3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2全国优秀课堂实录

3.4　基本不等式：√ab≤(… 高中数学       人教A版2003课标版

1、知识与能力目标：掌握基本不等式，并能应用基本不等式解决一些简单的求最值问题，学会构造条件使用基本不等式。

2、过程与方法目标：等式求最值问题解题策略的构建过程；体会习题的改编过程.

3、情感态度与价值观目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来， 培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界。通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯；通过变式练习，逐步培养学生的探索研究精神。

学生在之前接触过一些不等式，但对于基本不等式一无所知，它是求最值问题中的一种很重要的方法。在学习过程中，学生很容易忽视“一正、二定、三相等”的应用条件，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式，这种类型让学生解决起来有一定的困难。所以在设计此课时，本人结合学生的实际情况，突出重难点及易错点，力求在学生的学习过程中，逐步启发、引导学生自主探究学习、小组合作学习，提高教学效率。

重点：分别从代数和几何意义上探索基本不等式的证明过程，以及基本不等式在解决最值问题中的应用.

难点：

利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下采用函数的单调性求解最值；
基本不等式三个限制条件，及应用其求解实际问题中的最大值和最小值。

设计意图：在于利用下图相关面积存在的数量关系，抽象出不等式a²+b²≥ 2ab ，在此基础上从三种不同角度引导学生认识基本不等式 √ab‍‍ ≤ ( a+b)/2。因为数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。所以设置如下情境: 下图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计

颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

教师提问：你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

学生回答：能。（具体答案比较含糊）

下面通过将上图“数学化”进一步得出结论。

分析：如上图，四个三角形是全等的直角三角形，中间是一个小正方形，设三角形两直角边分别为a,b，那么正方形ABCD的边长为√a2+b2‍  。这样四个直角三角形的面积和为2ab，正方形面积为a²+b² 。由于正方形ABCD面积大于四个直角三角形的面积和，我们就得到一个不等式 a2+b2>2ab。

教师提问：在什么条件下，上式变为一个等式？你能给出它的证明吗？

学生回答：能。当直角三角形变成等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，等号成立。

1、一般地，对于任意实数 a,b,有a2+b2≥ 2ab ，当且仅当a＝b时，等号成立。

 特别地，当a>0,b>0时，在式子中，以√a‍  、 √b‍ 分别代替a、b，得到什么？

设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础。

 答案： √ab‍‍≤( a+b)/2(a,b>0)。

2、探究基本不等式证明方法：

教师提问： 如何证明基本不等式？

方法一：作差比较或由(√a‍ -√b‍ )² ‍  ≥ 0  展开证明。

方法二：分析法（完成课本填空）

设计依据：课本是学生了解世界的窗口和工具，所以，课本必须成为学生赖以学会学习的文本.在教学中要让学生学会认真看书、用心思考，养成讲讲议议、动手动笔、仔细观察、用心体会的好习惯，真正学会读“数学书”。

要证( a+b)/2‍≥ √ab‍‍                ①

只要证  a+b  ≥                      ②

要证②,只要证a+b-           ≥0       ③

要证③,只要证(      -       )2 ‍  ≥ 0      ④

显然, ④是成立的。当且仅当a=b时, ④中的等号成立 。

点评：证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法.

类比归纳：我们把 √ab‍‍≤( a+b)/2(a,b>0)称为基本不等式，当且仅当a=b时，等号成立。

1、文字语言叙述：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。其中 ( a+b)/2称为a,b的算术平均数，  √ab‍‍称为a,b的几何平均数。两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。

2、几何证明，相见益彰

设计意图：进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性。

探究2：AB是圆的直径，点C是AB上一点，CD⊥AB，AC=a,CB=b，过点C作垂直于AB的弦，连接AD、BD，你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？

分析： 可证△ACD∽△DCB，因而CD=√ab‍‍， 由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为√ab‍‍≤( a+b)/2。显然，上述不等式当且仅当C与圆心重合，即当a=b时，等号成立。

3、正确理解“当且仅当”

