3.1.1 两角差的余弦公式优秀教案案例

3.1.1 两角差的余弦公式 高中数学       人教A版2003课标版

1、知识目标

通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的求值问题，为后面推导两角和的余弦公式及二倍角公式打好基础。

2、能力目标

通过两角差的余弦公式的运用，会进行简单的求值。体会化归思想的应用，使学生进一步掌握普遍联系的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力。

3、情感目标

通过创设问题，激发学生分析、探求的学习态度，从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、数形结合等数学思想方法。

本节内容针对高一学生，数学表达能力和逻辑推理能力正形成的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。在学习本节内容之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角差的余弦公式奠定了良好的知识基础。

    重点：通过探索得到两角差的余弦公式。

    难点：探索过程的组织和适当引导。

我们在初中时就知道 一些特殊角的三角函数值，例如cos45°=√2‍ /2 ，cos30°=√3‍ /2，而 cos15°=cos(45°-30°)，那么大家猜想一下，cos15° 是否等于cos45°-cos30° 呢？

我们发现cos(α-β) 一般不等于cosα-cosβ ，下面我们就一起探究两角差的余弦公式。

（设计意图：教科书以一个实际问题（求电视发射塔的高度）作为引子，目的在于提出问题，引入研究课题。同时帮助学生认识到数学与实际生活有关，体会数学的应用价值。解决这个实际应用问题需要用方程的思想分析问题，考虑到学生的实际情况，这样做一定程度会抢去这节课主要研究内容的风头。而且，在这个问题中要解决的tan(45°+α) 与这节课要研究的cos(α-β)  的联系不够直接。用cos15° 来引入，一来可以节省时间，二来引出课题更加直接，更加自然。）

公式推导

在公式推导之前先引导学生结合三角函数知识写出点 A、B 的坐标。

     在平面直角坐标系内作单位圆O ，以OX 轴为始边作角α,β ，其中α,β∈ [0,2π] ，且 α≥ β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ，则

      OA  =(cosα,sinα)    ,OB =(cosβ,sinβ)

由向量数量积的坐标表示，有：

       OA .OB =(cosα,sinα).(cosβ,sinβ)=cosα cosβ+sinα sinβ​

由α,β∈ [0,2π] ，且 α≥ β ,知α-β∈ [0,2π] ，那么向量OA ,OB  的夹角就是α-β 或者2π-(α-β) ，由数量积的定义，有

   OA .OB = |OA  | |OB  |cos(α-β)=cos(α-β)或者   OA  .OB = |OA  | |OB  |cos[2π-(α-β)]=cos(α-β)

于是   cos(α-β)= cosα cosβ+sinα sinβ​    （1）   

由于我们前面的推导均是在α,β∈ [0,2π] ，且α≥ β 的条件下进行的，因此（1）式还不具备一般性。那么若α<β 呢？事实上， cos(α-β)= cos(β-α) ，因此上式仍然成立。

但是，我们知道角的范围已经不仅仅局限于 [0,2π]  ，那么我们怎样去表示实数范围的角。我们知道任意角γ =2kπ+α (k∈Z) ，并且终边相同角的三角函数值相等。

综上所述，得出公式：

对任意的α,β ，cos(α-β)= cosα cosβ+sinα sinβ

注：引导学生分别从范围、特征、用途来认识和记忆公式

例:   利用差角余弦公式求cos15° 。

解：

方法一：cos15°= cos(45°-30°)= cos45° cos30°+sin45° sin30°

方法二：cos15°= cos(60°-45°)= cos60° cos45°+sin60° sin45°

（设计意图：此题是对公式的直接应用，体现了角的拆分的思想。拆分的多样性，体现了变换的多样性。求解的过程可以完全由学生独立完成。）

已知sinα=4/5 ,α∈ [π/2,π],cosβ=-5/13,β是第三象限角，求cos(α-β)的值。

解题思路：先求cosα，再求sinβ，最后代入公式cos(α-β)求解。

（设计意图：此题是应用、理解公式的基础练习，解此题需要思考使用公式前应作出的必要准备，要作出这些必要的准备，需要运用到同角三角函数的知识。解题时必须强调解决三角变换问题的基本要求：思维的有序性和表述的条理性。）

