|
共1课时
3.4 基本不等式 高中数学 人教A版2003课标版 1教学目标知识与技能：通过从不同角度探索不等式 的证明过程，使学生理解基本不等式及其几何意义，并掌握不等式中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等，掌握基本不等式解决最值问题的基本方法，并理解运用基本不等式 的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用. 过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式，渗透数形结合和转化思想，换元法.情感态度与价值观目标：通过对基本不等式证明过程的探索，强化学生的探索精神，加强学习数学的兴趣，并且让学生能够体会到一定的成就感，形成数学联系生活这一积极正确的数学观。 2学情分析在初中阶段,学生学习了平方、开方、勾股定理、圆、射影定理等概念,高中阶段学生学习了基本初等函数及其性质,加上刚学过的不等关系与不等式的性质。 3重点难点教学重点：基本不等式的证明方法以及基本不等式应用的条件。 教学难点：基本不等式求最值问题解题策略的建构；数形结合思想方法的实际运用。 4教学过程 4.1 第一学时 评论(0) 教学目标 评论(0) 学时重点 评论(0) 学时难点 教学活动 活动1【导入】引入一、引入 教学情境1：学生动手实验 先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为 和 （ ） 问题1：上图中矩形的面积是多少？两个直角三角形的面积之和是多少？两个面积之间有什么关系？ 问题2：两个面积能相等吗？何时相等？ 活动2【讲授】新知探究二、新知探究 分析：矩形的面积为 ，两个直角三角形的面积之和为 ，由图知， ，即 ，当两个直角三角形的腰相等时，即 ,即a=b时，没有多余部分，这时有 结论：若 ，则 教学情境2：探究 在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.你能利用这个图形得出不等式 的几何解释吗？ 易证Rt△ACD∽Rt△DCB，那么 ， 即 . 这个圆的半径为 ，显然，CD小于或等于半径，即 ，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立. 因此：基本不等式 几何意义是“半弦不大于半径” . 问题3：你能用代数的方法证明这个不等式吗？ 学生思考后，不会证明时，提出问题4 问题4：大家观察式子 ，它有什么特点？ 学生回答 问题5：请同学们把式子 展开，有什么发现？ ，移向整理可得 （当 时，等号成立） 问题6：上面不等式中，a、b都是正数，若a、b为任意有理数，不等式还成立吗？ 当a、b一正一负时， 无意义，当a、b都是负数时，正数不可能小于负数. 问题6：除a与b相等时等号成立，还有其它情况等号成立吗？ 没有，只有唯一的 时等号成立，所以称为“当且仅当” 【板书】基本不等式 若 ，则 （当且仅当 时，等号成立） 评述：在数学中，我们称 为a、b的算术平均数，称 为a、b的几何平均数.基本不等式还可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数. 等价变形：若 ，则 （当且仅当 时，等号成立） 分析结构，当两个正数的乘积是定值时，它们的和有最小值. 活动3【讲授】例题分析三、例题分析 例1.当 时，求函数 的最小值. 分析：因为 ，所以 ， . 当 ，即 时等号成立. 所以， 例2.下列函数中，最小值为2的有： ； ； ； . 分析：（1）不满足正数；（2）不满足定值；（3）不能相等；（4）正确. 小结：在运用 时，注意条件a、b均为正数，乘积为定值，且a与b能相等. 即“一正二定三相等” 例3.求函数 的最小值. 分析：因为 ，所以 . 当 ，即 时等号成立.所以， 变式练习：求函数 的最小值. 分析：因为 ，所以 当 ，即 时等号成立.所以， 活动4【活动】课时小结 四、课时小结 1、知识上 基本不等式：若 ，则 （当且仅当 时，等号成立） 一正二定三相等 2、思想方法上 数形结合思想、转化思想、换元法 3、应用——求最值 分析结构 变形转化 应用公式
