3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2优秀教学设计

日期:2016-1-6 11:59 阅读:

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3.4　基本不等式：√ab≤(… 高中数学人教A版2003课标版

1教学目标

1．创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；

2．教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；

3．学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量。

2学情分析

生源为普通班学生，数学基础相对薄弱，思维能力不强，计算速度慢、精确性差，化简能力弱。

这就决定了教学必须从基础讲起，照顾到大多数学生的基本情况。采取分段式教学方法，进行阶梯式教学。

3重点难点

1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；

2.从不同角度探索基本不等式的证明过程；

3.对基本不等式从不同角度的探索证明；

4.通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路.

4教学过程 4.1 第一学时：基本不等式 教学活动 活动1【导入】项目准备

1、上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

2、同学们观察得很细致，抽象出的几何图形比较准确.这说明，我们只要在现有的基础上进一步刻苦努力，发奋图强，也能作出和数学家赵爽一样的成绩.

活动2【讲授】指导调控

1、设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？

2、同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？

3、这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a2+b2≥2ab证明了吗？

4、这样的叙述不能代替证明.这是同学们在解题时经常会犯的错误.实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明

5、请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab.

6、今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比两个代数式的大小是否一样.

7、此处的比较法是用差和0作比较.在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法”.?

8、那么我们在遇到这类问题时，何时采用作差，何时采用作商呢？这个问题让同学们课后去思考，在解决问题中自然会遇到.

9、当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b.?

很好，我们来看一下代替后的结果a+b≥2√ab即√ab≤a+b2 (a>0,b>0)

活动3【练习】归纳总结

如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？

解：

要证：a+b2 ≥√ab ,①

只要证：a+b≥2√ab ,②

要证②，只要证：a+b−2√ab≥0 ,③

要证③，只要证：(√a−√b)²≥0 ,④

显然④是成立的，当且仅当a=b时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式.

活动4【作业】课后作业

活动与探究：已知a、b都是正数，试探索21a +1b ,√ab ,a+b2 ,√a²+b²2 的大小关系，并证明你的结论.

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

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