3.1.1 方程的根与函数的零点课堂实录【1】

3.1.1　方程的根与函数的… 高中数学       人教A版2003课标版

（1）知识技能目标：了解函数零点的概念；知道方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者的关系；学会函

                                 数零点存在的判断方法。

（2） 过程与方法目标：使学生通过实践－－认知－－再实践的过程，初步体会函数与方程的思想．

（3）情感、态度和价值观目标：使学生体会从特殊到一般的认知规律；通过实例探究、问题解决，培养学生独立思

　　　　　　　　　考、合作交流的良好品质。

通过前面的学习，学生会解简单的方程，掌握了基本初等函数图象和性质，具备一定的看图识图能力，但是，常将函数与方程孤立，重计算，轻观察，以形助数的意识不强，需要不断完善．

教学重点是：函数零点的概念和函数零点存在的判断方法．

教学难点是：准确理解零点存在性定理，并会判断函数零点存在性．

由学生熟悉的函数图象和方程引入。

问题1：这四个函数分别是哪一种基本函数？（分别是反比例函数，指数函数，对数函数，二次函数各选一个）                        

问题2：将函数与图象一一对应。（画对应图象）

问题 3：令y=0,得到四个方程，请求出方程的根。（令问题1中的四个函数值等于零）                             

问题4：前两个函数图象与x轴有交点吗？

问题5：方程的根和函数图象与x轴交点坐标之间有什么关系？

师：我们就把使得f(x)=0的方程的根就叫做对应函数的零点，这就是本节课要研究的内容——方程的根与函数的零点

问题6：请同学们总结一下到底什么是函数的零点？

学生说对零点的理解，教师引导得出规范性概念，并板书零点定义

问题7：如果一个函数有零点可以怎么求？

问题8：函数的零点是实数还是点？

问题9：观察大屏幕中前两个函数有没有零点？对应函数有没有实数根？函数图象与x轴有没有交点？

说明若函数无零点，则对应方程无实根，图象与x轴无交点。

问题10：如果函数有零点呢？

学生得出方程的根与函数的零点的等价关系：若函数有零点，则方程有实根，图象与x轴有交点。

问题11：由以上关系可知有几种方法解决零点的相关问题？

学生说方法：1、算对应方程的根（师：总结成一个字：算）

            　　  ２、看函数图象与x轴的交点（师：总结成一个字：看）

抢答题：练习1：判断下列函数是否有零点？若有，求出零点.（一个二次函数，一个指数函数）   

对于熟悉的函数可以用算和看的方法解决零点的相关问题，若是不熟悉的函数（对数和一次函数的和函数） 我们不能求出对应方程的根，也不能很快画出函数的图像，那么要解决这类函数的零点问题，就需要寻求新的解决方法，我们就来研究本节课的第二个核心问题：函数零点存在性的探究

请同学阅读：这是气象局测得某地一天的气温变化函数图(即一个连续不间断的函数图象)，图中有一段被污染了，有人想了解一下当天7点到11点之间有没有可能出现0℃，你能帮助他吗?（给出对应图象）

问题12：（1）它在（7,11）有没有可能出现0℃? 为什么?

               （2）那么2、3幅图呢？

问题13：小组探究合作将坐标纸上三幅图快速补充完整。

实物展台展示说明

问题14：满足什么条件在（7,11）内一定有0℃？

问题15：小组讨论（1）满足什么条件函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点？（2）为什么2、3幅图在（a,b）不一定存在零点？

学生回答第一个问题并总结得到函数零点存在性定理

问题16：满足几个条件就能确定在（a,b）内一定有零点？都是什么？

利用定理方法判断函数零点存在的方法总结成：验。

抢答题：练习2：（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b] 满足f(a) ·f(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（     ）

（2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f(a) ·f(b) ≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点. （     ）

（3）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) < 0则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（       ）

引导学生总结“单调区间有零点必唯一”的结论，同时总结解决零点相关问题的方法：算，看，验

练习3：判断下列函数在相应区间内是否存在零点？（给出两个函数并限定范围，且适用于定理）

例:求函数f(x)=lnx+2x- 6的零点的个数.

