学语言的结构特点灵活运用基本不等式.

（四）熟练应用，加深理解不等式

设计两个练习及变式是在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生进一步加深对基本不等式的理解，深刻体会应用基本不等式求最值时的条件和方法，培养学生的发散和创新思维.充分认识基本不等式的使用价值.

   总结：

1．这堂课你有哪些收获？

2.  应用基本不等式要注意哪些问题