3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2优质课教案设计

3.4　基本不等式：√ab≤(… 高中数学       人教A版2003课标版

知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解它的几何意义，并掌握定理使用的限制和等号取到的条件。

过程与方法：主要利用数形结合的思想，通过实例探究基本不等式。

情感、态度与价值观：通过赵爽弦图的引入，激发学生的民族自豪感；通过基本不等式在求最值上的应用，体会数学来源于生活，反馈于生活，提高学生学学习数学的兴趣。

    在初中阶段，学生学习了平方、开方、完全平方、圆、射影定理等概念，高中阶段学生学习了基本初等函数及其性质，加上刚学过的不等关系与不等式的性质，学生对不等式有了初步的了解和应用。但本节内容，变换灵活，应用广泛，条件有限制，考查了学生数形结合、化归等数学思想；对学生能灵活应用数学知识解决实际问题要求较高，是教育学生学好数学与用好数学的好素材。

教学重点：应用数形结合的思想，从不同角度探索基本不等式的证明。并应用不等式解决简章的求最值的问题。

教学难点：应用数形结合的思想理解不等式，并掌握不等式应用的前提条件和等号成立的条件。

回顾复习前面所说的不等式的有关内容，及一般不等式的解法。提出如： 这样的问题。对于分式函数，学生可能会尝试刚学过的“ ”求分式函数的最值。可是这里定义域有范围，不适合用“ ”法来求解。（人教版教材没有涉及到“√”函数，此时导数还没有学到。），构造认知冲突，激发学生的学习兴趣。

图1   图2

先从图1引入初中学习过的完全平方公式 ，然后通过让学生观察图2，比较大正方形面积与四个小矩形的面积得到 。

【设计意图：用一个简单的实例，引导学生学会从几何图形向代数表达式的转化，激发学生对学习新知的兴趣和期待。】

图3

在图3中，AB是圆O的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD、OD。易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB

即半弦

圆的半径 。即

其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.

几何解释:半弦不大于半径

【设计意图：引导学生从具体问题中抽象出数学模型。学生从上面“图”向“形”的转化，照猫画虎，由此激发学生的学习兴趣。】

接下来，结合前面所学的数列的知识，大家不难发现，基本不等式 的两边分别为某两个正数的等差中项和等比中项。由此向大家发问，能不能尝试用数列的知识来证明基本不等式？

待学生思考、讨论、归纳后，给出下面的证明：

另外，可建立一个物理模型来解释基本不等式。

图4

如图4，设质点A与质点B分别做直线运动，其中质点A作匀速运动，质点B作变加速运动。且随着时间的变化，质点B的位移按照等比数列变化，公比为常数。即每经过一个相等的时间间隔，位移都增加到前一个位移的相同的倍数。则质点B的运动规律满足 设在时刻 ，质点A和B的位移大小都是 ，而在时刻 时，质点A和B的位移大小都是 。上面模型的物理意义即为：若将 等分成 段，则从时刻 开始，每经过一个相同的时间段，质点A总是位于质点B的前面.对应于 的情形即为:在两个时刻的中点 ，质点A和B的位移大小分别是

事实上，这个大小关系是很直观的.因为质点B是作变加速运动的，所以它在前半段时间的平均速度小于后半段的平均速度，前半段时间所走过的距离必小于后半段所走过的距离，即在时间中点，质点B没有到达位移中点.

【学情预设：数与形的结合，及实际问题。】 

总结结论：

注意使用条件：一正二定三相等。及常用公式变形： 。（或不等式链）

1.

2.

3.

4.

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

回顾复习前面所说的不等式的有关内容，及一般不等式的解法。提出如： 这样的问题。对于分式函数，学生可能会尝试刚学过的“ ”求分式函数的最值。可是这里定义域有范围，不适合用“ ”法来求解。（人教版教材没有涉及到“√”函数，此时导数还没有学到。），构造认知冲突，激发学生的学习兴趣。

图1   图2

先从图1引入初中学习过的完全平方公式 ，然后通过让学生观察图2，比较大正方形面积与四个小矩形的面积得到 。

【设计意图：用一个简单的实例，引导学生学会从几何图形向代数表达式的转化，激发学生对学习新知的兴趣和期待。】

图3

在图3中，AB是圆O的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD、OD。易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB

即半弦

圆的半径 。即

其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.

几何解释:半弦不大于半径

【设计意图：引导学生从具体问题中抽象出数学模型。学生从上面“图”向“形”的转化，照猫画虎，由此激发学生的学习兴趣。】

接下来，结合前面所学的数列的知识，大家不难发现，基本不等式 的两边分别为某两个正数的等差中项和等比中项。由此向大家发问，能不能尝试用数列的知识来证明基本不等式？

待学生思考、讨论、归纳后，给出下面的证明：

另外，可建立一个物理模型来解释基本不等式。

图4

如图4，设质点A与质点B分别做直线运动，其中质点A作匀速运动，质点B作变加速运动。且随着时间的变化，质点B的位移按照等比数列变化，公比为常数。即每经过一个相等的时间间隔，位移都增加到前一个位移的相同的倍数。则质点B的运动规律满足 设在时刻 ，质点A和B的位移大小都是 ，而在时刻 时，质点A和B的位移大小都是 。上面模型的物理意义即为：若将 等分成 段，则从时刻 开始，每经过一个相同的时间段，质点A总是位于质点B的前面.对应于 的情形即为:在两个时刻的中点 ，质点A和B的位移大小分别是

事实上，这个大小关系是很直观的.因为质点B是作变加速运动的，所以它在前半段时间的平均速度小于后半段的平均速度，前半段时间所走过的距离必小于后半段所走过的距离，即在时间中点，质点B没有到达位移中点.

【学情预设：数与形的结合，及实际问题。】 

总结结论：

注意使用条件：一正二定三相等。及常用公式变形： 。（或不等式链）

1.

2.

3.

4.

• 优点:

  打的公式白打了，

• 缺点:

  保存的时候网页没反应。