若 a>0,b>0，则有 √ab‍‍≤( a+b)/2，当且仅当a=b时,等号成立 。

教师提问：怎样理解“当且仅当”？

（学生小组讨论，交流看法，师生总结）

分析：“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：

当a=b时，取等号，即a=b ⇒ √ab‍‍=( a+b)/2 ；

仅当a=b时，取等号，即 √ab‍‍=( a+b)/2⇒ a=b。

1、基础梳理

下列命题中正确的是

①对于任意实数a,b，均有 a+b  ≥2 √ab‍‍；

②当 x≥0时，由于1+x²  ≥2x，当且仅当 1=x²时，即x=1时，等号成立。所以函数 的最小值为2；

以上命题均是根据基本不等式的使用条件中的难点和关键处设置的，目的是利用学生原有的平面几何知识，进一步领悟到不等式√ab‍‍≤( a+b)/2 成立的条件 a,b>0 ，及当且仅当 a=b时，等号成立。这些“陷阱”要让学生自己往里跳，然后自己再从中爬出来，完全放手让学生自主探究，老师指导，师生归纳总结。

结论：

若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值；

若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。

简记为：“一正、二定、三相等”。

利用基本不等式求最值问题（建构策略）

设计意图：新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题,不仅极大地增强学生的兴趣，拓宽学生的视野，更重要的是调动学生探究钻研的兴趣，引导学生加强对生活的关注，让学生体会：数学就在我们身边的生活中

(1)在学农期间，生态园中有一块面积为100m2的矩形茶地，为了保护茶叶的健康生长，学校决定用篱笆围起来，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

(2)现在学校仓库有一段长为36m的篱笆，要围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

3、反馈矫正

（1）设 0<x<3/2‍，求函数 y=x(3-2x)的最大值.

（2）设 a,b∈R ，且 a+b=3，则2^a+2^b的最小值是          .

（3） 求 4/(a−2‍) +a的取值范围.①a  ∈R②a≥ 5

说明：反馈矫正可以根据学生课前预习与课堂学习的实际情况调整为课后巩固练习.

1、通过本节课的学习你有什么收获？取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要请教？

设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平。

老师根据情况完善如下：

一个不等式：若 a,b>0，则有 √ab‍‍≤( a+b)/2 ，当且仅当a=b时，等号成立 。

两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。

三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”

2、在教师的引导下由学生总结运用基本不等式解题的方法、技巧并相互补充.

（1）题型回顾：                                                    。

运用基本不等式应注意的问题：

①a,b 必须是    数；  

②积 ab是       值，和a+b才有最      值，和a+b是   值，积ab才有最   值；

③当且仅当       时，等号成立.

即：“ 一正   、二定     、三相等  ”.

利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下应                       求解最值。

（2）易错反思：                                                       。

P100习题3.4 第2题

类比基本不等式，当a,b,c均为正数，猜想会有怎样的不等式？

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

设计意图：在于利用下图相关面积存在的数量关系，抽象出不等式a²+b²≥ 2ab ，在此基础上从三种不同角度引导学生认识基本不等式 √ab‍‍ ≤ ( a+b)/2。因为数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。所以设置如下情境: 下图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计

颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

教师提问：你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

学生回答：能。（具体答案比较含糊）

下面通过将上图“数学化”进一步得出结论。

分析：如上图，四个三角形是全等的直角三角形，中间是一个小正方形，设三角形两直角边分别为a,b，那么正方形ABCD的边长为√a2+b2‍  。这样四个直角三角形的面积和为2ab，正方形面积为a²+b² 。由于正方形ABCD面积大于四个直角三角形的面积和，我们就得到一个不等式 a2+b2>2ab。

教师提问：在什么条件下，上式变为一个等式？你能给出它的证明吗？

学生回答：能。当直角三角形变成等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，等号成立。

1、一般地，对于任意实数 a,b,有a2+b2≥ 2ab ，当且仅当a＝b时，等号成立。

 特别地，当a>0,b>0时，在式子中，以√a‍  、 √b‍ 分别代替a、b，得到什么？

设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础。

 答案： √ab‍‍≤( a+b)/2(a,b>0)。

2、探究基本不等式证明方法：

教师提问： 如何证明基本不等式？

方法一：作差比较或由(√a‍ -√b‍ )² ‍  ≥ 0  展开证明。

方法二：分析法（完成课本填空）

设计依据：课本是学生了解世界的窗口和工具，所以，课本必须成为学生赖以学会学习的文本.在教学中要让学生学会认真看书、用心思考，养成讲讲议议、动手动笔、仔细观察、用心体会的好习惯，真正学会读“数学书”。

要证( a+b)/2‍≥ √ab‍‍                ①

只要证  a+b  ≥                      ②

要证②,只要证a+b-           ≥0       ③

要证③,只要证(      -       )2 ‍  ≥ 0      ④

显然, ④是成立的。当且仅当a=b时, ④中的等号成立 。

点评：证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法.

