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共1课时
3.4 基本不等式：√ab≤(… 高中数学 人教A版2003课标版 1教学目标1）知识方法目标 ：会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题。 2）能力目标：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式。 3) 情感态度价值观： 引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。 2学情分析上节课的学习，学生对基本不等式的内容以及形式有一定的了解，并且会用基本不等式求某些简单的函数最大值或最小值；本节课是在上节课的基础上，利用基本不等式解决一些简单的实际应用题，以提高学生的分析问题和解决问题的能力；其中引导学生认真审题建立函数关系式是本节课的关键所在。 3重点难点1）重点：利用基本不等式求函数的最大值、最小值，解决实际应用题。 2）难点：审题、理解应用题中的数量关系，建立函数模型。 4教学过程 4.1 第二学时 教学活动 活动1【导入】1.重要不等式如果a,b∈R ,那么a2+b2≥2ab ( 当且仅当a=b 时等号成立) 活动2【导入】2.基本不等式如果a,b 是正数，那么a+b2 ≥√ab( 当且仅当a=b 时等号成立) 活动3【导入】3.重要不等式与基本不等式成立的条件前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数。 活动4【讲授】例题1的分析与讲解：例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？ （2）段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 解：（1）设矩形菜园的长为xm ，宽为ym ，则xy=100 ，篱笆的长为2(x+y)m 。 由 x+y2 ≥√xy ，可得 x+y≥2√100 ， 即2(x+y)≥40 等号当且仅当x=y 时成立，此时x=y=10 因此，这个矩形的长、宽都为10m 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m .（2）解法一：设矩形菜园的宽为xm ，则长为(18−x)m ，其中0<x<18 ，其面积S=x(18−x)≤(x+18−x2 )2=81 当且仅当x=18−x ，即x=9 时菜园面积最大，即菜园长9m ，宽为9m 时菜园面积最大为81m2 解法二：设矩形菜园的长为xm .,宽为ym ,则2(x+y)=36,x+y=18, ,矩形菜园的面积为xym2 。 由√xy≤x+y2 =182 =9 , 可得 xy≤81 当且仅当x=y ,即x=y=9 时，等号成立。 因此，这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积是81m2 活动5【活动】引导学生归纳结论：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若 a,b∈R+ ，且a+b=M,M 为定值，则ab≤M24 ，等号当且仅当a=b 时成立. 2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a,b∈R+ ，且ab=P,P 为定值，则a+b≥2√P ，等号当且仅当a=b 时成立. 活动6【讲授】例2的分析与讲解：例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3 ,深为3m ，如果池底每1m2 的造价为150 元，池壁每1m2 的造价为120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。 活动7【活动】学生练习后，教师点评解：设水池底面一边的长度为xm ，水池的总造价为z元，根据题意，得 z=150×48003 +120(2×3x+2×3×1600x )=24000+720(x+1600x )≥2400+720×2√x×1600x =297600 当x=1600x 即x=40 时，z 有最小值297600 因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600 元 活动8【活动】教师引导学生归纳：用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 活动9【练习】课堂练习课本第100页 第2,3,4题 活动10【活动】课堂小结：本节课通过两个例题的分析和讲解，进一步掌握基本不等式的应用，会用基本不等式求函数的最大值或最小值。进一步提高建模能力，培养分析问题和解决问题的能力。 活动11【作业】课外作业课本第100页 习题3.4 第2,3,4题. 3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)／2 课时设计 课堂实录3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)／2 1第二学时 教学活动 活动1【导入】1.重要不等式如果a,b∈R ,那么a2+b2≥2ab ( 当且仅当a=b 时等号成立) 活动2【导入】2.基本不等式如果a,b 是正数，那么a+b2 ≥√ab( 当且仅当a=b 时等号成立) 活动3【导入】3.重要不等式与基本不等式成立的条件前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数。 活动4【讲授】例题1的分析与讲解：例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？ （2）段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 解：（1）设矩形菜园的长为xm ，宽为ym ，则xy=100 ，篱笆的长为2(x+y)m 。 由 x+y2 ≥√xy ，可得 x+y≥2√100 ， 即2(x+y)≥40 等号当且仅当x=y 时成立，此时x=y=10 因此，这个矩形的长、宽都为10m 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m .（2）解法一：设矩形菜园的宽为xm ，则长为(18−x)m ，其中0<x<18 ，其面积S=x(18−x)≤(x+18−x2 )2=81 当且仅当x=18−x ，即x=9 时菜园面积最大，即菜园长9m ，宽为9m 时菜园面积最大为81m2 解法二：设矩形菜园的长为xm .,宽为ym ,则2(x+y)=36,x+y=18, ,矩形菜园的面积为xym2 。 由√xy≤x+y2 =182 =9 , 可得 xy≤81 当且仅当x=y ,即x=y=9 时，等号成立。 因此，这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积是81m2 活动5【活动】引导学生归纳结论：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若 a,b∈R+ ，且a+b=M,M 为定值，则ab≤M24 ，等号当且仅当a=b 时成立. 2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a,b∈R+ ，且ab=P,P 为定值，则a+b≥2√P ，等号当且仅当a=b 时成立. 活动6【讲授】例2的分析与讲解：例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3 ,深为3m ，如果池底每1m2 的造价为150 元，池壁每1m2 的造价为120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。 活动7【活动】学生练习后，教师点评解：设水池底面一边的长度为xm ，水池的总造价为z元，根据题意，得 z=150×48003 +120(2×3x+2×3×1600x )=24000+720(x+1600x )≥2400+720×2√x×1600x =297600 当x=1600x 即x=40 时，z 有最小值297600 因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600 元 活动8【活动】教师引导学生归纳：用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 活动9【练习】课堂练习课本第100页 第2,3,4题 活动10【活动】课堂小结：本节课通过两个例题的分析和讲解，进一步掌握基本不等式的应用，会用基本不等式求函数的最大值或最小值。进一步提高建模能力，培养分析问题和解决问题的能力。 活动11【作业】课外作业课本第100页 习题3.4 第2,3,4题. Tags：基本,不等式,ab,a+b,教学
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