1.4.3 正切函数的性质与图象课件配套优秀公开课教案设计

1.4.3　正切函数的性质与… 高中数学       人教A版2003课标版

1.通过对正切函数的性质的研究,注重培养学生类比思想的养成,以及培养学生综合运用新旧知识的能力.学会通过对图象的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际问题的能力.

2.在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上,运用类比的方法,学习正切函数的性质与图象,从而培养学生的类比思维能力.

3.通过正切函数图象的教学,培养学生欣赏(中心)对称美的能力,激发学生热爱科学、努力学好数学的信心.

本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，对又一具体三角函数的学习。学生已经掌握了角的正切，正切线和与正切有关的诱导公式，对三角函数性质的讨论方法已经有了一个比较清晰的认识，这为本节课的学习提供了知识的保障．

教学重点:正切函数的性质与图象的简单应用.

教学难点:正切函数性质的深刻理解及其简单应用.

1、什么是正切？正切有关的诱导公式？

2、各象限角的正切线。

(1)定义域   {α|α≠kπ+ ,k∈Z}

(2)周期性

由诱导公式      tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠ +kπ,k∈Z

(3)奇偶性

由诱导公式      tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠ +kπ,k∈Z

(4)单调性

    通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在( , )内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间( +kπ, +kπ),k∈Z内都是增函数.

(5)值域

   由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于 且无限接近 时,正切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于 且无限接近 时,正切线AT向Oy轴的正方向无限延伸.因此,tanx在( , )内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.

因此,正切函数的值域是实数集R.

     教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.

     正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出［- , ］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得到整个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(- , )的图象为好.这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.

    根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠ +kπ(k∈Z)的图象,我们称正切曲线,如图3.

    问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈( , )的简图.学生可看出有三个点很关键:( ,-1),(0,0),( ,1),还有两条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点( ,-1),(0,0),( ,1),再画两条平行线x= ,x= ,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.

例1 比较大小.

(1)tan138°与tan143°；(2)tan( )与tan( ).

例2 用图象求函数y= 的定义域.

根据正切函数的图象,写出使下列不等式成立的x的集合.

  (1)1+tanx≥0;(2)tanx+3＜0.

 求函数y=tan(x+ )的定义域,值域,单调区间,周期性.

1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质.

2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？

课本习题1.4  A组6、8、9.

1.4.3　正切函数的性质与图象

1.4.3　正切函数的性质与图象

1、什么是正切？正切有关的诱导公式？

2、各象限角的正切线。

(1)定义域   {α|α≠kπ+ ,k∈Z}

(2)周期性

由诱导公式      tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠ +kπ,k∈Z

(3)奇偶性

由诱导公式      tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠ +kπ,k∈Z

(4)单调性

    通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在( , )内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间( +kπ, +kπ),k∈Z内都是增函数.

(5)值域

   由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于 且无限接近 时,正切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于 且无限接近 时,正切线AT向Oy轴的正方向无限延伸.因此,tanx在( , )内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.

因此,正切函数的值域是实数集R.

     教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.

     正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出［- , ］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得到整个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(- , )的图象为好.这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.

    根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠ +kπ(k∈Z)的图象,我们称正切曲线,如图3.

    问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈( , )的简图.学生可看出有三个点很关键:( ,-1),(0,0),( ,1),还有两条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点( ,-1),(0,0),( ,1),再画两条平行线x= ,x= ,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.

例1 比较大小.

(1)tan138°与tan143°；(2)tan( )与tan( ).

例2 用图象求函数y= 的定义域.

根据正切函数的图象,写出使下列不等式成立的x的集合.

  (1)1+tanx≥0;(2)tanx+3＜0.

 求函数y=tan(x+ )的定义域,值域,单调区间,周期性.

1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质.

2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？

课本习题1.4  A组6、8、9.