思考：如果去掉条件中的α∈ [π/2,π] ，对题目和结果有没有影响？

（设计意图：让学生学习分类讨论的思想，提高表达能力。）

小结：

    1.两角差的余弦公式及其特点：

    2.利用两角差的余弦公式解决简单的求值问题。

作业：

已知 α,β都是锐角，cosα=1/7，cos(α+β)=-11/14求cosβ的值。

课本137页2、3题

3.1.1 两角差的余弦公式

3.1.1 两角差的余弦公式

我们在初中时就知道 一些特殊角的三角函数值，例如cos45°=√2‍ /2 ，cos30°=√3‍ /2，而 cos15°=cos(45°-30°)，那么大家猜想一下，cos15° 是否等于cos45°-cos30° 呢？

我们发现cos(α-β) 一般不等于cosα-cosβ ，下面我们就一起探究两角差的余弦公式。

（设计意图：教科书以一个实际问题（求电视发射塔的高度）作为引子，目的在于提出问题，引入研究课题。同时帮助学生认识到数学与实际生活有关，体会数学的应用价值。解决这个实际应用问题需要用方程的思想分析问题，考虑到学生的实际情况，这样做一定程度会抢去这节课主要研究内容的风头。而且，在这个问题中要解决的tan(45°+α) 与这节课要研究的cos(α-β)  的联系不够直接。用cos15° 来引入，一来可以节省时间，二来引出课题更加直接，更加自然。）

公式推导

在公式推导之前先引导学生结合三角函数知识写出点 A、B 的坐标。

     在平面直角坐标系内作单位圆O ，以OX 轴为始边作角α,β ，其中α,β∈ [0,2π] ，且 α≥ β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ，则

      OA  =(cosα,sinα)    ,OB =(cosβ,sinβ)

由向量数量积的坐标表示，有：

       OA .OB =(cosα,sinα).(cosβ,sinβ)=cosα cosβ+sinα sinβ​

由α,β∈ [0,2π] ，且 α≥ β ,知α-β∈ [0,2π] ，那么向量OA ,OB  的夹角就是α-β 或者2π-(α-β) ，由数量积的定义，有

   OA .OB = |OA  | |OB  |cos(α-β)=cos(α-β)或者   OA  .OB = |OA  | |OB  |cos[2π-(α-β)]=cos(α-β)

于是   cos(α-β)= cosα cosβ+sinα sinβ​    （1）   

由于我们前面的推导均是在α,β∈ [0,2π] ，且α≥ β 的条件下进行的，因此（1）式还不具备一般性。那么若α<β 呢？事实上， cos(α-β)= cos(β-α) ，因此上式仍然成立。

但是，我们知道角的范围已经不仅仅局限于 [0,2π]  ，那么我们怎样去表示实数范围的角。我们知道任意角γ =2kπ+α (k∈Z) ，并且终边相同角的三角函数值相等。

综上所述，得出公式：

对任意的α,β ，cos(α-β)= cosα cosβ+sinα sinβ

注：引导学生分别从范围、特征、用途来认识和记忆公式

例:   利用差角余弦公式求cos15° 。

解：

方法一：cos15°= cos(45°-30°)= cos45° cos30°+sin45° sin30°

方法二：cos15°= cos(60°-45°)= cos60° cos45°+sin60° sin45°

（设计意图：此题是对公式的直接应用，体现了角的拆分的思想。拆分的多样性，体现了变换的多样性。求解的过程可以完全由学生独立完成。）

已知sinα=4/5 ,α∈ [π/2,π],cosβ=-5/13,β是第三象限角，求cos(α-β)的值。

解题思路：先求cosα，再求sinβ，最后代入公式cos(α-β)求解。

（设计意图：此题是应用、理解公式的基础练习，解此题需要思考使用公式前应作出的必要准备，要作出这些必要的准备，需要运用到同角三角函数的知识。解题时必须强调解决三角变换问题的基本要求：思维的有序性和表述的条理性。）

思考：如果去掉条件中的α∈ [π/2,π] ，对题目和结果有没有影响？

（设计意图：让学生学习分类讨论的思想，提高表达能力。）

小结：

    1.两角差的余弦公式及其特点：

    2.利用两角差的余弦公式解决简单的求值问题。

作业：

已知 α,β都是锐角，cosα=1/7，cos(α+β)=-11/14求cosβ的值。

课本137页2、3题