3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2教案和学案内容

3.4　基本不等式：√ab≤(… 高中数学       人教A版2003课标版

利用三国时期东吴的数学家赵爽的弦图和国际数学家大会的会标激发学生学习的兴趣和热情，通过实例、观察、归纳、抽象、总结出基本不等式；共同探讨基本不等式的几何意义；然后再从代数的角度给予基本不等式的证明。进一步学习数形结合的数学思想，特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对基本不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。

1.创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；?

2.尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；?

3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件.??

在初中阶段，学生学习了平方、开方、勾股定理、圆、射影定理等概念，高中阶段学生学习了基本初等函数及其性质，加上刚学过的不等关系与不等式的性质，学生对不等式有了初步的了解和应用。但本节内容，变换灵活，应用广泛，条件有限制，考查了学生数形结合、转化化归等数学思想；对学生能灵活应用数学知识解决实际问题的要求较高，在实际问题的解决中应用广泛，是教育学生学好数学和用好数学的好素材。

1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；?

2.从不同角度探索基本不等式的证明过程；?

3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路.?

教学难点 1.对基本不等式从不同角度的探索证明；?

2.通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路.?

导入新课

探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?

（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）??

推进新课

师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？?

（沉静片刻）?

生 应该先从此图案中抽象出几何图形.?

师 此图案中隐含什么样的几何图形呢？哪位同学能在黑板上画出这个几何图形？?

（请两位同学在黑板上画.教师根据两位同学的板演作点评）?

（其中四个直角三角形没有画全等，不形象、直观.此时教师用投影片给出隐含的规范的几何图形）?

师 同学们观察得很细致，抽象出的几何图形比较准确.这说明，我们只要在现有的基础上进一步刻苦努力，发奋图强，也能作出和数学家赵爽一样的成绩.?

（此时，每一位同学看上去都精神饱满，信心百倍，全神贯注地投入到本节课的学习中来）

［过程引导］?

师 设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？?

生 显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和.?

师 一定吗？?

（大家齐声：不一定，有可能相等）?

师 同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？

生 每个直角三角形的面积为 ，四个直角三角形的面积之和为2ab.正方形的边长为 ，所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b2≥2ab.?

师 这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a2+b2≥2ab证明了吗？?

生 没有，他仍是由我们刚才的直观所得，只是用字母表达一下而已.?

师 回答得很好.?

（有的同学感到迷惑不解）?

师 这样的叙述不能代替证明.这是同学们在解题时经常会犯的错误.实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明.?

（有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明）?

师 请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab.?

生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab.?

师 同学们思考一下，这位同学的证明是否正确？?

生 正确.?

［教师精讲］?

师 这位同学的证明思路很好.今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样.?

生 实质一样，只是设问的形式不同而已.一个是比较大小，一个是让我们去证明.?

师 这位同学回答得很好，思维很深刻.此处的比较法是用差和0作比较.在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法”.?

（教师此处的设问是针对学生已有的知识结构而言）?

生 作商，用商和“1”比较大小.?

师 对.那么我们在遇到这类问题时，何时采用作差，何时采用作商呢？这个问题让同学们课后去思考，在解决问题中自然会遇到.?

（此处设置疑问，意在激发学生课后去自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）?

［合作探究］?

师 请同学们再仔细观察一下，等号何时取到.?

生 当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号.?

（学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教师应及时点拨）?

师 从不等式a2+b2≥2ab的证明过程能否去说明.?

生 当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号.?

师 这位同学回答得很好.请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致.?

（大家齐声）一致.?

（此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用.就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用）?

板书：?

一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.

［过程引导］?

师 这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延.只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错.?

（同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b2≥2ab中得出什么.此时，教师应及时点拨、指引）?

师 当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b.?

生 完全可以.?

师 为什么？?

生 因为不等式中的a、b∈R.?

师 很好，我们来看一下代替后的结果.

板书：?

即  (a＞0,b＞0).

师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把 叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.?

（此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解）?

师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？?

（此时，同学们信心十足，都说能.教师利用投影片展示推导过程的填空形式）?

要证： ，①?

只要证a+b≥2 ，②?

要证②，只要证：a+b-2 ≥0，③?

要证③，只要证： ④?

显然④是成立的，当且仅当a=b时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式.?

（此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度）

［合作探究］?

老师用投影仪给出下列问题.?

如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？?

（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础）?

［合作探究］?

师 同学们能找出图中与a、b有关的线段吗？?

生 可证△ACD ∽△BCD,所以可得 .?

生 由射影定理也可得 .?

师 这两位同学回答得都很好，那ab与 分别又有什么几何意义呢？?

生 表示半弦长， 表示半径长.?

师 半径和半弦又有什么关系呢？?

生 由半径大于半弦可得 .?

师 这位同学回答得是否很严密？?

生 当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时可取等号，所以也可得出基本不等式  (a＞0,b＞0).??

课堂小结?

师 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？?

生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a2+b2≥2ab.?

生 由a2+b2≥2ab,当a＞0，b＞0时，以 、 分别代替a、b，得到了基本不等式  (a＞0,b＞0).进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式.?

生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式.?

（此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高）?

