3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2教学实录

3.4　基本不等式：√ab≤(… 高中数学       人教A版2003课标版

一、复习引入：

1．重要不等式：

如果

2．定理：如果a,b是正数，那么

3.我们称 的算术平均数，称 的几何平均数.

成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数 “当且仅当”的含义是充要条件

3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”

以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b 过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么 ，即

这个圆的半径为 ，显然，它不小于CD，即 ，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立

二、讲解新课：

1 公式的等价变形：ab≤ ，ab≤（ ）2

2．  ≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；

3．定理：如果 ，那么 （当且仅当 时取“=”）

证明：∵

∵      ∴上式≥0    从而

指出：这里   若 就不能保证（此公式成立的充要条件为 ）

4．推论：如果 ，那么  （当且仅当 时取“=”）

 证明：

   5．关于“平均数”的概念

如果  则： 叫做这n个正数的算术平均数； 叫做这n个正数的几何平均数

推广：  ≥     

语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等 它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧 今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用

三、讲解范例：

例1 已知 为两两不相等的实数，求证：

证明：∵             

以上三式相加：

∴

例2 已知a,b,c,d都是正数，求证：

分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识

证明：∵a,b,c,d都是正数，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞0

得     

由不等式的性质定理4的推论1，得

即

点评：用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法

例3   某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理

解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

当

因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件

我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章引例中的问题 用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案

四、课堂练习：

1 已知x≠0，当x取什么值时，x2＋ 的值最小?最小值是多少?

分析：注意到x2＋ 是和的形式，再看x2· ＝81为定值，从而可求和的最小值

解：x≠0 x2＞0， ＞0,∴x2＋ ≥2 ＝18，

当且仅当x2＝ ，即x＝±3时取“＝”号

故x=±3时，x2+ 的值最小，其最小值是18

2 一段长为Ｌ m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

分析：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程中要(1)先构造定值，(2)建立函数关系式，(3)验证“＝”号成立，(4)确定正确答案

解法一：设矩形菜园的宽为x　m，则长为（Ｌ－2x）m，其中0＜x＜ ，其面积S＝x（Ｌ－2x）＝ ·2x（Ｌ－2x）≤

当且仅当2x＝Ｌ－2x，即x＝ 时菜园面积最大，即菜园长 m，宽为  m时菜园面积最大为  m2

解法二：设矩形的长为x m，则宽为 m，面积

S＝ ≤ （m2）

当且仅当x＝Ｌ－x，即x＝ （m）时，矩形的面积最大 也就是菜园的长为 m，宽为 m时，菜园的面积最大，最大面积为 m2

3 设0＜x＜2，求函数f(x)= 的最大值，并求出相应的x值

分析：根据均值不等式： ，研究 的最值时，一要考虑3x与８－3x是否为正数；二要考查式子 ［3x＋（８－3x）］是否为定值

解：∵0＜x＜2, ∴3x＞0，８－3x＞0

∴f（x）＝ ≤ ＝4

当且仅当3x＝８－3x时，即x＝ 时取“＝”号

故函数f（x）的最大值为4，此时x＝

五、小结 ：本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其推广的几个重要不等式顺利解决了函数的一些最值问题 在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式或项的积或和为定值；三是确定等号能够成立 只有这样，我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些函数的最值问题

六、课后作业：

1 解答下列各题：

(1)求函数y＝2x2＋ （x＞0）的最小值

(2)求函数y＝x2＋ （x＞0）的最小值

(3)求函数y＝3x2－2x3（0＜x＜ ）的最大值

(4)求函数y＝x（1－x2）（0＜x＜1)的最大值

(5)设a＞0，b＞0，且a2＋ ＝1，求a 的最大值

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

一、复习引入：

1．重要不等式：

如果

2．定理：如果a,b是正数，那么

3.我们称 的算术平均数，称 的几何平均数.

成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数 “当且仅当”的含义是充要条件

3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”

以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b 过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么 ，即

这个圆的半径为 ，显然，它不小于CD，即 ，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立

二、讲解新课：

1 公式的等价变形：ab≤ ，ab≤（ ）2

2．  ≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；

3．定理：如果 ，那么 （当且仅当 时取“=”）

证明：∵

∵      ∴上式≥0    从而

指出：这里   若 就不能保证（此公式成立的充要条件为 ）

4．推论：如果 ，那么  （当且仅当 时取“=”）

 证明：

   5．关于“平均数”的概念

如果  则： 叫做这n个正数的算术平均数； 叫做这n个正数的几何平均数

推广：  ≥     

语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等 它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧 今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用

三、讲解范例：

例1 已知 为两两不相等的实数，求证：

证明：∵             

以上三式相加：

∴

例2 已知a,b,c,d都是正数，求证：

分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识

证明：∵a,b,c,d都是正数，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞0

得     

由不等式的性质定理4的推论1，得

即

点评：用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法

例3   某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理

解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

当

因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件

我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章引例中的问题 用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案

四、课堂练习：

1 已知x≠0，当x取什么值时，x2＋ 的值最小?最小值是多少?

分析：注意到x2＋ 是和的形式，再看x2· ＝81为定值，从而可求和的最小值

解：x≠0 x2＞0， ＞0,∴x2＋ ≥2 ＝18，

当且仅当x2＝ ，即x＝±3时取“＝”号

故x=±3时，x2+ 的值最小，其最小值是18

2 一段长为Ｌ m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

分析：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程中要(1)先构造定值，(2)建立函数关系式，(3)验证“＝”号成立，(4)确定正确答案

解法一：设矩形菜园的宽为x　m，则长为（Ｌ－2x）m，其中0＜x＜ ，其面积S＝x（Ｌ－2x）＝ ·2x（Ｌ－2x）≤

当且仅当2x＝Ｌ－2x，即x＝ 时菜园面积最大，即菜园长 m，宽为  m时菜园面积最大为  m2

解法二：设矩形的长为x m，则宽为 m，面积

S＝ ≤ （m2）

当且仅当x＝Ｌ－x，即x＝ （m）时，矩形的面积最大 也就是菜园的长为 m，宽为 m时，菜园的面积最大，最大面积为 m2

3 设0＜x＜2，求函数f(x)= 的最大值，并求出相应的x值

分析：根据均值不等式： ，研究 的最值时，一要考虑3x与８－3x是否为正数；二要考查式子 ［3x＋（８－3x）］是否为定值

解：∵0＜x＜2, ∴3x＞0，８－3x＞0

∴f（x）＝ ≤ ＝4

当且仅当3x＝８－3x时，即x＝ 时取“＝”号

故函数f（x）的最大值为4，此时x＝

五、小结 ：本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其推广的几个重要不等式顺利解决了函数的一些最值问题 在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式或项的积或和为定值；三是确定等号能够成立 只有这样，我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些函数的最值问题

六、课后作业：

1 解答下列各题：

(1)求函数y＝2x2＋ （x＞0）的最小值

(2)求函数y＝x2＋ （x＞0）的最小值

(3)求函数y＝3x2－2x3（0＜x＜ ）的最大值

(4)求函数y＝x（1－x2）（0＜x＜1)的最大值

(5)设a＞0，b＞0，且a2＋ ＝1，求a 的最大值