3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2课堂实录【1】

3.4　基本不等式：√ab≤(… 高中数学       人教A版2003课标版

学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

§3.4基本不等式  (1)

【学习目标】

学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

【自主学习】看书本97、98页填空

新知探究1：基本不等式 的几何背景：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

将图中的“风车”抽象成如图，

在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为____________.这样，4个直角三角形的面积的和是___________，正方形的面积为_________.由于4个直角三角形的面积______正方形的面积，我们就得到了一个不等式： .

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有_______________

结论：一般的，如果 ，我们有 当且仅当 时，等号成立.

问题1：你能给出上面公式的证明吗？

推论：特别的，如果 ， ，我们用 、 分别代替 、 ，可得 ，

通常我们把上式写作： （请写出证明过程）

新知探究2：理解基本不等式 的几何意义

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式 的几何解释吗？

【合作探究】

探究1.（1）用篱笆围成一个面积为100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

.

探究2. 时，当 取什么值时， 的值最小？最小值是多少？

【当堂检测】

1. 已知x 0，若x＋ 的值最小，则x为（    ）.

A． 81    B． 9    C． 3    D．16

2. 若 ， 且 ，则 、 、 、 中最大的一个是（    ）.

A．    B．    C．    D．

3. 若实数a，b，满足 ，则 的最小值是（    ）.

A．18    B．6      C．      D．

4. 已知x≠0，当x=_____时，x2＋ 的值最小，最小值是________.

5. 做一个体积为32 ，高为2 的长方体纸盒，底面的长为_______，宽为________时，用纸最少.

【小结】小组长总结

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

§3.4基本不等式  (1)

【学习目标】

学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

【自主学习】看书本97、98页填空

新知探究1：基本不等式 的几何背景：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

将图中的“风车”抽象成如图，

在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为____________.这样，4个直角三角形的面积的和是___________，正方形的面积为_________.由于4个直角三角形的面积______正方形的面积，我们就得到了一个不等式： .

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有_______________

结论：一般的，如果 ，我们有 当且仅当 时，等号成立.

问题1：你能给出上面公式的证明吗？

推论：特别的，如果 ， ，我们用 、 分别代替 、 ，可得 ，

通常我们把上式写作： （请写出证明过程）

新知探究2：理解基本不等式 的几何意义

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式 的几何解释吗？

【合作探究】

探究1.（1）用篱笆围成一个面积为100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

.

探究2. 时，当 取什么值时， 的值最小？最小值是多少？

【当堂检测】

1. 已知x 0，若x＋ 的值最小，则x为（    ）.

A． 81    B． 9    C． 3    D．16

2. 若 ， 且 ，则 、 、 、 中最大的一个是（    ）.

A．    B．    C．    D．

3. 若实数a，b，满足 ，则 的最小值是（    ）.

A．18    B．6      C．      D．

4. 已知x≠0，当x=_____时，x2＋ 的值最小，最小值是________.

5. 做一个体积为32 ，高为2 的长方体纸盒，底面的长为_______，宽为________时，用纸最少.

【小结】小组长总结