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共1课时
3.4 基本不等式：√ab≤(… 高中数学 人教A版2003课标版 1教学目标1.通过观察背景图形，抽象出基本不等式； 2.了解分析法的证明思路，理解基本不等式的几何背景； 3． 体会数形结合的数学思想，培养学生的抽象能力和推理能力； 学生在此之前已经具备了平面几何的基本知识，掌握了不等式的基本性质和比较法证明不等式。同时，高二学生具备了良好的图形分析能力、抽象概况能力以及一定层次上的交流沟通能力.这些都为学习本节内容奠定了基础。 3重点难点教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式√ab ≤ a+b2 的证明 教学难点：基本不等式√ab≤a+b2 等号成立的条件。 4教学过程 4.1 第一学时 教学活动 活动1【导入】创设情境在北京召开的第24届国际 数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像个风车，代表了中国人民的友好好客.观察变化的弦图，你能在图中找出面积间的不等关系吗？ 教师利用几何画板改变弦图中两直角边的长度，展示运动变化的弦图，请学生观察并归纳 各个学习小组进行组内讨论，然后进行展示 归纳得到 a>0,b>0 a2+b2≥2ab ,对于a,b 为实数不等式是否成立？并给出证明？ 学生通过讨论得到对于任意实数有a2+b2≥2ab 当且仅当a=b 时，等号成立。 引导学生回答：因为(a−b)2≥0 所以以上不等式成立 活动6【讲授】讲授新课如果a>0,b>0 ,我们用√a,√b 分别代替a,b 可得a+b≥2√ab 通常写作√ab≤a+b2 (a>0,b>0) (∗) 活动7【讲授】知识讲解下面我们能否利用不等式的性质，直接推导出这个不等式呢？师生讨论并作以下提示： 要证a+b2 ≥√ab 只要证a+b≥___ 只要证a+b−2√ab≥___ 只要证（√a−√b）2≥ ____当且仅当a=b 时等号成立。 这样又一次得到了不等式（∗） 阅读教材98页探究，结合图3.4-3你能得到不等式(∗) 的几何解释吗？ 学生讨论并发言 学生甲：利用三角形相似及直角三角形的性质可得CD=√ab, 由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为√ab≤a+b2 ，当a=b 取等号 学生乙（补充说明）：a>0，b>0 活动9【讲授】例题讲解刚才我们从三个不同的角度证明了基本不等式，下面我们看它的应用。 例：已知x,y为正数，求证：yx +xy ≥2 (让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评） 解：因为x、y都是正数，所以yx >0,xy >0 所以yx +xy ≥2√yx ×xy =2 当x=y时等号成立。 教材100页练习题第一题，让两位学生在黑板上进行演算，现场展示。 活动11【讲授】课堂小结本节课从三个不同的角度证明了基本不等式√ab≤a+b2 ,a>0,b>0 注意不等式等号成立的条件，及该公式的简单应用。 教材习题3.4A组第一题 3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)／2 课时设计 课堂实录3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)／2 1第一学时 教学活动 活动1【导入】创设情境在北京召开的第24届国际 数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像个风车，代表了中国人民的友好好客.观察变化的弦图，你能在图中找出面积间的不等关系吗？ 教师利用几何画板改变弦图中两直角边的长度，展示运动变化的弦图，请学生观察并归纳 各个学习小组进行组内讨论，然后进行展示 归纳得到 a>0,b>0 a2+b2≥2ab ,对于a,b 为实数不等式是否成立？并给出证明？ 学生通过讨论得到对于任意实数有a2+b2≥2ab 当且仅当a=b 时，等号成立。 引导学生回答：因为(a−b)2≥0 所以以上不等式成立 活动6【讲授】讲授新课如果a>0,b>0 ,我们用√a,√b 分别代替a,b 可得a+b≥2√ab 通常写作√ab≤a+b2 (a>0,b>0) (∗) 活动7【讲授】知识讲解下面我们能否利用不等式的性质，直接推导出这个不等式呢？师生讨论并作以下提示： 要证a+b2 ≥√ab 只要证a+b≥___ 只要证a+b−2√ab≥___ 只要证（√a−√b）2≥ ____当且仅当a=b 时等号成立。 这样又一次得到了不等式（∗） 阅读教材98页探究，结合图3.4-3你能得到不等式(∗) 的几何解释吗？ 学生讨论并发言 学生甲：利用三角形相似及直角三角形的性质可得CD=√ab, 由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为√ab≤a+b2 ，当a=b 取等号 学生乙（补充说明）：a>0，b>0 活动9【讲授】例题讲解刚才我们从三个不同的角度证明了基本不等式，下面我们看它的应用。 例：已知x,y为正数，求证：yx +xy ≥2 (让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评） 解：因为x、y都是正数，所以yx >0,xy >0 所以yx +xy ≥2√yx ×xy =2 当x=y时等号成立。 教材100页练习题第一题，让两位学生在黑板上进行演算，现场展示。 活动11【讲授】课堂小结本节课从三个不同的角度证明了基本不等式√ab≤a+b2 ,a>0,b>0 注意不等式等号成立的条件，及该公式的简单应用。 教材习题3.4A组第一题 Tags：基本,不等式,ab,a+b,课件
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