3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2主要内容及教案内容

日期:2016-1-6 13:05 阅读:

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3.4 基本不等式：√ab≤(a… 高中数学人教A版2003课标版

1教学目标 2学情分析 3重点难点 4教学过程 4.1 第一学时 教学活动 活动1【导入】教学过程

1、设置情境

(投影出图3.4-1)同学们,这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，

大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗?

(通过动态图形观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，得到一个不

等式 .)

图3.4-2

问题:什么时候这两部分面积相等呢？

2、新课讲授

提问4：你能给出上面不等式的证明吗？

(学生尝试证明后口答,老师板书)

证明:

所以

注意强调当且仅当时,

（1）（板书）一般地，对于任意实数、，我们有，当且仅当时，等号成立。

(2)特别地,如果 ,也可写成

,(板书) 引导学生利用不等式的性质推导

要证: ①

即证 ②

要证②,只要证 ③

要证③,只要证 ( - ) ④

图3.4-3

显然, ④是成立的,当且仅当时, ④的等号成立

(3)通过动态图形观察图3.4-3,得到基本不等式的几何解释

3.应用举例

例1、（1）用篱笆围一个面积为100 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值

（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大

解：（1）设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则篱笆的长为2（）m

由，

可得

2（）

等号当且仅当，因此，这个矩形的长、宽为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m

(2)设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则2（）=36， =18，矩形菜园的面积为，

由可得 ,

可得等号当且仅当

因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81

4.课堂练习

1.若正数m,n满足m+n=6,则mn有最值 ,此时m= ,n=

2.已知x>0,当x取什么值, 的值最小? 最小值是多少?

5.归纳总结

(1). 两个不等式

(2). 利用基本不等式求最值

①积定和最小，和定积最大。

②求最值时应注意的三个条件 “一正，二定，三相等”

6.作业:课本P100 习题3.4 A组第2、3题

3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2

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