3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式优秀教学实录

3.1.3　二倍角的正弦、余… 高中数学       人教A版2003课标版

1.通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力.

2.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.

1、本节知识是高一必修4的第三章的第一节的第3小节知识，前面1、2节已经详细讲述了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，本节知识在前两节知识的基础上讲解，内容容易接受；

2、本节知识学生完全可以探究完成，在一些特殊位置，教师加以强调和解释即可；

3、本节知识虽然容易理解和掌握，但是公式变形形式太多，学生仍需大量练习。

教学重点：二倍角公式推导及其应用.

教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.

教学过程        

一、新课引入

问题导入：出示问题，让学生计算，若sinα= ,α∈( ,π),求sin2α，cos2α的值.学生会很容易看出：sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式.

二、新知探究

1、提出问题

①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写)

②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？

③在得到的C2α公式中，还有其他表示形式吗？

④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？

⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？

⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin(    )=2sin(    )cos(    )，cos(    )=cos2(    )-sin2(    ).

⑦思考过公式的逆用吗？想一想C2α还有哪些变形？

2、总结新知

?sin2α=2sinαcosα（S2α）;

cos2α=cos2α-sin2α(C2α);

   我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题③，点拨学生结合sin2α+cos2α=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下的形式.

    这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.

 3、进一步解释二倍角

    让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍, 是 的二倍,3α是 的二倍, 是 的二倍， -α是 - 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.

例如:sin =2sin cos ,cos =cos2 -sin2 等等.

4、强调公式的逆用

 本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形

例①:sin3αcos3α= sin6α，

②4sin cos =2(2sin cos )=2sin ,

③ =tan80°，

④cos22α-sin22α=cos4α，

⑤tan2α=2tanα(1-tan2α)   

5、强调公式的特殊情况

一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.

①若sin2α=2sinα,则2sinαcosα=2sinα,即sinα=0或cosα=1,此时α=kπ(k∈Z).

②若cos2α=2cosα,2cos2α-2cosα-1，即cosα=

（cosα= 舍去).

③若tan2α=2tanα,则 =2tanα,∴tanα=0,

即α=kπ(k∈Z).

6、专题训练

例1、已知sin2α= , <α< ,求sin4α,cos4α,tan4α的值.

活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想.让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了2α的正弦值.由于4α是2α的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成.

变式训练

1、求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

2、在△ABC中,cosA= ,tanB=2,求tan(2A+2B)的值.

7、课题小结

1.先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.

2.教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.

8、课后思考题

已知cosα= ,cos(α-β)= ,且0<β<α< ,

(1)求tan2α的值;

(2)求β.

3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式

教学过程        

一、新课引入

问题导入：出示问题，让学生计算，若sinα= ,α∈( ,π),求sin2α，cos2α的值.学生会很容易看出：sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式.

二、新知探究

1、提出问题

①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写)

②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？

③在得到的C2α公式中，还有其他表示形式吗？

④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？

⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？

⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin(    )=2sin(    )cos(    )，cos(    )=cos2(    )-sin2(    ).

⑦思考过公式的逆用吗？想一想C2α还有哪些变形？

2、总结新知

?sin2α=2sinαcosα（S2α）;

cos2α=cos2α-sin2α(C2α);

   我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题③，点拨学生结合sin2α+cos2α=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下的形式.

    这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.

 3、进一步解释二倍角

    让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍, 是 的二倍,3α是 的二倍, 是 的二倍， -α是 - 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.

例如:sin =2sin cos ,cos =cos2 -sin2 等等.

4、强调公式的逆用

 本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形

例①:sin3αcos3α= sin6α，

②4sin cos =2(2sin cos )=2sin ,

③ =tan80°，

④cos22α-sin22α=cos4α，

⑤tan2α=2tanα(1-tan2α)   

5、强调公式的特殊情况

一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.

①若sin2α=2sinα,则2sinαcosα=2sinα,即sinα=0或cosα=1,此时α=kπ(k∈Z).

②若cos2α=2cosα,2cos2α-2cosα-1，即cosα=

（cosα= 舍去).

③若tan2α=2tanα,则 =2tanα,∴tanα=0,

即α=kπ(k∈Z).

6、专题训练

例1、已知sin2α= , <α< ,求sin4α,cos4α,tan4α的值.

活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想.让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了2α的正弦值.由于4α是2α的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成.

变式训练

1、求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

2、在△ABC中,cosA= ,tanB=2,求tan(2A+2B)的值.

7、课题小结

1.先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.

2.教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.

8、课后思考题

已知cosα= ,cos(α-β)= ,且0<β<α< ,

(1)求tan2α的值;

(2)求β.