3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2教案推荐

3.4　基本不等式：√ab≤(… 高中数学       人教A版2003课标版

教学目标

（1）知识目标:探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决最值问题。

（2）能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。 

（3）情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。

       学生在此之前,已经具备了圆和三角形的基本知识,熟知了三角函数的定义,掌握了不等式的性质和比较法证明不等式。由于没有基础，学生会对分析法感到陌生，加上基本不等式的几何证明中线段间的关系比较隐蔽，学生不易发现。因而本节课的难点仍然是基本不等式的证明。

      为更好的贯彻课改精神,合理的对学生进行素质教育,在教学中,始终以学生主体，教师为主导.因此我在教学中让学生从不同角度去观察、分析,指导学生解决问题，感受知识的形成过程,培养学生数形结合的意识和能力，让学生学会学习。

重点: 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式。

难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最值。

步骤一：创设问题情景，抽象重要不等式(详见课件)

新的教学理念更加注重知识产生的背景，重点体现知识的形成过程。为此，我设置了以下几个问题：

展示图片，抽象出几何图形（几何画板演示）

（1）                           （2）

问题1：同学们,这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗? （学生的回答可能会很杂乱）

问题2:为了引导学生发现图中的不等关系，我又设计了以下三个小问题：

(1):我们把图（1）抽象成图（2）在正方形中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的直角边长为 、 ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？

(2)：那4个直角三角形的面积和呢？

(3)：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得怎样的式子呢？什么时候这两部分面积相等呢？（几何画板 ）

期望得到：对于任意实数 、 ， ，当 时，等号成立。

问题3：你能给出它的证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书)

 问题1的设计意图在于充分体现学生的主体地位，给学生创造联想的空间。问题2意在引导学生逐步探索，最终通过的自己发现而得到重要不等式，明确等号成立的情形，这里采用分步设问有效排除了障碍，又显得水到渠成。问题3意在让学生由直观感觉上升到理性证明，既体现数学的严谨性，又巩固了比较法的应用。

步骤二：由特殊到一般得到基本不等式

  （教师说明代替要求，学生完成过程，亲身体验知识的来历）

特别地,如果 ,也可写成 ，当 时，等号成立。

步骤三：了解基本不等式的代数证明（学生完成填空）

要证:                            ①

即证                                              ②

要证②,只要证                                  ③

要证③,只要证        (        -        )             ④

显然, ④是成立的,当 时, ④的等号成立。

由于没有知识铺垫，分析法对学生来说了解就行，完成填空即可。

步骤四: 探究基本不等式的几何解释

（1）                              （2）

观察图（1）AB是圆的直径，DE是垂直于直径的弦，其中AC＝ ，BC＝ ,提出问题4

问题4：你能从图形中得出DC和AB一半的大小关系吗？(  DC  )观察图像（2），直角三角形ABD中，提出问题5

问题5：你能用 、 表示线段DC吗？

（教师引导学生考察 的大小，进而考察它们的正切值，得到 ；几何画板演示引导学生观察等号成立的时刻，得到 时等号成立）。（几何画板 ）

图形（1）（2）由简单到复杂，问题4，5由易到难，将线段间的隐含关系逐步挖掘出来，分解难点螺旋上升降低了证明的难度，最终顺利地解决了问题。

步骤五：初步应用，加深理解

例1、（1）两个正实数的积是 ,当这两个数取什么值时,它们的和最小?

（2）两个正实数的和是 ,当这两个数取什么值时,它们的积最大?

