3.3.2 简单的线性规划问题教学设计实例

3.3.2　简单的线性规划问… 高中数学       人教A版2003课标版

知识目标：

了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；
理解线性规划问题的图解法；
会利用图解法求线性目标函数的最优解

 能力目标：

在图解法的探究过程中，培养学生的数据分析能力、探索能力、合情推理能力；
在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力.

情感目标：

通过师生的合作与交流，发掘教师、学生的情感因素，体现学生的主体地位；
通过实际问题展示数学的魅力和作用，让学生体会到数学来源于生活，服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用，让学生体会到自己在学“有价值的数学”，激发学生学习数学的兴趣，树立学好数学的自信心，培养学生理论与实践相结合的科学态度和“学数学用数学”的实践能力与创新意识。

重点：求线性目标函数的最值问题.

难点：从数学思想上看，学生对为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在 y 轴上的截距问题，以及如何想到要这样转化，存在一定的疑惑及困难，所以这是本节课需要突破的难点.

关键：学会利用图解法解决线性目标函数的最值问题

由工厂生产安排，抽象出数学问题：

“已知 满足 ，求 的最大值.”

问题诊断：

（1）问题是在一定实际背景抽象出的一个数学问题。学生能比较容易画出这个二元一次不等式组所表示的平面区域，然后带有限个点进行验证进而猜测出利润的最大值。但对于一般的情况（如稍微修改一下约束条件），带点验证的方法不方便，寻求一种能解决此类问题的可行性比较强的方法，就成为研究的主题。

（2）上节课学习的二元一次不等式组的几何表示，学生能把约束条件表示成平面区域，但对于如何求目标函数的最值，学生感到困难。需要教师引导学生注意数与形的关系，“将目标函数的变形为y与x一次函数，利用一次函数所表示的直线的特征，发现截距与 的最大值之间的关系”，需要学生在知识和方法上重点关注。

在本课刚开始的应用题基础上，添加了两个变式训练：

变式1 ：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排获得利润最大？

变式2 ：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排获得利润最大？

问题诊断：

（1）利用图解法的常见错误（可行域画错、求边界点坐标错误、目标函数与边界点带入出错）.

（2）学生理解最优解和目标函数之间关系不正确，如有时最优解不止一个，有可能出现无穷多个。

（3）学生利用图解法解决线性规划问题的一般步骤混乱，表述不规范。要结合练习进行归纳。

变式3 ：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品亏损1万元，采用哪种生产安排获得利润最大？

问题诊断：

受例题和前两个变式练习的影响，学生会在潜意识里认为 就是直线在 轴上的截距。这也对我们“验证 就是直线在 轴上的截距，求目标函数的最大值，就是找纵截距的最大值”这一潜意识错误带来了方便。学生可以比较容易地发现错误，思考问题出错的根源，从而进一步理解目标函数最值和截距的本质区别与关系。

1.解下列线性规划问题：

求 z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中 x、y 满足下

列条件：

2.变式：求 z=3x-5y 的最大值和最小值，使式中 x、y 满足下列条件：

3.3.2　简单的线性规划问题

3.3.2　简单的线性规划问题

由工厂生产安排，抽象出数学问题：

“已知 满足 ，求 的最大值.”

问题诊断：

（1）问题是在一定实际背景抽象出的一个数学问题。学生能比较容易画出这个二元一次不等式组所表示的平面区域，然后带有限个点进行验证进而猜测出利润的最大值。但对于一般的情况（如稍微修改一下约束条件），带点验证的方法不方便，寻求一种能解决此类问题的可行性比较强的方法，就成为研究的主题。

（2）上节课学习的二元一次不等式组的几何表示，学生能把约束条件表示成平面区域，但对于如何求目标函数的最值，学生感到困难。需要教师引导学生注意数与形的关系，“将目标函数的变形为y与x一次函数，利用一次函数所表示的直线的特征，发现截距与 的最大值之间的关系”，需要学生在知识和方法上重点关注。

在本课刚开始的应用题基础上，添加了两个变式训练：

变式1 ：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排获得利润最大？

变式2 ：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排获得利润最大？

问题诊断：

（1）利用图解法的常见错误（可行域画错、求边界点坐标错误、目标函数与边界点带入出错）.

（2）学生理解最优解和目标函数之间关系不正确，如有时最优解不止一个，有可能出现无穷多个。

（3）学生利用图解法解决线性规划问题的一般步骤混乱，表述不规范。要结合练习进行归纳。

变式3 ：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品亏损1万元，采用哪种生产安排获得利润最大？

问题诊断：

受例题和前两个变式练习的影响，学生会在潜意识里认为 就是直线在 轴上的截距。这也对我们“验证 就是直线在 轴上的截距，求目标函数的最大值，就是找纵截距的最大值”这一潜意识错误带来了方便。学生可以比较容易地发现错误，思考问题出错的根源，从而进一步理解目标函数最值和截距的本质区别与关系。

1.解下列线性规划问题：

求 z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中 x、y 满足下

列条件：

2.变式：求 z=3x-5y 的最大值和最小值，使式中 x、y 满足下列条件：