类比归纳：我们把 √ab‍‍≤( a+b)/2(a,b>0)称为基本不等式，当且仅当a=b时，等号成立。

1、文字语言叙述：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。其中 ( a+b)/2称为a,b的算术平均数，  √ab‍‍称为a,b的几何平均数。两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。

2、几何证明，相见益彰

设计意图：进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性。

探究2：AB是圆的直径，点C是AB上一点，CD⊥AB，AC=a,CB=b，过点C作垂直于AB的弦，连接AD、BD，你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？

分析： 可证△ACD∽△DCB，因而CD=√ab‍‍， 由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为√ab‍‍≤( a+b)/2。显然，上述不等式当且仅当C与圆心重合，即当a=b时，等号成立。

3、正确理解“当且仅当”

若 a>0,b>0，则有 √ab‍‍≤( a+b)/2，当且仅当a=b时,等号成立 。

教师提问：怎样理解“当且仅当”？

（学生小组讨论，交流看法，师生总结）

分析：“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：

当a=b时，取等号，即a=b ⇒ √ab‍‍=( a+b)/2 ；

仅当a=b时，取等号，即 √ab‍‍=( a+b)/2⇒ a=b。

1、基础梳理

下列命题中正确的是

①对于任意实数a,b，均有 a+b  ≥2 √ab‍‍；

②当 x≥0时，由于1+x²  ≥2x，当且仅当 1=x²时，即x=1时，等号成立。所以函数 的最小值为2；

以上命题均是根据基本不等式的使用条件中的难点和关键处设置的，目的是利用学生原有的平面几何知识，进一步领悟到不等式√ab‍‍≤( a+b)/2 成立的条件 a,b>0 ，及当且仅当 a=b时，等号成立。这些“陷阱”要让学生自己往里跳，然后自己再从中爬出来，完全放手让学生自主探究，老师指导，师生归纳总结。

结论：

若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值；

若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。

简记为：“一正、二定、三相等”。

利用基本不等式求最值问题（建构策略）

设计意图：新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题,不仅极大地增强学生的兴趣，拓宽学生的视野，更重要的是调动学生探究钻研的兴趣，引导学生加强对生活的关注，让学生体会：数学就在我们身边的生活中

(1)在学农期间，生态园中有一块面积为100m2的矩形茶地，为了保护茶叶的健康生长，学校决定用篱笆围起来，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

(2)现在学校仓库有一段长为36m的篱笆，要围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

3、反馈矫正

（1）设 0<x<3/2‍，求函数 y=x(3-2x)的最大值.

（2）设 a,b∈R ，且 a+b=3，则2^a+2^b的最小值是          .

（3） 求 4/(a−2‍) +a的取值范围.①a  ∈R②a≥ 5

说明：反馈矫正可以根据学生课前预习与课堂学习的实际情况调整为课后巩固练习.

1、通过本节课的学习你有什么收获？取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要请教？

设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平。

老师根据情况完善如下：

一个不等式：若 a,b>0，则有 √ab‍‍≤( a+b)/2 ，当且仅当a=b时，等号成立 。

两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。

三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”

2、在教师的引导下由学生总结运用基本不等式解题的方法、技巧并相互补充.

（1）题型回顾：                                                    。

运用基本不等式应注意的问题：

①a,b 必须是    数；  

②积 ab是       值，和a+b才有最      值，和a+b是   值，积ab才有最   值；

③当且仅当       时，等号成立.

即：“ 一正   、二定     、三相等  ”.

利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下应                       求解最值。

（2）易错反思：                                                       。

P100习题3.4 第2题

类比基本不等式，当a,b,c均为正数，猜想会有怎样的不等式？