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共1课时
3.4 基本不等式：√ab≤(… 高中数学 人教A版2003课标版 1学习目标1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 2能力培养培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。 3学情分析本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质 4重点难点1、应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程； 2、基本不等式 等号成立条件 5教学过程 5.1 第一学时 教学活动 活动1【讲授】一、课题导入基本不等式√ab≤a+b2 的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 活动2【讲授】二、讲授新课1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为√a2+b2 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 a2+b2 。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a2+b2≥2ab 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 a2+b2=2ab 2．得到结论：一般的，如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号） 3．思考证明：你能给出它的证明吗？
活动3【活动】归纳： 1.如果把 a+b2 看作是正数a、b的等差中项，√ab 看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称a+b2 为a、b的算术平均数，称√ab 为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 活动4【讲授】三、例题分析例1 已知x、y都是正数，求证： (1)xy +yx ≥2； (2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3 活动5【活动】四、练习已知a、b、c都是正数，求证 （a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 活动6【活动】五、小结本节课，我们学习了重要不等式a2+b2≥2ab ；两正数a、b的算术平均数（a+b2 ），几何平均数（ √ab ）及它们的关系（ a+b2 ≥ √ab ）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤a2+b22 ，ab≤(a+b2 )2 活动7【作业】六、作业课本第100页习题[A]组的第1题 3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)／2 课时设计 课堂实录3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)／2 1第一学时 教学活动 活动1【讲授】一、课题导入基本不等式√ab≤a+b2 的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 活动2【讲授】二、讲授新课1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为√a2+b2 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 a2+b2 。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a2+b2≥2ab 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 a2+b2=2ab 2．得到结论：一般的，如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号） 3．思考证明：你能给出它的证明吗？
活动3【活动】归纳： 1.如果把 a+b2 看作是正数a、b的等差中项，√ab 看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称a+b2 为a、b的算术平均数，称√ab 为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 活动4【讲授】三、例题分析例1 已知x、y都是正数，求证： (1)xy +yx ≥2； (2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3 活动5【活动】四、练习已知a、b、c都是正数，求证 （a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 活动6【活动】五、小结本节课，我们学习了重要不等式a2+b2≥2ab ；两正数a、b的算术平均数（a+b2 ），几何平均数（ √ab ）及它们的关系（ a+b2 ≥ √ab ）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤a2+b22 ，ab≤(a+b2 )2 活动7【作业】六、作业课本第100页习题[A]组的第1题 Tags：基本,不等式,ab,a+b,教案
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