法一：利用计算机求值，学生观察零点所在区间，并判断单调性确定零点个数。

法二：将函数零点个数问题转化成函数交点个数问题，并板书。

函数零点与方程根的关系: （学生说，教师给出框图）

数学思想：函数与方程思想，数形结合思想

研究零点相关问题的方法：算，看，验

独立探究：

1．函数f(x)=(x+4)(x-4)(x-2) 在区间[-5,6]上是否存在零点？

2．利用函数图象判断下列方程有几个根：

(1)2x(x-2)=-3:(2)e^x-1+4=4x

3．利用计算机结合图象，写出下列函数零点所在的大致区间：

(1)f(x)=2xln(x-2)-3;(2)f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x

小组探究：方程2^-x=x 在区间______内有解，如何求出这个解的近似值？请预习下一节．

以“有志者事竟成”为载体，每一个字后面对应不同习题，不同分值，且有惊喜。利用弹性选题解决相应题型，巩固知识。

3.1.1　方程的根与函数的零点

3.1.1　方程的根与函数的零点

由学生熟悉的函数图象和方程引入。

问题1：这四个函数分别是哪一种基本函数？（分别是反比例函数，指数函数，对数函数，二次函数各选一个）                        

问题2：将函数与图象一一对应。（画对应图象）

问题 3：令y=0,得到四个方程，请求出方程的根。（令问题1中的四个函数值等于零）                             

问题4：前两个函数图象与x轴有交点吗？

问题5：方程的根和函数图象与x轴交点坐标之间有什么关系？

师：我们就把使得f(x)=0的方程的根就叫做对应函数的零点，这就是本节课要研究的内容——方程的根与函数的零点

问题6：请同学们总结一下到底什么是函数的零点？

学生说对零点的理解，教师引导得出规范性概念，并板书零点定义

问题7：如果一个函数有零点可以怎么求？

问题8：函数的零点是实数还是点？

问题9：观察大屏幕中前两个函数有没有零点？对应函数有没有实数根？函数图象与x轴有没有交点？

说明若函数无零点，则对应方程无实根，图象与x轴无交点。

问题10：如果函数有零点呢？

学生得出方程的根与函数的零点的等价关系：若函数有零点，则方程有实根，图象与x轴有交点。

问题11：由以上关系可知有几种方法解决零点的相关问题？

学生说方法：1、算对应方程的根（师：总结成一个字：算）

            　　  ２、看函数图象与x轴的交点（师：总结成一个字：看）

抢答题：练习1：判断下列函数是否有零点？若有，求出零点.（一个二次函数，一个指数函数）   

对于熟悉的函数可以用算和看的方法解决零点的相关问题，若是不熟悉的函数（对数和一次函数的和函数） 我们不能求出对应方程的根，也不能很快画出函数的图像，那么要解决这类函数的零点问题，就需要寻求新的解决方法，我们就来研究本节课的第二个核心问题：函数零点存在性的探究

请同学阅读：这是气象局测得某地一天的气温变化函数图(即一个连续不间断的函数图象)，图中有一段被污染了，有人想了解一下当天7点到11点之间有没有可能出现0℃，你能帮助他吗?（给出对应图象）

问题12：（1）它在（7,11）有没有可能出现0℃? 为什么?

               （2）那么2、3幅图呢？

问题13：小组探究合作将坐标纸上三幅图快速补充完整。

实物展台展示说明

问题14：满足什么条件在（7,11）内一定有0℃？

问题15：小组讨论（1）满足什么条件函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点？（2）为什么2、3幅图在（a,b）不一定存在零点？

学生回答第一个问题并总结得到函数零点存在性定理

问题16：满足几个条件就能确定在（a,b）内一定有零点？都是什么？

利用定理方法判断函数零点存在的方法总结成：验。

抢答题：练习2：（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b] 满足f(a) ·f(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（     ）

（2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f(a) ·f(b) ≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点. （     ）

（3）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) < 0则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（       ）

引导学生总结“单调区间有零点必唯一”的结论，同时总结解决零点相关问题的方法：算，看，验

练习3：判断下列函数在相应区间内是否存在零点？（给出两个函数并限定范围，且适用于定理）

例:求函数f(x)=lnx+2x- 6的零点的个数.

法一：利用计算机求值，学生观察零点所在区间，并判断单调性确定零点个数。

法二：将函数零点个数问题转化成函数交点个数问题，并板书。

函数零点与方程根的关系: （学生说，教师给出框图）

数学思想：函数与方程思想，数形结合思想

研究零点相关问题的方法：算，看，验

独立探究：

1．函数f(x)=(x+4)(x-4)(x-2) 在区间[-5,6]上是否存在零点？

2．利用函数图象判断下列方程有几个根：

(1)2x(x-2)=-3:(2)e^x-1+4=4x

3．利用计算机结合图象，写出下列函数零点所在的大致区间：

(1)f(x)=2xln(x-2)-3;(2)f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x

小组探究：方程2^-x=x 在区间______内有解，如何求出这个解的近似值？请预习下一节．

以“有志者事竟成”为载体，每一个字后面对应不同习题，不同分值，且有惊喜。利用弹性选题解决相应题型，巩固知识。

• 优点:

  以新课改理念来指导教学，学生参与性强，体现了学生的主体地位，教学效果突出

• 缺点:

  无