师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式.并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0，及当且仅当a=b时等号成立.在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法.以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用.??

布置作业

活动与探究：已知a、b都是正数，试探索 ,  , , 的大小关系，并证明你的结论.?

分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表达式的大小关系，再由不等式及实数的性质证明.?

（方法二）创设几何直观情景.设AC=a,BC=b，用a、b表示线段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的长度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得.??

板书设计

基本不等式 的证明?

一、实际情景引入得到重要不等式　　　　　　课时小结?

a2＋b2≥2ab?

二、定理?

若a＞0，b＞0，课后作业?

则 ?

证明过程探索：??

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

导入新课

探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?

（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）??

推进新课

师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？?

（沉静片刻）?

生 应该先从此图案中抽象出几何图形.?

师 此图案中隐含什么样的几何图形呢？哪位同学能在黑板上画出这个几何图形？?

（请两位同学在黑板上画.教师根据两位同学的板演作点评）?

（其中四个直角三角形没有画全等，不形象、直观.此时教师用投影片给出隐含的规范的几何图形）?

师 同学们观察得很细致，抽象出的几何图形比较准确.这说明，我们只要在现有的基础上进一步刻苦努力，发奋图强，也能作出和数学家赵爽一样的成绩.?

（此时，每一位同学看上去都精神饱满，信心百倍，全神贯注地投入到本节课的学习中来）

［过程引导］?

师 设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？?

生 显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和.?

师 一定吗？?

（大家齐声：不一定，有可能相等）?

师 同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？

生 每个直角三角形的面积为 ，四个直角三角形的面积之和为2ab.正方形的边长为 ，所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b2≥2ab.?

师 这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a2+b2≥2ab证明了吗？?

生 没有，他仍是由我们刚才的直观所得，只是用字母表达一下而已.?

师 回答得很好.?

（有的同学感到迷惑不解）?

师 这样的叙述不能代替证明.这是同学们在解题时经常会犯的错误.实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明.?

（有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明）?

师 请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab.?

生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab.?

师 同学们思考一下，这位同学的证明是否正确？?

生 正确.?

［教师精讲］?

师 这位同学的证明思路很好.今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样.?

生 实质一样，只是设问的形式不同而已.一个是比较大小，一个是让我们去证明.?

师 这位同学回答得很好，思维很深刻.此处的比较法是用差和0作比较.在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法”.?

（教师此处的设问是针对学生已有的知识结构而言）?

生 作商，用商和“1”比较大小.?

师 对.那么我们在遇到这类问题时，何时采用作差，何时采用作商呢？这个问题让同学们课后去思考，在解决问题中自然会遇到.?

（此处设置疑问，意在激发学生课后去自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）?

［合作探究］?

师 请同学们再仔细观察一下，等号何时取到.?

生 当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号.?

（学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教师应及时点拨）?

师 从不等式a2+b2≥2ab的证明过程能否去说明.?

生 当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号.?

师 这位同学回答得很好.请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致.?

（大家齐声）一致.?

（此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用.就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用）?

板书：?

一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.

［过程引导］?

师 这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延.只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错.?

（同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b2≥2ab中得出什么.此时，教师应及时点拨、指引）?

师 当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b.?

生 完全可以.?

师 为什么？?

生 因为不等式中的a、b∈R.?

师 很好，我们来看一下代替后的结果.

板书：?

即  (a＞0,b＞0).

师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把 叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.?

（此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解）?

师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？?

（此时，同学们信心十足，都说能.教师利用投影片展示推导过程的填空形式）?

要证： ，①?

只要证a+b≥2 ，②?

要证②，只要证：a+b-2 ≥0，③?

要证③，只要证： ④?

显然④是成立的，当且仅当a=b时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式.?

（此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度）

［合作探究］?

老师用投影仪给出下列问题.?

如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？?

（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础）?

［合作探究］?

师 同学们能找出图中与a、b有关的线段吗？?

生 可证△ACD ∽△BCD,所以可得 .?

生 由射影定理也可得 .?

师 这两位同学回答得都很好，那ab与 分别又有什么几何意义呢？?

生 表示半弦长， 表示半径长.?

师 半径和半弦又有什么关系呢？?

生 由半径大于半弦可得 .?

师 这位同学回答得是否很严密？?

生 当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时可取等号，所以也可得出基本不等式  (a＞0,b＞0).??

课堂小结?

师 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？?

生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a2+b2≥2ab.?

生 由a2+b2≥2ab,当a＞0，b＞0时，以 、 分别代替a、b，得到了基本不等式  (a＞0,b＞0).进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式.?

生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式.?

（此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高）?

师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式.并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0，及当且仅当a=b时等号成立.在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法.以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用.??

布置作业

活动与探究：已知a、b都是正数，试探索 ,  , , 的大小关系，并证明你的结论.?

分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表达式的大小关系，再由不等式及实数的性质证明.?

（方法二）创设几何直观情景.设AC=a,BC=b，用a、b表示线段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的长度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得.??

板书设计

基本不等式 的证明?

一、实际情景引入得到重要不等式　　　　　　课时小结?

a2＋b2≥2ab?

二、定理?

若a＞0，b＞0，课后作业?

则 ?

证明过程探索：??