例2、已知 、 都是正数，求证： ≥2；

根据学生的接受能力，我安排了两道简单例题，让学生会初步应用基本不等式，引导学生观察例题的条件和所求，从而体会基本不等式的数学本质：两个正实数的和与乘积的不等关系。

步骤六：小结与作业布置

1、本节课我们学习的主要内容是什么？

2、证明基本不等式的过程中，应用了哪些数学思想和数学方法？

3、基本不等式的数学本质是什么？

布置作业：

1、课本习题P114页A组1；

2、课后思考：应用基本不等式需要注意哪些事项？

作业1主要考察全体学生对基本不等式理解和初步应用情况，考察学生是否达到了本节课的教学要求。为了让学生在课后巩固本节内容的过程中探究基本不等式的使用条件，全面认识本节课的知识，同时也为下节课做好铺垫。

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

步骤一：创设问题情景，抽象重要不等式(详见课件)

新的教学理念更加注重知识产生的背景，重点体现知识的形成过程。为此，我设置了以下几个问题：

展示图片，抽象出几何图形（几何画板演示）

（1）                           （2）

问题1：同学们,这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗? （学生的回答可能会很杂乱）

问题2:为了引导学生发现图中的不等关系，我又设计了以下三个小问题：

(1):我们把图（1）抽象成图（2）在正方形中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的直角边长为 、 ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？

(2)：那4个直角三角形的面积和呢？

(3)：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得怎样的式子呢？什么时候这两部分面积相等呢？（几何画板 ）

期望得到：对于任意实数 、 ， ，当 时，等号成立。

问题3：你能给出它的证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书)

 问题1的设计意图在于充分体现学生的主体地位，给学生创造联想的空间。问题2意在引导学生逐步探索，最终通过的自己发现而得到重要不等式，明确等号成立的情形，这里采用分步设问有效排除了障碍，又显得水到渠成。问题3意在让学生由直观感觉上升到理性证明，既体现数学的严谨性，又巩固了比较法的应用。

步骤二：由特殊到一般得到基本不等式

  （教师说明代替要求，学生完成过程，亲身体验知识的来历）

特别地,如果 ,也可写成 ，当 时，等号成立。

步骤三：了解基本不等式的代数证明（学生完成填空）

要证:                            ①

即证                                              ②

要证②,只要证                                  ③

要证③,只要证        (        -        )             ④

显然, ④是成立的,当 时, ④的等号成立。

由于没有知识铺垫，分析法对学生来说了解就行，完成填空即可。

步骤四: 探究基本不等式的几何解释

（1）                              （2）

观察图（1）AB是圆的直径，DE是垂直于直径的弦，其中AC＝ ，BC＝ ,提出问题4

问题4：你能从图形中得出DC和AB一半的大小关系吗？(  DC  )观察图像（2），直角三角形ABD中，提出问题5

问题5：你能用 、 表示线段DC吗？

（教师引导学生考察 的大小，进而考察它们的正切值，得到 ；几何画板演示引导学生观察等号成立的时刻，得到 时等号成立）。（几何画板 ）

图形（1）（2）由简单到复杂，问题4，5由易到难，将线段间的隐含关系逐步挖掘出来，分解难点螺旋上升降低了证明的难度，最终顺利地解决了问题。

步骤五：初步应用，加深理解

例1、（1）两个正实数的积是 ,当这两个数取什么值时,它们的和最小?

（2）两个正实数的和是 ,当这两个数取什么值时,它们的积最大?

例2、已知 、 都是正数，求证： ≥2；

根据学生的接受能力，我安排了两道简单例题，让学生会初步应用基本不等式，引导学生观察例题的条件和所求，从而体会基本不等式的数学本质：两个正实数的和与乘积的不等关系。

步骤六：小结与作业布置

1、本节课我们学习的主要内容是什么？

2、证明基本不等式的过程中，应用了哪些数学思想和数学方法？

3、基本不等式的数学本质是什么？

布置作业：

1、课本习题P114页A组1；

2、课后思考：应用基本不等式需要注意哪些事项？

作业1主要考察全体学生对基本不等式理解和初步应用情况，考察学生是否达到了本节课的教学要求。为了让学生在课后巩固本节内容的过程中探究基本不等式的使用条件，全面认识本节课的知识，同时也为下节课做好铺垫。