转化思想 4、探究：课本第97页的“探究”，课本是怎样推导出基本不等式的？ 5、思考题：（1）若 ，求 的最大值. （2）若 ，求 的最大值. （3）1984年全国高中数学联赛题： 设 是正数， 求证： . 分析： ， ， ， . 将这n个不等式相加、化简，便很容易地推出结论. 活动5【测试】反馈检测五、反馈检测 1、若 ，则 的最小值为 ，此时 ． 2、若 ，则函数 的最小值为 ，此时 ． 3、若实数 满足 则 的最小值 ，此时 ． 活动6【作业】作业必做题： 书P100 练习1、2 习题A 1（1）和探究 选做题： 思考题 3.4 基本不等式 课时设计 课堂实录3.4 基本不等式 1第一学时 教学目标 学时重点 学时难点 教学活动 活动1【导入】引入一、引入 教学情境1：学生动手实验 先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为 和 （ ） 问题1：上图中矩形的面积是多少？两个直角三角形的面积之和是多少？两个面积之间有什么关系？ 问题2：两个面积能相等吗？何时相等？ 活动2【讲授】新知探究二、新知探究 分析：矩形的面积为 ，两个直角三角形的面积之和为 ，由图知， ，即 ，当两个直角三角形的腰相等时，即 ,即a=b时，没有多余部分，这时有 结论：若 ，则 教学情境2：探究 在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.你能利用这个图形得出不等式 的几何解释吗？ 易证Rt△ACD∽Rt△DCB，那么 ， 即 . 这个圆的半径为 ，显然，CD小于或等于半径，即 ，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立. 因此：基本不等式 几何意义是“半弦不大于半径” . 问题3：你能用代数的方法证明这个不等式吗？ 学生思考后，不会证明时，提出问题4 问题4：大家观察式子 ，它有什么特点？ 学生回答 问题5：请同学们把式子 展开，有什么发现？ ，移向整理可得 （当 时，等号成立） 问题6：上面不等式中，a、b都是正数，若a、b为任意有理数，不等式还成立吗？ 当a、b一正一负时， 无意义，当a、b都是负数时，正数不可能小于负数. 问题6：除a与b相等时等号成立，还有其它情况等号成立吗？ 没有，只有唯一的 时等号成立，所以称为“当且仅当” 【板书】基本不等式 若 ，则 （当且仅当 时，等号成立） 评述：在数学中，我们称 为a、b的算术平均数，称 为a、b的几何平均数.基本不等式还可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数. 等价变形：若 ，则 （当且仅当 时，等号成立） 分析结构，当两个正数的乘积是定值时，它们的和有最小值. 活动3【讲授】例题分析三、例题分析 例1.当 时，求函数 的最小值. 分析：因为 ，所以 ， . 当 ，即 时等号成立. 所以， 例2.下列函数中，最小值为2的有： ； ； ； . 分析：（1）不满足正数；（2）不满足定值；（3）不能相等；（4）正确. 小结：在运用 时，注意条件a、b均为正数，乘积为定值，且a与b能相等. 即“一正二定三相等” 例3.求函数 的最小值. 分析：因为 ，所以 . 当 ，即 时等号成立.所以， 变式练习：求函数 的最小值. 分析：因为 ，所以 当 ，即 时等号成立.所以， 活动4【活动】课时小结 四、课时小结 1、知识上 基本不等式：若 ，则 （当且仅当 时，等号成立） 一正二定三相等 2、思想方法上 数形结合思想、转化思想、换元法 3、应用——求最值 分析结构 变形转化 应用公式
转化思想 4、探究：课本第97页的“探究”，课本是怎样推导出基本不等式的？ 5、思考题：（1）若 ，求 的最大值. （2）若 ，求 的最大值. （3）1984年全国高中数学联赛题： 设 是正数， 求证： . 分析： ， ， ， . 将这n个不等式相加、化简，便很容易地推出结论. 活动5【测试】反馈检测五、反馈检测 1、若 ，则 的最小值为 ，此时 ． 2、若 ，则函数 的最小值为 ，此时 ． 3、若实数 满足 则 的最小值 ，此时 ． 活动6【作业】作业必做题： 书P100 练习1、2 习题A 1（1）和探究 选做题： 思考题 Tags：基本,不等式,ab,a+b,第二
|
21世纪教育网，教育资讯交流平台
